時間：2023-07-30 08:51:15
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高中階段數學課程的檢驗方式主要以隨堂考試為主，通過分數的高低簡要判斷學生對課程內容的掌握程度.錯題集的操作形式就是在作業中、在考試中產生，通過將學生每一次的錯題加以歸納整理，引導學生在對錯題的定向研究中尋找自己的知識漏洞，幫助學生學習.依據操作方式的差異，高中數學錯題集可以分為以下幾類. 1.以時間線索為主導的錯題集.主要是針對學生在高中數學學習不同階段的錯題收集.這種類型的操作方式，主要是將學生的錯題進行全面整理，但會面臨主題不突出、缺乏系統性的弊端.2.以課本章節為主導的錯題集.該類型的操作方式，以課程章節為主導，相比較于時間型的方式更具系統性，在分類整理中具有承上啟下的作用，幫助學生進行新舊知識之間的無縫對接.3.以錯題類型為主導的錯題集.這種分類方式主要以錯題的原因為線索進行整理.比如說，粗心大意與知識點不理解的分類，幫助學生快捷地彌補知識漏洞.這種收集方式，主要是立足于對時間型與課本章節主導型為基礎的操作分析，使用更加方便，一目了然.
二、建立高中數學錯題集的意義
建立高中數學錯題集，對提高學生的學習效果具有明顯的現實意義.
首先，錯題集是提高高中數學學習效果的指導方法.通過對錯題的整理分析，幫助學生明確自己的思維特性，了解常見的錯題形式，對于糾正自己不恰當的思維方式有直接的指導作用.同時，在對錯題的分析中，可以提高學生認真審題、了解題目意圖、分析推敲等能力.
其次，建立錯題集是幫助學生對數學課程查漏補缺的重要形式.在多次的考試后，倘若學生沒有對錯題進行及時地歸納整理，會隨著時間的延長導致學生遺忘犯錯，以至于學生出現同一類型的錯誤多次重犯的狀況.建立錯題集，能夠彌補這一漏洞.在錯題的整理中，學生形成對數學課程學習的參考依據，在二次檢查中查漏補缺，提高解題能力.
最后，錯題集是幫助高中學生尋找數學學習規律的重要參考依據.建立錯題集，能夠幫助學生了解重點內容，并進行有針對性的課后復習，尋找數學課程的學習規律，在化繁為簡的過程中簡化解題思路.同時，建立錯題集，節約了學生的學習成本，避免了單純的題海戰術所帶來的壓力.在對錯題的集中復習中，提高學生的數學學習能力.
一、小學數學課堂“理答”的內涵和類型
（一）小學數學課堂“理答”的內涵
理答是指教師對學生回答問題后的反應和處理，是教師對學生答問結果及表現給予的明確有效的評價，以引起學生的注意與思考。通俗地說，“理答”是教師對學生言行的理睬。有效的理答能激發學生的學習興趣，調動學生思維的積極性，營造一種積極探索、求知創造的人文化的課堂氛圍。
（二）小學數學課堂“理答”的類型
課堂“理答”根據教師的經驗不同，也會出現不同的類型。有效的課堂“理答”主要有以下幾種類型：激勵型，發展型，診斷型和再組織型。反之，不當的理答類型則有：重復發言型，不置可否型，環顧左右型，簡單判斷型，語言單調型，諷刺挖苦型和一味表揚型。
二、小學數學新老教師課堂“理答”對比及分析
（一）“理答”類型使用上的對比
在日常課堂中，我們可能見過這樣的場景：當一些新教師提出有難度的問題被資優生完美地回答后，新教師會迫不及待地加以肯定，并通過追問的形式將思維引向深入。而對此問題是否全體學生都理解了，尤其是一些思維比較緩慢的學生有沒有明白，新教師卻沒有放在心上。
反之，老教師則更注重使用合理的“理答”類型，讓學生有較多的自主發揮的時間和空間，因而學生對新知識的認知度提高，這樣才能及時理解教師的“理答”意義。
（二）“理答”類型使用上的分析
很多新老師在學生回答時習慣性地看時間.碰到基礎差的學生就有些著急，急著幫他說出答案或者干脆說“誰能幫助他”，其實這等于讓該生靠邊站。然而，教學本來就是為了教給學生不會的東西.正是因為有不懂的存在，才有上課的意義。當學生的學習遇到困難時，教師更需要耐心啟發引導，給他思考的時間，等待他自信地抬頭，這是一種尊重，也是一種喚醒。
那么老教師是如何在課堂當中使用合理的“理答”呢？
首先，適時等待，延緩思考速度。由于很多新教師對課堂的把握還不是很充分，所以會出現緊跟時間走，就會出現不置可否型和諷刺挖苦型理答。
其次，改變理答內容，拓展思維廣度。如在數學人教版六年級“用數對表示位置”一課時，當學生理解了圖上的每一個位置都可以用一個數對表示，因為之前的學習都是圍繞縱軸和橫軸上的整數展開的，再加上受生活中座位編排的負遷移，學生非?？隙ǖ卣f：“是的，不是整數就找不到位置了?！崩蠋熣f：“是呀，如果把我們的座位畫成圖，那么每個同學的位置只能用一個整數對來表示。不過，如果我將圖上的數稍作改動（將橫軸上的2去掉，將原來的3改為2，其余各數做相應改動），現在，是不是這組同學就沒有位置了呢，或者他們的位置就不能用數對表示了呢？”，學生恍然大悟，原來圖上的標記是人為的，可以是整數，也可以是小數或者字母等。通過這樣巧妙的理答.既拓展了學生的思維，還滲透了學生未來要學習的內容。
再次，順勢延伸，挖掘思維深度。如數學人教版五年級下冊的“軸對稱圖形”時，當教師出示右圖，讓學生判斷這幅圖形是否成軸對稱，學生粗看后馬上說“是，因為兩邊完全相同”。老師不露聲色地說：“不要過分相信自己的眼睛哦.要知道實踐是檢驗真理的唯一標準?！睂W生一聽此言，馬上動手，一會兒一學生說：“我把對應點連起來后，量了量，發現兩個點到中問直線的距離不相等.所以不成軸對稱?！逼渌瑢W附和。老師說：“你講話有根有據。有條有理.真了不起！但是會不會問題出在圖上，把對稱軸的位置域錯了.如果這樣呢？（畫成與平行四邊形的斜邊平行）好像對應點到直線的距離一樣呀，現在成軸對稱了吧！”學生稍稍遲疑后搶著說：“連線沒有跟這條直線垂直.不是的，不成軸對稱的。”案例中教師順應學生的思維，將概念的本質層層展開，使學生對軸對稱的性質認識更加清晰。
最后，捕捉亮點，保持課堂溫度理答也是增進師生情感、提高課堂和諧度的有效手段。
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）32-0141-01
一、引言
作為一門自然學科，數學知識包羅萬象，但是，在高中的數學基礎學習當中，數學知識更多的是復雜的邏輯關系、數字解答能力以及對幾何圖形的分析，對學生的抽象思維能力開始提出較高要求。老實說，相比其他科目，高中數學學習更容易讓學生產生枯燥感，產生厭學情緒。但如果教學教學方法得當，在數學的學習通過理論基礎知識的學習，讓學生舉一反三的對相同類型題做出解答，引導學生在數學的解答中運用嚴密的思維和發散性思維，掌握了學習方法，運用數學思維，就會讓學生產生興趣，主動的去學習。本文主要研究高中數學思想方法現狀。
二、高中數學思想方法教學的內容
高中數學的思想方法教學在新課改以后，逐漸產生了變化，第一個是教師的責任意識得到了加強，教師在吸取傳統教育中的精華，并積極學習新的數學思想方法，在教學中不斷實踐。高中數學思想方法教學讓教師和學生之間的互動交流更加頻繁，使教師和學生亦師亦友，教師積極幫助學生創建數學思維，讓學生參與到數學的學習中。
在教學中，高中數學思想方法教學，讓學生與教師之間多了一層平等的關系，教和學是相對的，在解答問題時，不是被動的學，而是倡導疑問精神，引導學生帶著疑問學，帶著疑問去聽，和教師共同解決數學問題。在教學中引導學生正確的數學思維方式，激發學生的學習興趣，發揮學生的主觀能動性，讓學生自主學習，在實踐和討論中學會數學的思想方法，提高數學成績。
三、高中數學思想方法教學現狀的分析
受應試教育影響，高中數學思想方法教學現狀在現階段，并沒有完全的脫離傳統的教學模式，“題海戰術”依然存在。學生在數學學習中并沒有真正掌握學習方法和思想方法，有些學生的思維模式沒有被打開，所以數學學習的方法與語文、外語的學習方法一樣，死記硬背，相同種類的類型題做很多遍，達到條件反射性記憶，見到做過的類型就套用模式，一旦出現沒有做過的類型題，就完全沒有了破解能力。教師在教學中，依然讓學生記下公式，根據習題類型套用公式，這樣的數學思想方法教學，并沒有真正意義的實現學生的素質教育。因為現階段，我國實施素質教育政策，新的教育體制，讓教師正在逐步轉變教學方法，但是高中數學思想方法教學的培訓機構較少，不能讓教師有一個固定的教學理念和教學目標，教師的教學思想方法需要在實踐中不斷的探索，所以教師會對新的數學教學思想方法不習慣。
高中數學思想方法教學應該讓教師樹立正確的教育意識，在數學教學中培養學生的創造性思維和洞察力，比如：在幾何圖形學習中，學生看不出平面的圖形，就可以讓學生使用模型、工具進行理解，讓學生樹立立體思維模式，學習可以讓學生進行美術的拓展學習，讓學生更好的對數學幾何進行理解。在高中數學教學中，教師不應該像傳統教育一樣，讓學生反復做題，盲目的學習數學，這樣的數學學習起不到鍛煉思維能力的作用。要想學習好一門課程，首先應該對這門課程產生濃厚的興趣，教師可以在教學中，讓學生們了解學好數學的重要性，數學的知識貫穿于每個人的日常生活中，任何科學的發明創造都少不了嚴謹的數學思維，教師在教學中可以先讓學生喜愛數學，提高學生的學習效率。在課堂上，教師應該在枯燥的數學學習中，找到有趣的知識點，讓學生共同討論，也讓學生適當的休息幾分鐘大腦，保證講到重點、難點問題時，學生的注意力集中。在高中數學思想方法教學中，應該主要培養學生的思維模式，提高課堂的上課效率和課后的自主學習效率。
四、結語
數學的學習是以理論知識為基礎，為學生創建數學的思維能力，讓學生在數學中找到自己的學習方法，遇到問題時有自己的思想方法，高中數學思想方法的教學應該讓教師積極學習更好的教學模式，增強自己的教學水平，在教學中把數學的學習方法傳達給學生，讓學生形成自己的數學思維模式，提高學習效率。綜上所述，高中數學思想方法教學應該在教學實踐中不斷的探索與完善。
參考文獻：
一、傳統的小學數學應用題的教學障礙
受到傳統的教育理念以及過去的課程教學理論的影響，多年來，中國的數學應用題的教學方法模式、呈現的方式、課程內容的體系以及價值上的定位，都相對沒有出現較大的突破。傳統的小學數學在應用題上的教學，一般是對相關條件進行簡單化或者純粹化的實際的問題，或者是對這些實際問題的數學模擬。傳統的小學數學在應用題的教學中，往往已經把問題轉化成為純粹的數學框架，然后問題以及條件都經過相關的篩選，所以這些問題的條件結構不存在任何的矛盾性，而且條件也是相當完備的，這樣就導致了正確的答案也必然只有唯一的一個。所以，對于小學的數學應用題的傳統教學，最大的特點就是和現實生活的脫節，影響了小學生形成綜合的能力。實際上，傳統的小學數學應用題教學過程之中存在的教學障礙和問題主要有以下的一些狀況。
（一）應用題呈現的形式單一化
當前，小學數學的應用題教學在呈現的形式上相對單一化，并且結構較為封閉。雖然在編撰相關的小學數學教材的時候，往往充分地考慮到小學階段學生的認知水平以及識字的水平，而且相對而言，小學低年級階段的數學應用題的呈現方式，主要還是以表格或者圖畫的形式為主，而從小學中年級的階段開始，很多小學的數學應用題主要都是使用文字形式來進行表達和述說，成片累牘的大段描述，很大程度上打擊了小學生對于小學數學應用題的學習熱情。而且很多傳統過得數學應用題的編寫，往往是要求的條件十分充足，并不多余，而且形成的答案也往往是唯一的。小學的數學應用題在結構上相對封閉，追求完備性也就讓小學生在解決應用題的時候，容易形成思維上的慣性。
（二）應用題的教學知識與時代脫節，忽視邏輯化
當前的小學數學應用題教學，特別是設置編寫數學應用題的時候，往往和時代的現實狀況相互脫節，特別是很多小學生都不熟悉，甚至是過去時代的內容都仍然存在小學數學的應用題之中。一部分的數學教師和題目的編寫者，在教學和實際編纂題目的過程當中，存在一定的惰性，導致一批題型陳舊的數學應用題題目無限循環使用，導致了小學生在解答數學應用題的時候，要碰到一些根本和時代脫節的內容。
而數學應用題的教學過程之中，忽視邏輯化的教學，導致學生的思維能力容易趨向于單一。數學應用題對于學生的思維能力的培養是非常重要的，過去很多小學的數學教師也在這一個方面積累了非常豐富的經驗，但是應該說，學生的思維能力的培養，應該更加注重其專門性的思維能力，如邏輯化的思維能力，或者發散性的思維能力，這些都是過去在小學數學應用題教學時候所忽視的。
（三）應用題的教學過分類型化、封閉化
不同出版社出版的小學數學教材，在應用題板塊的教學內容、編排上面，仍然是存在一定的差異的。應該明確的一點，就是數學的應用題的分類只是作為數學教師的參考，特別是作為一種教學上的依據，不過一部分的數學教師在數學應用題的教學過程當中，就往往會把這種模塊化、類型化的思維灌輸給學生。一部分的數學教師喜歡人為去劃定數學應用題的類型模塊，每一種板塊都會分出幾種類型，熱衷于讓學生去記憶公式，這樣學生并不會掌握分析的方法，而只是在套用公式。所以，這樣過分類型化，會造成學生知識無法產生有效化的遷移，而對實際問題的解決更加無從談起。
二、小學數學應用題教學策略
當前，學習小學數學應用題的學生，很多都感覺到數學應用題比較難學，數學教師也感覺應用題教學是一個教學的難點，應用題成為了一個亟需攻破的教學堡壘。新的課程標準頒布之后，中國的小學數學應用的教學改革也必然要走向一些新的嘗試階段之中，并且要以解決問題作為教學的核心，小學應用題的教學將會解決更多的教學障礙，提升學生的綜合素質。因此，對于小學數學的應用題教學障礙，筆者提出了下列的解決思路。
（一）對應用題的設計要趨向于開放化
數學教師可以考慮設計一些結構上不夠完備的數學問題。比如，數學教師在設計數學應用題的時候，可以考慮設置一些條件不夠充足的應用題，讓小學生在解答應用題的時候可以自己進行分析，然后捕捉到缺乏的條件，自己進行調查并且解決。這樣可以培養小學生搜集并且處理信息的能力。
而設計出一些數據上有一定盈余的應用題也是一種方法。設計出數學條件會有過剩的數學應用題，這就要求小學生在解答應用題的時候，要做到對數學應用題的準確判斷，并且進行合理化的取舍，從而培養出學生對于實際問題的解決能力。
或者考慮設計出一些信息較為雜亂的數學應用題，讓學生在雜亂的題目條件之中進行梳理，讓學生能夠進行篩選而且解決，從而讓學生能夠增強出更多的綜合素養，提升綜合能力和興趣。
（二）對基本的解題策略的引導
基本的解題策略要包含以下一些要素：首先，是對學生的收集信息的能力進行引導。學生要更清晰地對這些已知條件以及所需要的條件進行收集，綜合起來之后再繼續擰解題。其次是對于數量關系的分析能力，這一方面教師要注重不要僅僅將這一項能力作為工具傳授給學生，而是能夠在教學過程當中，示范性地運用這個方法，讓學生能夠學習到這種方法，對這個方法心中有數。其次，是對于解題方法的摸索，特別是解題的步驟，對于解答問題能夠分成幾個部分，形成流程化的思維，這是需要教學上進行持續的培養和訓練的一個要點。
學生使用數學方面的知識對實際的問題進行解決的時候，第一個步驟就是要將最為有用并且全面的信息從紛繁復雜的實際問題之中抽絲剝繭出來，抽象并且建構成為數學化的模型，然后再去運用一些數學方法對這個模型求出正確的解答或者是近似的解答，最終回歸到現實問題當中去檢驗。
數學教育要給予每個人在未來生活中最有用的東西。因此,我們在數學教學中不能把目光停留在數學知識的講解和解題方法的運用上,而應以它們為載體,加強對學生思維能力的訓練?，F代教學論認為,數學教學是數學思維活動的教學。數學教學培養的是學生的思維習慣和思維品質,是數學思維教育素質化的重要內容。思維培養的成功與否將直接影響數學教學質量的提高,影響著中學數學教育改革的深化與發展。
數學思維是人腦和數學對象(空間形式與數量關系)互相作用并按一定規律產生和發展的。數學思維的種類有很多,從具體形象思維到抽象邏輯思維,從直覺思維到辨證思維,從正向思維到逆向思維,從集中思維到發散思維,從再現性思維到創造性思維,從中體現出了多種多樣的思維品質。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創造性、發散性等。我認為,高中數學教學中主要應通過對學生思維品質的培養達到提高思維能力的目的,具體體現在以下幾個方面:
一、注重對基礎知識、基本概念的教學
高一學生,從初中數學到高中數學將經歷一個和很大的跨度,主要表現在知識內容方面的銜接不自然,對高中數學抽象的數學概念、數學形式極不適應。比如第一冊第一章的集合與簡易邏輯,表面上看似很簡單,而實際運用中卻不能準確把握那些用集合語言所描述的題目含義。再如第二章函數,這是高中數學中的重點內容,教師會花很大的精力去講授,學生會都會下很大力氣來做題,結果卻不如人意。學生做題時主要是在解具體題目時很難與基本概念聯系起來。如經常遇到的二次函數問題,有時是求值域,有時是解方程或不等式,學生感到茫然。我把它們統一在一起,強調二次項系數對稱軸、判別式等幾個因素,幫助學生克服了思維的無序性。這一章內容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過渡,是訓練學生思維深刻性和廣闊性的重要階段。
二、加強數學思想方法的滲透
高中數學的四大數學思想和十幾種數學方法是教學的關鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養學生的應用意識,提高學生分析問題解決問題的能力,教學中應結合具體問題,教給學生解答的基本方法、步驟。二是數學思想方法。思想方法把不同章節、不同類型的數學問題統一了起來,如數形結合思想培養了思維的形象性、創造性,化歸思想提高了學生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見的變形手段,它不只限于解某一章或某一類的問題。注重對這些思想方法的滲透,可以提高學生歸納總結及聯想能力,將數學知識和方法的理解提高到一個新的階段,這對思維品質的培養十分有益。
三、挖掘數學例題習題的功能
一、初中數學采取學案導學法的必要性
作為新型教學模式，學案導學教學法從上世紀末引用到教學以來，在新課程背景下日益成為教育研究者與基層的教育工作者關注之焦點。將這一教學方法引入初中數學課堂，具有多方面的優勢。首先，將數學學案作為引導的合作學習、自主創新方法有助于克服初中數學傳統上教學存在的不足，大大促進師生、生生的合作和交流。數學學案和教材擔負傳授知識、培養學生自學能力、引導思路的作用，在數學學案引導下，學生的動手動腦能力得到提升，進行自學和自練，獨立閱讀、思考以及解決問題的能力得到提升。其次，新教育之下的新型師生關系也得到建立。學生的探究與教師的指導互相結合，實在是為學生在教師指導之下對學習活動進行自主探究，師生間相輔相成、緊密聯系，相互作用。教師的指導是學生自主探究實踐的前提，教師以學生自主探究為指導基層，達到了師生相互共同學習的目的。
二、初中數學學案導學的類型
根據分類標準的差異性，學案導學教學法可以分成不同類型，每一類型都各具特色。根據現有的分類方式，和相關的調查訪談，現將學案進行以下三個維度的劃分：課程進度、課程類型、以及問題設計。
1.課程進度類。依據課程內容進度的不同，學案可分為新授課、復習課和習題課。其一，新授課是以新知識的學習為主要任務，是學生獲取新的知識、進行知識結構改善的過程，也是學生的認知能力、創新能力、思維能力的發展過程。在具體的教學過程中，應當依據學生們的認知規律進行學案的制定，體現注重知識的連續性、進行基礎的配套練習等特點。在學案當中學習目標的確定上，要具體、完整、規范。其二，復習課目的在于鞏固、加深課本的知識，對已學知識進行梳理、歸納、轉化辨析，對知識間的內在聯系進行挖掘，達到知識的融會貫通，以提升學生進行實際問題解決的能力。在這一過程當中，教師要選擇體現學科的能力點、知識點、學科思維特點的題目作為學案的配套練習，例如經典題目、歷年中考試題等。其三，習題課作為學生進行概念鞏固、公式演練、提升能力的“主戰場”，教師的正確引導至關重要，主要體現為在學生活動過程中，教師在教學情景設置上既要體現教學目標，又要體現知識發展的過程和學生進行事物認識的規律。習題課的學案，在選題上十分關鍵，教師要根據教學的內容和重點，有針對的精心選題，所選的題型應當具有代表性，其思路方法則具備一般性，聯系知識上則具有廣泛性。
2.課程類型類。初中數學課程類型一般分為概念課和命題課，不同的類型所使用的學案各不相同。前者的學案側重于把抽象的概念具體化，以幫助學生在已掌握的概念基礎之上進行新概念的同化，從具體到抽象進行概念的理解掌握；后者更為注重對學生的邏輯思維進行培養、訓練，將鍛煉學生歸納推理的能力作為重點。其一，對于概念課，學案材料一般豐富生動具體、習題的形式多樣。教師應當幫助學生克服概念具有的抽象性，從感性的圖形、定義當中概況本質特性，讓學生對于概念的來龍去脈充分了解，以加深對于概念的理解。例如，“棱長相等的長方體稱為正方體”這一概念，教師通過具體的例子，抽象出概念的基本要素——角、邊及其相互間存在的數量關系與空間關系，讓學生真正掌握概念本質含義，并運用到實際的問題解決當中來。其二，對于命題課，在學案編制上重視對于學生思維能力的培養，強調通過課前預習與前測學習，幫助學生對所學的知識和已有知識進行關系確定，從而找到數學命題本身的生長點，引導學生去發現定理生成的過程，為學生加深理解、認識創造條件。例如，在等式性質課程當中，學案首先闡述學習數學命題——等式性質的必要性，給予已有的概念幫助學生建立起新舊知識間的聯系，爾后再引入具體的課程知識。
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）04-205-01
在本文中主要是針對數學教學中一些普遍的問題進行變式教學，通過變式教學的效果與傳統教學效果進行比較，在其中發現變式教學的優越性。教師應該對所要進行的課題進行精心的設計和變式，一步步的引導學生在一系列的變化中發現問題本質的不變性，在本質不變的前提下探索變化的事物規律，從而不僅牢固的掌握到所學的知識還能不斷提升自身的數學思維能力。
一、高中數學課堂變式教學的必然性
1、新課堂教育改革的需要
隨著國家對教育界中提出新課堂教學改革，在高中教育中不斷的進行了翻天覆地的變化。國家的教育水平是國家今后在國際中發展的基礎關系這國家的未來。我國學生在進行基礎教育的階段基本上大多數時間都是在課堂中度過的，因此課堂教學對學生的成長發展具有很大的影響，在新課標的課堂教學中進行變式教學突破傳統教學顯得尤為重要。
2、當今社會對人才培養的需要
現代化社會對于人才的需要非常迫切，但是由于社會在不斷發展，要求適應現代化社會的人才類型也越來越復雜化，學生在進行基礎教育的過程就是為今后成才奠定基礎。學生不僅要注重知識的積累更重要的是要注重自身全面發展，培養學生各方面全面發展就必須在課堂教學中轉變教學觀念，進行變式教學，不斷提高學生創新思維的培養，培養出適應現代化社會發展需要的人才。
二、變式教學案例解析
1、“同角三角函數基本關系式”的案例
在這個案例中首先是明確教學的目標，教學目標是要通過學生猜想出兩個計算的公式再運用數形結合的數學思想讓學生了解到原始公式的得來過程，在推導公式的過程中理解同角三角函數的基本關系式。進行這類教學目標的大致過程基本為“培養學生觀察——猜想——證明的科學思維方式”。讓學生在大致掌握到基本的公式和解題思路后通過一系列的練習訓練和變式練習來提高學生的思維能力和解題能力。
在進行變式教學中首先教師要針對同角三角函數相關問題進行提問如：任意一個角α的三角函數數值的定義是什么等，通過此類問題的提出教師再組織學生成立一個討論小組，并適當的對這些小組進行逐步的引導，逐漸得出證明同角三角函數的兩種關系式。在講解同一題目時教師能夠通過這題的深刻講解讓學生首先掌握到相關的知識點，再針對同一問題不斷的進行相應的變式，通過變式不斷轉換問題，讓學生在轉換的問題中不斷運用所學到的相關知識進行解答，在解答過程中逐漸了解到問題的本質是沒有變的，變的知識問題的形式，掌握到了相關知識點無論問題怎么轉變都能夠通過相關的知識去解答。
2、“已知解析式求函數定義域”的案例
在此案例中數學教師主要是通過教授學生掌握好函數定義域的球閥，主要是分式函數、根式函數并且理解函數定義域的集中常見的類型。在教學過程中教師通常會發現學生對于這類問題中往往會出現計算錯誤，集中函數類型的定義域定義理解不清楚等方面的問題。教師在針對此類問題中，對于這個知識點的學習首先引出相關的問題，在相關問題提出后再結合實際的例題對學生進行詳細的講解，首先要學生明確什么是函數的定義域這一概念“使得函數解析式有意義的所有實數x的集合，是函數的定義域”。掌握到函數定義域概念后能讓學生在學習過程中不至于將知識點弄混。
教師在針對函數定義域解析的問題中首先講解一道涉及面較廣的函數定義域解析例題，在通過對學生的詳細講解后讓學生初步對定義域的求解過程和不同類型定義域求解方式都有一定的掌握再通過同一道題進行相應的變式分析，讓學生在變式過程中通過不斷的練習慢慢理解不同類型的函數定義域應該采用何種解題手法去解決。這種變式的教學方式不僅能夠節省教師的精力和時間，還能讓學生在有限的教學課堂中增加練習的力度，在充分的練習中鞏固當節課所學到的知識，提高教師的教學質量和學生的學習效率。
總結：高中數學在傳統的教學模式中無法有效的提高學生的數學思維能力，對于這種模式中培養出來的學生不能完全適應現代化社會對于人才類型的需求，為了響應新課標的要求和現代化社會對于人才的需求在基礎教育過程中教師要不斷的改善教學方式，符合現代化教育理念的發展，在高中數學課堂教學中實施變式教學，通過變式教學的優勢逐漸培養學生的數學思維和各方面能力的培養，完善我國基礎教育的教學體制。
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）20-0236-01
數學學科是一門典型的工具型學科，對培養學生的推理能力與思維能力均有著十分重要的意義，在初中數學教學過程中，轉化思維模式是一種需要學生重點掌握的思維能力，讓學生理解與應用轉化思維，可以幫助學生更好的理解所學的知識。
1.初中數學的“轉化思想”分析
1.1語言轉化
語言轉化即使用語言表達方式進行轉化的一種形式，如將日常語言轉化為所學的數學語言，將數學題目中應用等量關系轉化為方程，將數學學科中的基本規律轉化為文字語言，將幾個中的符號語言、圖形語言轉化為文字語言。
1.2類比轉化
類比轉化即將對象轉化為與其相類似的對象，例如，在分式中的加減乘除與通分、約分等內容就可以將其轉化為分數的加減乘除與通分、約分的概念；整體因式分式的概念就可以將其轉化為無理式因式分解的有關概念；一元一次不等式的概念以及解題方法就可以將其轉化為一元一次方程的概念與解題方法；有理數的有關概念可以轉化為算術數的有關概念，在進行解題時只需要注意絕對值即可。
1.3分解轉化
分解轉化即將綜合性的分體分解為若干的小問題，一般情況下，在解決綜合性問題時都需要采取這樣的解題方法，例如，在解決分式運算的相關問題時，就可以將其轉化為因式的分解，在解決平面幾何問題時就可以將復雜的圖形分解成為不同的基本圖形。
1.4等價轉化
等價轉化是一種將未知事物轉化為另外一種事物的轉化方法，例如，將除法轉化為乘法，將減法轉化為加法；將多元方程轉化成一元方程，將無理方程和分式方程轉化成整式方程；將點與點間的距離轉化為三角問題。
1.5數形轉化
數形轉化即在數字和圖形間建立關系，并將其進行互相轉化的一種解脫方式，例如，根據題意構造出函數，根據圖形構造出方程，根據等式構造出圖形，根據函數圖像來分析其性質。
1.6間接轉化
間接轉化即通過間接的方法來解決問題的一種方式，例如，在解決應有題時，設置間接未知數，利用換元法來解題，在平面幾何中采取逆推與添加輔助線的方式等等。
2.“轉化思想”在初中數學解題中的應用
2.1已知同未知之間的轉化
在數學解題之中，已知量和位置量，常量和變量并不是完全絕對的，而是具備著相對性的特征，在解決某些問題時，將字母看作已知變量，將數字看作未知變量可以達到一個意想不到的成效。
例1：
如果x= ，求x5+2x4-5x3-x2+6x-5的值。
在解題這一類型的題目時，就可以將“轉化思想”應用在其中，將5作為未知量，將x作為已知量進行分析，那么在此時，根據x= 可以得出5=（x+1）2，那么x5+2x4-5x3-x2+6x-5就能夠轉化為x5+2x4-（x+1）2x3+[（x+1）2+1]x（x+1）2=x5+2x4-x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1=-1.
2.2特殊和一般之間的轉化
在解決有著任意條件的問題時，將特殊轉化為一般，就能夠快速準確的得出正確的答案。
例2：
已知（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18m=0，代數任何實數m均可以得到共同實數解，求該方程的實數解。
在解決這一類型的題目時，考慮到m是任意實數，那么就可以將m取0和-1，0與-1代入（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18m=0就可以得到兩個方程，即x4-3x3=0與2x2-18=0，此時，可以求解出x=3
該種題目是初中數學中常見的一種類型，解題的難度也相對偏高，很多學生都存有困惑，在實際的教學過程中，教師應該強化此類型題目的訓練，幫助學生掌握該種類型題目的解題方法。
2.3相等與不等之間的轉化
例3，已知a、b、c均為正整數，且滿足a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求a、b、c的值。
在解決這類型題目時，根據a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c移動之后就可以得到以下的等式：
，由于 ，綜合起來，就可以得出 ，這就可以解得 ，
c-4=0，那么a的值為3，b為6，c為4.
2.4多元與一元的轉化
在解決某類型的題目時，可以適當選定好主元，避開其他的干擾因素，該種解題方法在多元高次多項式、代數式的求解中較為常用。
例4，分解因式x4+x2+2ax+1-a2.
在解決此類型的問題時，如果直接將x作為主元來分解因式，不僅難度較大，也會浪費大量的時間，此時，就可以轉換解題思想，將a作為主元進行分解，x4+x2+2ax+1-a2經過整理與分解之后，可以得到如下的因式：
a2+2ax+（x4+x2+1）=-[（a2-2ax+x2）-（x4+2x2+1）]=-[（a-x）2-（x2+1）2]=-（a-x+x2+1）（a-x-x2-1）=（x2+x-a+1）（x2-x+a+1）。
在解決此類問題時，有著眾多的方法，具體的解題方法要根據題目的條件與含義來定，選擇其中最為快速、簡單的解題方式。
3.初中數學中“轉化思想”應用的注意事項
3.1注意轉化的條件
在應用“轉化思想”時，要注意到該種解題方式是具備條件的限制的，如果忽略了某些基本的條件那么解題就會出現問題，在教學的過程中，教師必須要熟知教材內容，明確各個知識點之間的轉化條件，讓學生明確轉化思想應用的條件以及創造的方式。
3.2注意進行強化訓練
在具體的教學過程中，教師應該根據教學目標的要求與教學內容的差異循序漸進的將轉化思想滲透到教學過程中，同時，還需要采取科學有效的方式將方法與學習進行有機的結合，幫助學生理解轉化思想的益處，在解決問題時，要幫助學生將不同的知識點進行有機的結合。此外，在日常教學中，應該加強對學生的訓練與指導，遵循先易后難的訓練原則，幫助學生養成良好的思維定勢，如果學生順利的完成解題過程，則適時的進行表演，讓學生體會到解題的喜悅，自覺的將轉化的思想應用到解題過程之中。
3.3利用轉化思維來聯系知識與知識之間的結構
指導學生使用轉化思想就能夠幫助學生通過少量的基礎性問題與知識點來解決一類型的問題，從這一層面而言，轉化思維能夠將學生所學的知識串聯起來，考慮到這一問題，教師在進行教學的過程中要重視基礎性問題與知識的傳授，讓學生可以實現穩扎穩打。
每個人在數學學習中都存在著許多認知錯誤，這些錯誤不僅影響了學生的學習效果，阻礙其進步，也逐漸摧毀著學生們學習數學的信心。隨著對數學認知錯誤研究的深入，越來越多的人已經意識到需要把錯誤看成一種有效的教學資源。為了全方面地了解學生的認知錯誤，明確學生通常會在哪些問題上出現何種類型的錯誤，本文將對數學認知錯誤的研究從內容、方法、結果方面進行整理。
一、研究現狀
自從1925年美國學者Buswell和Judd對學生算術錯誤進行診斷后，德國、蘇聯等國家也開展了關于學生算術錯誤的研究，自此開始，國際上關于數學錯誤的研究經歷了從診斷錯誤分析原因到發現錯誤合理性并研究其教育功能兩個階段的發展。而國內關于數學錯誤的研究最早則出現在上個世紀八十年代，經過三十幾年的發展，已經形成了自身的一些特點。綜合國內外的研究來看，雖然發展并不同步，但各自的關注點也不乏相同之處。
1.研究內容
學生在數學學習過程中的錯誤隨處可見，研究者的關注點不同，研究的內容自然也是多樣的。
首先受到大家關注的是學生在解題過程中出現的錯誤，學生的錯誤往往最先從做題中體現出來，自然也就吸引了許多人對其進行研究，從學生解題過程分析了學生的錯誤。
受到教育心理學發展的影響，學生的學習心理受到了廣大研究者的關注，很多人研究了學生在學習過程中的心理性錯誤，對概念學習的錯誤進行分析，或研究學生在函數、幾何、概率等知識內容學習中的認知錯誤。
由此可見，關于數學認知錯誤的研究已經涉及各類知識及各種知識點，研究的角度是多樣化的，致使內容也隨之豐富起來。
2.研究方法
目前，觀察法、文獻分析法、問卷調查法是主要研究方法。很多人通過文獻分析、課堂觀察等方法來初探錯誤的類型，再通過問卷法來分析其原因。
另有一線教師通過對自身的教學經驗進行總結，分析學生的錯誤類型，產生錯誤的原因，并提出一些教學對策，發表成文與大家分享。
相比國內的研究，國外研究更傾向于訪談法，Philip通過問卷和訪談的方法深入研究了巴布亞新幾內亞學生的錯誤類型。在對學生錯誤的原因分析過程中，訪談法更能夠深入了解學生的情況。
3.研究結果
學習過程的主體是有著強烈差異的學生，受各方面因素的影響，學生產生的錯誤也是千差萬別的，從心理角度出發，通過對學生在學習不同類型知識的過程中所表現出來的錯誤進行研究可以發現，這些看似雜亂的錯誤也是有其心理規律可循的。
（1）概念學習的錯誤類型
數學概念的學習是數學知識學習的基礎，但是由于日常生活概念的干擾、學生認知現狀與概念發展之間的差異、片面的認知結構，缺乏對概念意向的必要整合、不同的個體傾向等原因，致使數學概念的教學中容易出現種種錯誤，這些錯誤有頑固性、表象性、隱蔽性等特點，因此也引起了大家的關注。數學概念學習的錯誤可以被分為兩類：過程性錯誤與“合理性”錯誤。前者包括用日常生活概念、概念原型、“形象描述”等代替數學概念，分類與比較不合理，概括與抽象不完善，概念定義與概念相脫離，概念運用僵化，建立不恰當的聯系，對聯系作不正確的推廣或依據個人經驗強行進行不正確的聯系等錯誤?！昂侠硇浴卞e誤包括用原來的思維審視新的概念，按過去的經驗、結論、方法對概念作“合理”的推廣，不自覺地對思維進行限制等錯誤。也有學者將其分為：語言文字信息類數學錯誤概念、圖形信息類數學錯誤概念、數學符號類錯誤概念、綜合類錯誤概念。
（2）不同知識點學習的錯誤類型
對不同知識點的數學認知錯誤的心理分析，學者們也做了許多有益的工作。從中我們了解到，函數學習的錯誤可以受知識本身、學生思維和心理特點的共同影響。函數概念自身的復雜性和辯證性，函數表示方法的多樣性以及其符號的抽象性，都可能會造成學生語言轉換、策略選擇等方面的錯誤。從學生本身的思維水平來看，初中生的思維水平處在形式邏輯思維的范疇，只能局部地、靜止地、分隔地、抽象地認識所學的事物，對函數這種辯證、發展、變化的概念理解需要沖破形式邏輯思維的局限，自然會不斷出錯。在幾何知識的學習過程中，原有知識基礎的缺陷、思維缺少嚴密性、加工技巧的錯誤等都會導致認知錯誤。在概率知識的學習中，中小學生階段的統計與概率問題一般都與日常生活有一定聯系，因此，學生的實際生活經驗往往會影響到一些統計與概率概念的理解，從而形成一些直覺性的常見誤解，如：賭徒謬論、基本利率謬論、小數定律、關聯謬論等，除了這些誤解以外，其他一些概念如：代表性、實用性、等可能性也會給學生的理解造成困難，語言能力弱、對圖表的理解也是導致錯誤的主要因素。
（3）解題的錯誤類型
從解題結果的角度，可以把解題錯誤分為知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤。Newman針對代數部分的內容，從解題過程角度提出錯誤的層級（Hierarchy），將其分為五個水平：閱讀（Reading）、理解（Comprehension）、轉換（Transformation）、加工技能（Process Skill）、編碼（Encoding）。理解錯誤指的是沒有掌握問題中所有信息的意義。操作技能的錯誤指的是與算法有關的錯誤。編碼錯誤指的是書寫錯誤，如：筆誤等。我國學者在此基礎上對幾何知識進行研究，得出影響認知錯誤的因素：引起理解、技能選擇錯誤的主要因素是過強的動機、不正確的觀念；導致轉換、加工技能錯誤的主要因素是知識基礎和認知圖式的缺陷；策略選擇錯誤是由以上兩個因素共同引起的，因而成為問題解決最大的影響因素。根據波利亞在《怎樣解題》中將數學問題的解決所劃分的四個階段，可以將造成解題錯誤的原因歸結為四大類：曲解題意的錯誤；擬定方案的錯誤；執行方案的錯誤；回顧與反思的錯誤。波利亞在《怎樣解題》中將數學題分為求解題和證明題進行比較，之后經過學者研究和分析，發現求解題中學生的錯誤出現的原因主要有：運算能力差，引起計算失誤；審題不清，忽視隱含條件；概念、原理、性質模糊不清；分類討論不嚴密造成失誤；策略不當引起錯誤；應用能力差，不能正確建模。證明題中錯誤的原因有：推理不嚴密，邏輯思維薄弱引起錯誤；證明過程犯循環論證的錯誤；論據本身錯誤，導致論證無效；推理形式有誤，導致證明錯誤。
二、對未來研究的思考
對于數學認知錯誤的研究，有許多學者做了大量有益的工
作，但其中也有不足之處，需要我們繼續研究。
研究內容方面可以將范圍縮小并關注隱性知識學習的錯誤研究。目前的研究內容可謂豐富多彩，函數、幾何、概率統計等都已經有所研究，但大多數的研究內容存在兩個問題：首先，研究的內容包括的知識點過多，導致研究面積過大而不能深入；另外，受傳統知識觀念影響，只對知識技能的掌握進行研究，忽略學生知識當中的隱性知識對其表現的影響。數學教育的目標要包括知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四方面的內容，單從數學內容方面研究顯然不足。因此減少研究內容所涉及的知識內容，將思想、方法、經驗、情感等隱性知識納入研究內容中是很有必要的。
在研究方法的選擇上，多數文章采取問卷、訪談、文獻分析等多種方法結合的方式，使得研究方法更具科學性，但在結果的分析過程中只單純地通過問卷調查的結果進行分類，其中難免摻雜個人經驗，甚至完全依據經驗，這樣做并不能保證分類的合理性。采用一種科學合理的分類方式將錯誤進行分類會使結論更具一般意義與說服力。
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在學習數學課程時，有效地利用習題，對學生在課堂上獨立地、積極地進行認識活動是很有助益的。這些習題是使學生掌握系統的數學基礎知識、技能和技巧的最重要的手段，又是學習數學過程中教學活動的重要形式，還是發展學生數學能力的手段。
一、習題在數學教育中的地位和作用
現在，在數學教學實踐或對具體方法的研究中，談及習題在中學數學教學中的作用和地位時，通常指的只是教學生解題這一方面。一種批評性的分析（這種分析過去和現在對于在數學教學中如何運用習題的教學法研究，一直有著一定的意義）表明：迄今為止，解一定類型的數學習題時，或者僅突出數學教學的局部目的，或者只作為讓學生自覺消化教學大綱所列內容的一種手段。僅僅在個別情況下（基本上是課外小組或專題講座上，或在全班性或全校性的一些加深內容的數學學習上），習題才明顯地作為一種發展學生的數學水平、培養他們的求知興趣和自覺性，并發展學生數學能力的手段，同時還是培養他們的辯證唯物主義世界觀和個人道德品質的手段。
因此，數學習題在傳統的教育體制中，在大量數學教學實踐中，它對發展學生的數學水平所具有的作用和地位是第二位的，輔的。它的輔地位尤其可以明顯地從長期地把利用習題過程作為測驗和評價知識的一種手段中看出；傳統教學又把習題作為測驗和評價實際數學知識、技能和技巧的主要手段，而幾乎不用來測驗其他方面的數學發展水平和思想教育的因素。
二、當前中學數學習題系統的主要弊端
這個問題的完善解決要求有一整套安排有方的中學數學習題系統，因為現在中學數學教科書和輔助材料上給的習題系統不能很好地適應現代教學、教育和發展目標，而在教學中利用習題的方法，也不能全部反映學生解題的各種可能性。數學教學過程中如何配置習題這個問題，至今沒有得到完滿的解決。不論是習題內容，還是習題的目的，或者是為了實現某一教學目的而安排的必作題或選作題的數量，或者（僅就形式而言）習題總的系統安排，都解決得不理想。
1、追究習題內容及解法的公式化
這反映在以下各個方面：教師狹隘地理解數學習題在教學過程中的作用和教學意義；總是讓學生盡可能多地作題而影響教學質量；過分地注重解題的步驟和格式，卻忽視解題過程；大量習題仍側重于培養當前實際上幾乎用不到的，或即將被自動化手段所代替的一些技能技巧；以傳統的作法安排習題、敘述習題的條件以及寫出他們的解答，等等。
2、解題的講授方法及通過習題講授數學的方法不完善
其表現如下：更多是用示范的方法教學生解題，而缺少教師有的放矢的工作，以培養學生對解題過程進行評價并檢驗結果的能力；把解題的通用方法看作是不可改變的偶象；利用習題的主要目的只是為了鞏固和復習學過的內容；不論是測驗或獨立作業都帶有狹隘的檢查性目的；對中學數學課的每道題的教學意義缺乏明確的標準，而且向學生提供的習題的數量不足以保證達到教學目的，如此等等。
3、配置及解答習題不符合數學思維的合乎規律的發展
這反映在：中學數學課缺乏。些題目，借以培養學生準備好參加以現代化生產（合理化與控制、管理、發明等）為特點的實踐活動，即一些具有創造性特點的活動；中學數學課還缺少這樣一些習題，它們的解題過程有可能培養中學生的重要思維技巧：如抓住實質、概括、分析、模擬、進行思維實驗，等等；運用習題僅僅是為了測驗學生的實際知識，而不是為了提高他們的數學發展水平；中學數學習題的類型太單一化；如此等等。
三、數學教學中習題的合理設計
1、習題的重點放在培養學生應用知識的能力
根據先進教師的工作經驗，數學教學法（其他任何課程也同樣）的革新首先表現在基本側重點不是放在讓學生死記教材上，而是放在深刻理解、自覺和主動積極地掌握教材上，放在培養學生在學習實踐中獨立地和創造性地應用這些知識上。
我們來分析下面這道題：如果xyz+xy十yz十xz+x十y十z =1975，試求出自然數x、y、z。此題的解可通過對1976這個數進行因數分解得到（并同時把等式左邊增加1）：（xyz+1）（xyz+1）（xyz+1）=23×13×19。利用x、y、z都是自然數這一條件，不難找出各個解。解這道題不需要學生掌握數學大綱內容以外的知識；同時此題針對的是深刻理解已學的內容和創造性地運用已學知識的能力。
2、習題的目標取向培養學生創造性的數學思維
解決問題在小學教學中占有重要地位，它是培養學生運用數學知識解決實際問題能力的重要途徑，也是提高學生邏輯思維能力的重要手段。因此“解決問題”始終是小學數學教學中的重點問題。但與此同時由于解決問題教學涉及的知識面廣，分析推理過程較復雜，學生學習起來比較困難，因此它又是教學的難點問題。
一、解決問題“難”的主要原因分析
解決問題中往往涉及一些與生活實踐相聯系的應用問題。解決這類問題時，首先需要把生活問題數學化，尋找問題中包含的數學關系，并用嚴謹的數學語言進行表達，再用數學方法求得結果，最后還要還原到最初的生活問題之中。在這個過程中，既需要有從實際問題中提取數學內容的抽象能力，也需要具有能夠用數學語言表達實際問題的語言能力，而這兩點對于小學生而言，都是正處于發展初期的薄弱點，因此“解決問題是小學生學習的難點問題”在小學是一個客觀存在。
例如，數學語言具有抽象性，這決定了學生必須能對解決問題中抽象的數學術語和符號進行形象感知，在這個過程中，需要對它們之間的邏輯關系進行分析，形成自我建構，這導致數學解題思考強度大。 以下面的集合圖來說明：
上圖表示的是“非0自然數按約數的個數可分為質數、合數和 1 三類”這一概念，學生如果不認識這種特殊表現形式而去觀察、比較質數和合數哪一類所占面積更大；或把集合圖割裂開，孤立地認為質數在左面，合數在右面；或是干脆當成一幅圖片來記憶，就會在理解上偏離語義的本質。
又比如，一個本1元錢，小明買了5個本花了多少元錢？
這道題對很多學生來說很簡單，可以直觀求解，但是，若讓他們根據“單價×數量=總價”來計算出5元，這對他們而言反而具有相當的難度。
原因就在于小學生正處于具體運算階段。這一階段的學生思維正處于具體、形象思維為主并逐漸向抽象邏輯思維的過渡期。他們的理解能力有限，從實際問題中抽象出數學關系有一定難度。
在這種現實存在下，如何采取一種小學生可以理解的方法突破難點呢？
考慮到小學生重直觀的特點，本文從直觀圖示的方法入手試圖建立以圖示為主的數學模型，以幫助小學生突破難點、走出困境。
二、線段圖建模類型研究
通過研究小學數學中出現的線段圖的各種可能情形和分析小學數學中各種解決問題的題目，發現解決問題的相關題目基本上可以劃歸為與交集有關的線段圖、與并集有關的線段圖和復合型線段圖三種類型，這樣就可以將三類線段圖作為解決問題的數學模型，借助線段圖的直觀性，發現問題中的數量關系，減少思維難度，促使問題得到迅速解決。
（一）線段圖的分類及其特征分析
如果將線段圖看作是一個集合，那么數學問題中的各種數量關系就反映為集合之間的關系，綜合考慮小學數學中的應用問題，可以發現其中主要涉及的數量關系可以通過交集型線段圖、并集型線段圖和復合型線段圖表現出來。
1.交集型線段圖
交集型線段圖的主要特征為數量關系之間有重疊部分，如下圖所示：
圖中集合間關系：B∪C-A=U，B∩C=A
本類型線段圖適合解決重疊類問題，如：一個班有學生42人，參加體育代表隊的有30人，參加文藝代表隊的有25人，并且每個人都至少參加了一個隊，這個班兩隊都參加的有幾個人？
這個問題的特點是要求重疊部分：這個班兩隊都參加的有幾個人？全班人數42人就是整體，看作全集U，參加體育代表隊的30人和參加文藝代表隊的25人是部分，分別看作集合B和C，則A就是所求，它們之間的關系圖示為：
這個圖示與原來教學中習慣采用的文氏圖表示方法本質相同（如下圖）。
2.并集型線段圖
并集型線段圖的主要特征為數量關系之間沒有重疊部分，并且幾個部分合并之后恰好就是整體。如下圖所示：
圖中集合間關系：A∪B=U， A∩B=￠或A∪U=U，A∩U=A
這一類型的線段圖適合解決整體和部分之間關系互求類型的問題，如已知整體求其中的某一部分，或者已知各部分，求總共有多少等等。
如：在暑假中，王曉偉抄寫了85個成語，還差56個才完成老師的要求，老師要求抄寫多少個成語？
這個問題中老師要求抄的成語數就是整體，它與已知之間的數量關系可以用線段圖表示為：
圖中數量關系清晰明確，顯然便于問題的解決。
3.復合型線段圖
復合型線段圖的主要特征為綜合包含了交集型與并集型線段圖的特征，數量關系表現的較為復雜，需要通過多層次體現。
如下圖所示：
圖中集合間關系：E∪B=A，E∪D=C，A∪E∪C=U，A∩C∩E=E
這種圖示下的問題，一般涉及兩步以上的應用題，需要分步摸清數量關系后解決問題。
如：小濤有56本書，小玉借走■，剩下的書小紅借走■，再剩下的書小明借走■，現在小濤還剩多少本書？
題目中56本書是全集，三個人分別從不同總數中借走其中的一部分，是造成問題解答困難的關鍵，現在把它們之間的關系用線段圖表示如下：
顯然要想求最后剩余的，就必須分步求出每次剩余書的本數。
（二）線段圖模型應用舉例分析――以“并集型線段圖”為例
并集型線段圖主要反映部分與整體的數量關系，并且部分與部分之間沒有重疊關系。如下舉例說明。
例1 一列火車4小時行駛了480千米，平均每小時行駛多少千米？
分析：題目中的總數為480千米，按照題意需要平均分為4份，這四份不能有重疊部分，因此本題可以利用“并集型線段圖”。作圖如下：
從圖中可以看出把總數480千米，平均分成4份，每份就是1小時行駛的路程，用除法計算出480÷4=120（千米）即可。
例2 兩個數相除商5余11，已知被除數、除數、商與余數的和是237，問被除數是多少？
分析：根據被除數÷除數=5……11可知，商是5，余數是11。要求的被除數=除數×5+11，也就是說被除數比除數的5倍多11，這就是說，除數的5倍以及多出來的11都是被除數中的一部分，并且沒有重疊，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：
由已知條件首先可以算出被除數與除數的和是237-5-11=221，再從圖中可以看出除數是一倍數。被除數如果減去11，就正好是除數的5倍，也就是221-11對應的是5+1=6倍，1倍就是（221-11）÷（5+1）=35，即除數。
例3 修路隊修一條路，第一天修了全程的■，第二天修了360米，完成全部修路任務。修路隊第一天修了多少米？
分析：修路隊第一天修全程的■和第二天修360米構成全部修路任務，并且兩者沒有重疊部分，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：
從圖中可以看出360米相當于總任務的■，則總任務是360÷■=900（米）。進而可知，第一天修了900-360=540（米）。
如上三題告訴我們，“并集型線段圖”可以作為一個數學模型，不僅可以解決行程問題，還可以解決工作量等問題，如果把握它的本質特征，那么它就可以運用到更廣的范圍之中。
三、建立線段圖模型的意義
（一）運用線段圖可以使已知條件直觀呈現
線段圖能比較形象直觀地揭示應用題中的條件與條件、條件與問題之間的關系，把數轉化為形，明確顯示已知與未知的內在聯系，使隱蔽的數量關系變得明朗化，容易發現隱含的條件，激活學生的解題思路，是分析和解決“解決問題”的有效途徑。
例如：小剛和妹妹二人同時從家去學校，小剛每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。小剛到學校門口時發現忘記帶作業，立即由原路回家去取，行至離學校180 米處和妹妹相遇。他們家離學校多遠？
運用畫線段圖的方法可以發現本題隱含的條件有三個（如圖示）：
第一個是小剛和妹妹兩人一共走了兩個全程，即：
第二個是小剛共比妹妹多行了兩個 180 米，即：
第三個是同樣多的時間內小剛比妹妹多走了兩個180米。
（二）運用線段圖可以使等量關系顯性呈現
利用線段圖將問題中蘊含的抽象的數量關系以形象直觀的方式表達出來，能夠使已知條件和所求問題聯系起來，便于揭示它們之間的等量關系，通過形象直觀的等量關系，便于列出符合題意的算式，有效促進問題的解決。
（三）線段圖可以開闊學生思維，幫助學生一題多解
工地有一堆黃沙，用去了總數的■后，又運來480噸，這時的黃沙相當于原來的80%，原來有黃沙多少噸？
分析： 解答此題的關鍵是求出480噸相當于原來黃沙的幾（百）分之幾？
根據題意畫線段圖如下：（為了敘述方便，圖上的端點和分點分別用A、B、C、D表示）
該圖中，線段AB表示原有黃沙，BC表示用了的黃沙，CD表示運來的黃沙。
解法1：
從線段圖的左邊看，CD=AD-AC，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的80%-（1-■）
所以可以列式為： 480÷[80%-（1-■）]=1200（噸）
解法2：
從線段圖的中間看，CD=AB-AC-BD，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的[1-（1-■） -（1-80%）]，所以可列式為： 480÷[1- （1-■ ） -（1-80%）]=1200（噸）
解法3：
從線段圖的右邊看，CD=BC-BD，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的[■-（1-80%）]，所以可以列式480÷[■-（1-80%）]= 1200（噸）
解法4：
從線段圖的兩邊看，CD=AD+BC-AB，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的（80%+■-1），所以可以列式為： 480÷（80%+■-1） =1200（噸）
答： 原來有黃沙1200噸。
一題多解可以培養學生思維的深刻性、靈活性，有助于開拓學生的視野，克服墨守陳規的弊端，使學生敢于標新立異，從而有助于學生學會創新。
顯然，歸類運用線段圖就是指將三類不同的線段圖作為三種數學模型，在解決問題中，不必考慮問題的具體情境及范疇，只需關注問題中所反映的數量間的本質關系，這樣可以將學生從植樹問題、年齡問題、差倍問題、行程問題等諸多具體情境問題中解放出來，透過現象看本質，既反映了數學的模式化特征，又教會學生解決問題時綜合思考的思想方法。
四、結論
借助線段圖解題，可以化抽象的語言到具體、形象、直觀的圖形；可以化難為易，促使判斷準確；可以化繁為簡，發展學生思維；可以化知識為能力。使用線段圖便于抽象建模，反映數學的模式化特征。實踐證明，線段圖具有直觀性、形象性和實用性，如果學生從小掌握了用線段圖輔助解題的方法，分析問題和解決問題的能力將會大大的提高。
參考文獻：
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