時間：2023-07-24 09:24:14
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思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現.它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質.函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終.函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍所組成的集合)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的.本文就常見的函數解題與函數定義域的密切解析以具體案例的形式展開論述。
1.函數解析式與定義域
函數解析式包括定義域和對應法則，所以在求函數的解析式時必須要考慮所求函數解析式的定義域，否則所求函數解析式可能是錯誤的.
案例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數解析式？
解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x(50-x)
故所求函數的解析式為：S=x(50-x)．
如果解題到此為止，則本題的函數解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0
即：函數的解析式為：S=x(50-x) （0
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性.
2.函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.
案例2：求函數y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．
解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
當x=1時，ymin=-4
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化.這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性.
其實以上結論只是對二次函數y= ax2+bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區間[p,q]上，它的最值應分如下情況：
⑴ 當 時，y=f(x)在[p,q]上單調遞增函數f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 當 時，y=f(x)在[p,q]上單調遞減函數f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 當 時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min= ，
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值.
故本題還要繼續做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
f(5)=52-2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性.
3.函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.
案例3：求函數 的值域．
錯解：令t= ,則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
故所求的函數值域是 ．
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1．
故所求的函數值域是[1, +∞）．
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。
4.函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.
案例4：判斷函數y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
定義域區間[-1,3]關于坐標原點不對稱
函數y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數．
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性.
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函數y=x3, x∈[-1,3]是奇函數．
錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因.
5.結束語
綜上所述，在求解函數解析式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性.
學生進入高中，學習集合這一基本工具后，就開始了高中函數的學習。用集合的觀點定義了函數，進而開始了對函數的研究。然而，不管是求函數解析式、值域，還是研究其性質，都離不開對定義域的研究。
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：
例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）
故函數關系式為：S=x（50-x） .
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍： 0
即：函數關系式為：S=x（50-x） （0
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現了思維的嚴密性，培養學生此項品質是十分必要的。
另外如：y=x和 雖然對應關系相同，但定義域不同，也是不同的函數。
二、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例2：求函數 的值域.
錯解：令
故所求的函數值域是 .
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數 在[0，+∞）上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1.
故所求的函數值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。
求函數值域，往往也會想到函數最值的求解。這里以二次函數
為例舉例說明。
例3：求函數 在[1，4]上的最值.
解：
當 時，
初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。學生只知道利用對稱軸求二次函數最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函數 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，應注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。
三、函數單調性與定義域
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：
例4：求出函數f（x）=1n（4+3x-x2）的單調區間.
解：先求定義域：
函數定義域為（-1，4）.
令 ，知在 上時，u為減函數，
在 上時， u為增函數。
又
即函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。此題正解應該是函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
四、函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數 的奇偶性.
解： 定義域區間 不關于坐標原點對稱
函數 是非奇非偶函數.
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性可能得出如下錯誤結論：
函數 是奇函數.
綜上所述，在求解函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生辨析理解能力，有利于培養學生的數學思維品質，激發學生的創造力。
在數學教學中往往會出現求解函數的關系式，遇到這樣問題時如果忽視了所求函數關系式的定義域，將會使求解函數出現錯誤的結論。
例1：用長14.8m的鋼條來制作一個長方體容器的框架，若所制容器底面一邊長為x，且比另一底邊小0.5m，求容積V關于邊長x的函數關系式。
解：設容器高為h，則4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x
V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x
本題解答到這里并沒有結束，從題目中我們不難發現函數關系式還缺少自變量x的取值范圍。此時如果引導學生注意解題思路的嚴密性，強調函數三要素，學生將會有所發現：
因為邊長x和x+0.5以及高h均大于0，所以由：
x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0
學生思維一旦缺乏嚴密性，就很容易忽視函數自變量定義域，所以在用函數方法解決實際問題時，務必注意函數自變量的取值范圍對實際問題的影響，對學生加強必要引導和訓練。
二、利用函數最值與定義域，培養思維靈活性
數學函數求最值的問題充分體現函數定義域的重要性。如果忽視定義域，將會導致最值的錯誤。
例2：已知函數f（x）=■，x≥1
（1）當a=■時，求f（x）的最小值。
（2）若對任意x≥1，f（x）>0恒成立，求實數a的取值范圍。
分析：此題第（1）問，學生會產生三種思路：①利用單調性的定義證明f（x）的單調性再求最值；②利用導數判斷函數的單調性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前兩種方法都較為繁瑣，所以學生很容易偏向第三種解法。
錯解：（1）a=■時，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，當且僅當x=■時，即x=±■時，f（x）■=2+■
剖析：盡管學生想到了均值不等式這樣簡潔的方法，但是忽視了均值不等式的應用條件和函數的定義域。因為±■ 1，+∞，所以“=”取不到，故此解法錯誤。
（2）在（1）的教訓下，學生在解答這一小題時開始注意到“x≥1”這個條件，于是作如下解答：
由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函數的知識可知，只需要令
或者作如下解：
若x■+2x+a>0恒成立，則a>-x■-2x恒成立，則只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。
但是這兩個答案都是錯的，都是沒能把定義域考慮完全，盡管在開始的變形與轉化中已經注意到這個問題，但是隨著解題的深入，在思維定勢的影響下，定義域又忘了。
正解：思路一，x≥1，若f（x）=■>0恒成立，則只需要x■+2x+a>0恒成立，二次函數g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上遞增，若在x≥1時，g（x）恒大于0，則只需要g（1）>0。3+a>0，即a>-3。
思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，設g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，則只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。
由此我們可以發現，學生在解題過程中的思維嚴密性和靈活性不是短期內就能養成的，這時，教師應當提醒學生注意自變量的取值范圍，這樣就可以打破學生的思維定勢，提高其靈活性。
三、利用函數值域與定義域的關系，培養思維批判性
在數學函數中當定義域和對應法則確定下來，函數的值也將會隨之而確定。因此，我們在解答函數值域的問題時，要高度重視函數定義域的問題。
例3：已知函數f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。
錯解：設sinx+cosx=t，則sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域為[1，+∞）。
剖析：換元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）-■≤t≤■
g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1
f（x）的值域是[-1，■+■]。
自變量的取值范圍對函數值域非常重要，因此，教師要能夠嚴格要求學生對做完的習題進行檢驗，發現和修訂錯誤，從而培養學生良好的學習習慣，提高學生思維的批判性和嚴謹性。
四、利用函數單調性與定義域，培養思維深刻性
在解答函數習題時，千萬不能忽略函數的單調性，應強調在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨之增減的情況，討論函數單調性在給定的定義域區間上的變化情況。
例4：指出函數f（x）=■的單調區間。
解：先求定義域：log■（x■2x）≠0，x■2x≠1
又x■2x>0，所以函數定義域為：
（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）
設u= x■-2x，則u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上遞減，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上遞增。根據復合函數單調性的判斷方法，可知f（x）的單調減區間是（-∞，1-■）和（1-■，0）；單調增區間是（2，1+■）和（1+■，+∞）。
（一）在看圖讀題中“說數學”
低年級數學課本有大量形式多樣、富有趣味性的主題圖呈現數學信息。培養學生學會從數學的角度觀察畫面，從中選擇有用的數學信息提出問題，解決問題。可以有效提高學生的數學語言能力。比如，學習人教版一上《比多少》時，可以這樣指導學生讀圖和看圖方法。
片段描述：
【課件呈現主題圖】
問題1：我們來比一比，小兔的只數和它們手中搬的磚頭的塊數，誰多誰少？
生：兔子有4只，磚頭也有4塊，它們同樣多。（根據學生回答貼出兔子圖和磚塊圖）
師：兔子有4只，磚頭也有4塊，1只兔子對應1塊磚頭，一一對應起來，最后誰也沒多出來，誰也沒少。我們就說它們“同樣多”。這種1個和1個對應起來比較的方法，我們稱它為“一一對應”的方法。
問題2：你還能從圖中找出同樣多的東西嗎？
生1：凳子有4張，磚頭也有4塊，它們同樣多。
生2：兔子有4只，凳子也有4張，它們同樣多。
生3：木頭有4根，凳子也有4張，它們同樣多。
……
根據學生的回答，課件出示相應的東西，并一一對應起來。
問題3：比一比小豬的只數和木頭的根數，它們也同樣多嗎？為什么？
生1：小豬有3只，木頭有4根，木頭的根數比小豬的只數多。（根據學生回答貼出小豬圖和木頭圖。）
生2：3只小豬扛著3根木頭，地上還多出1根，木頭比小豬多。（用虛線一一對應起來。）
師：1只小豬和1根木頭一一對應起來，木頭多出1根，小豬少了1只，我們就說，木頭比小豬多，小豬比木頭少。
由上述示范，大部分學生也能準確、完整地用數學語言表達圖中的各種信息。
在孩子們的眼里，主題圖中的畫面更多的是故事情節而不是數學信息，需要教師通過提問的方式指導學生讀圖、掌握看圖方法，從而恰當地“說數學”。如問題1是引導學生通過觀察兔子的只數和磚頭的塊數，進而發現，采用一一對應方法，直接得到數量是同樣多的，經歷了“一樣多”的生活語言到“同樣多”的數學語言的轉化。長期堅持引導學生在看圖讀題中“說數學”，就能提高學生的讀圖、讀題能力，發展學生的思維。
（二）在變式訓練中“說數學”
數學思維的深刻性來自對事物本質屬性的理解，如何培養這種思維品質？變式訓練無疑是一種好策略。如學習人教版一下“求一個數比另一個數多（少）幾”時，可以引導學生進行一次“答案不變，換個說法”的比賽。
片段描述：
【黃氣球9個，紅氣球27個，共有多少個氣球？】
師：你能給題目換個說法，又能使題目答案不變？
根據學生的回答，有以下幾種變換形式：
①紅氣球27個，黃氣球比紅氣球少18個，共有多少個氣球？
②黃氣球9個，比紅氣球少18個，共有多少個氣球？
……
課堂中讓學生參與這樣的變式訓練，以豐富的語言變換形式表達特定數學信息，從而培養學生的分析、綜合、判斷、推理等思維能力，以“說數學”的行為發散思維。再如復習人教版二上“表內乘法”這一單元時，例如2×9=（ ），3×8=（ ），教師可以放手讓學生通過變式設計成（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=18，（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=24，通過這樣的設計，讓學生的數學思維得到擴展，更能讓學生對《表內乘法》更加深入理解，切記表格更深入。
變式訓練能幫助學生認識事物的本質特征，理解基本概念和原理，促進學生思維的發展和智能的提高。
二、基于學習方法的數學語言表達
（一）在動手操作中“說數學”
低年級的學生以形象思維為主，操作活動為形象思維提供直觀的載體，用數學語言描述操作過程，把動手操作、動腦理解、動口表達結合起來，可以把感知轉化為智力活動，達到深度理解知識的效果。
如在學習人教版二下“有余黨法”這一課時，可設計如下操作活動。
片段描述：
1.【呈現要求：3根小棒擺一個三角形，6根可以擺幾個？】學生動手操作后進行反饋。呈現學生作品：；引導學生借助圖示說算式含義，回顧表內除法含義。
2.【跟進要求：同理，7根小棒呢？】學生猜測并再次動手操作驗證，展示反饋：；指名學生借助圖示說算式含義，教師引導學生重點交流“1根”小棒產生的原因及含義，再以對比的方式，借助具體情境理解“余數”含義。
教師引導學生通過操作、對比理解余數及其含義，因為余數是平均分完后剩下的那部分，直觀操作、借圖說理和對比有利于學生建構對余數含義的理解。
（二）在算理表達中“說數學”
理解算理是正確計算的重要保證。低段學生機械模仿能力較強，但不善于思考問題。計算教學時通過“說”的訓練和“說”指導，重視說想的過程，能加深對算理的深刻理解，鞏固算法，提高計算能力，培養學生表達能力，發展思維。
如學習人教版二上“兩位數進位加法”，動手操作建立了35+37=72的表象后，強化說算理的過程。
片段描述：
1.【根據情境列出算式35+37】
提問：35+37等于多少？請你用手中的小棒或小正方體擺一擺，也可以用計數器撥一撥，算一算。
匯報交流：①把個位上的小棒捆成1捆。②把個位上滿10的珠向十位進1。
追問：為什么兩種不同的學具操作時都要把個位上的一個10給十位？
學生一邊操作，一邊解釋“進1”的原因。
在低年級數學課堂上只有手腦并用，引導學生邊動手操作、動眼觀察、動腦思考、邊口述操作過程，借助語言，把思維過程明確、清晰地表達出來。把想與說，看與說，做與說有機地結合起來，在充分感知的基礎上，并通過語言將操作過程“內化”為思維。
2.【學生嘗試列豎式計算】
生：個位上5加7得12，個位寫2。然后在十位上記下1，十位上3加3得6，再加上記下的1是7。
師：你為什么要記下這個1呢？
生：進位呀！
師：什么時候進位？怎么進位？
生：滿十就要進位，從個位向十位進位！
根據學生的回答，完整地出示計算過程。
個位：5+7=12，它里面有1個十和2個一。
在個位上寫2，向十位進1。
十位：3+3+1=7表示7個十。
著名數學家華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之迷，日用之繁”無一能離開數學。對數學地位如此精辟的概述，可見數學傳遞給世界的，除了邏輯推理知識以外，也有其獨特的藝術魅力。農村小學生參與到家務工作中去的時間較多，在基礎理論方面的把握和理解上相對薄弱，因此，需要從數學符號本身傳達的實質含義、生活化含義入手，培養學生對數學符號的閱讀興趣，使學生在閱讀數學符號的同時能夠感受到數學邏輯思維帶給他們的愉悅的情感體驗。
一、從數學符號開始閱讀
“×÷■±≠=≮≯∑”是運算符號；“∠⌒≌°|a|∽”是幾何符號；“∪∩∈Φ？埭”是集合符號；“@ # ￥”是特殊符號；“ ”是推理符號。數學符號作為一種語言象征獨立于其他類別的語言符號而存在，它們的出現比數字出現要晚得多，人類創造了數字并付諸實踐，發現單純的數字呈現并不能完整意義地說明數量之間的邏輯關系。因此，在早期貨物交換過程中，為了表達數量之間的邏輯關系，人們不得不再進行口語化解釋。后來口語現場解釋解決不了異地、非面對面的交易問題，因此，數學符號隨著書面文字的發展就應運而生了。如，“+”來源于十六世紀意大利科學家塔塔里亞的數理運算，它用意大利文“plu”的首個字母來表示“加”。隨著時代的遷移最終演變為“+”的形態并沿用至今。
農村小學生基礎數理知識的學習，要從符號抓起。而讓他們愛上數學要從愛上閱讀數學符號開始，而愛上數學符號又要從解讀數學符號的真實含義開始。
二、融入生活中的數學閱讀
數學教師用自己的符號語言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z=13，不出現一個漢字。學生問老師：“這些符號是什么意思呢？”學生A回答說：這是個和蘋果有關的故事，甲小孩拿了2個蘋果，乙小孩拿了3個蘋果，丙小孩拿了1個蘋果，一共拿走了13個蘋果。學生B回答說：這是一個三元一次方程式，已知數是“2、3、1和13”，x、y、z是這個不定式方程的求解未知數。學生C回答說：將x乘以2，將y乘以3，將z乘以1，三者相加的結果是13，問x、y、z各是多少？
老師笑了笑說：這些符號語言，就是我們用來進行數學學習的工具――數學符號。里面的2、3、1、+、=都是符號化的數學語言。但是三個學生的理解是有偏差的，A同學看到的是語言情境，B同學看到的是語言形式，只有C同學看到的才是符號本來的含義。從句式結構上講，同學B口中的三元一次方程式既不能是陳述句，又不會是感嘆句，而應該是疑問句。方程式在沒有正式解答之前都是疑問句。
數學符號的實質含義都是一種沒有答案的邏輯推理，將文字語言和數學符號相互轉換能夠最大限度地激發學生對符號的學習積極性，從而提高學生對數學題目的生活化閱讀能力。
三、感受數學符號化語言帶來的閱讀體驗
數學符號就像是積木，每一個小小游樂園里的建筑物都是由不同形狀、不同顏色的積木塊搭建而成，而這些積木構造中又蘊含了建筑知識的所有信息，需要搭建者去認知、領悟、理解和應用。學生除了要知道積木的“形狀、顏色、構造”等本質特征以外，還需要進步掌握A積木與B積木或者C積木之間的建構關系，在積木搭建過程中應用好這些積木之間的邏輯關系，從而搭建出理想中城堡的樣子。
符號串聯融入習題的教學方法給學生帶來了一種不一樣的思維模式，傳統課堂上學生只知道數學符號是解題的線索和答題的工具，并不完全了解數學符號在數學發展史中舉足輕重的地位。而符號融入高中數學教學中，最大限度地將數學符號的原始面貌呈現在學生面前，讓學生“腦洞大開”，思維上受到不一樣的洗禮，長遠來看，是非常具有數學意義的。
概念口語訓練的主要內容有數和形的含義、數的組成的讀法和寫法。訓練重點應放在概念含義的形成過程和應用過程的表述上。教師可以在學生有一定感知基礎上，由扶到放，達到理解概念的含義。例如第一冊加法意義的教學。教師創設情境，借助生活讓學生懂得如何說，如2+1，可以設計成2只兔子在一塊圓形的草地上吃蘿卜，教師用圓圈將草地圈上，再出現1只兔子跑進來也要吃蘿卜，外面再來一個大圈。這時，教師問學生共有多少只兔子要吃蘿卜（讓學生體會共有多少個就是把它們合并起來）。這樣的引導，一年級的學生就能很快復述把2只兔子和1只兔子合并在一起，求一共是多少只，用加法計算?！?”號表示合并的意思。低年級的學生抽象形象比較差，生活情境可以讓他們明白加法概念的含義，雖然教師沒有明白說這是概念的含義，但學生可以根據情境來復述加法計算的過程，如果學生在復述時表達不清，教師只要適當點撥就行。
數的含義和運算意義的應用過程，要訓練學生看到一個數或一個運算式子，能夠在頭腦里把抽象概括出來的一般概念與理論，與具體事物聯系起來，這是認識過程的第二次飛躍。如看到一個小數或算式，就能講出它的含義。
二、計算訓練重在算理
計算口語訓練的主要內容有口算的思維過程和筆算的算理算法。每個學生在口算時都有自己的一個策略，但這個策略有一定的算理在里面，離開了算理，學生口算就會出現錯誤，教師要重視算理的傳授，鼓勵學生將怎樣算的過程講出來。如7+5=（ ），這是一年級學生最常要算的口算題，它的算理是湊十法，如何讓學生快速湊十，教師要引導學生口述計算過程：7和幾湊成10（7和3湊成10），把5分成3和2，7加3得10， 10再加2得12，所以7加5等于12。訓練時應注意：1.先理后法，即先理解算理，后概括口算方法。2.先詳后略，即先講詳盡的思維過程，再簡要說明過程。如上面湊十法的口算過程，當學生說得較熟練時，可以讓學生簡單說：7+3=10，10+2=12。最后直接說出得數。3.先要求口算達到正確，再要求口算達到迅速。
三、應用題訓練重在思路
應用題口語訓練的內容有“四講”。
1.講題意。先是讀題訓練?！白x”是思維的第一步，是獲取信息的階段。要求學生讀得正確、清楚，不漏字、不加字、不讀破句子。再是講題意訓練，訓練學生用自己的話來復述題意。
2.講分析數量關系的過程。這是口語訓練的重點。數量關系是應用題的難點，只有讓學生明白已知條件和問題之間的關系，學生解答時才能變得簡單，再難的應用題也是由簡單的組合而成的。應用題的算理訓練的重點放在兩個轉化上，一個是把應用題中的日常語言轉化為數學語言；二是把數學語言轉化為數學式子。如分析“王老師買了32支鉛筆，要平均獎給8個同學，每個同學可以得到幾支”。學生剛接觸這類題目時，教師在引導時要啟發學生：把32平均分成8份，每份是幾，就是每個同學得到的支數。根據“要分的總數作被除數，平均分的份數作除數”，列式成32÷8。復合應用題分析數量關系的重點放在講思路上。常用的解題思路有綜合法、分析法和分析綜合法三種。綜合法是從條件想起，常用的思路提示語是“知道了……和……可以求出……”；分析法是從問題想起，常用的思路提示語是“要求……，必須知道……和……”；分析綜合法常用的思路提示語是“最后問題的數量關系式是什么”、“這個關系式中哪個數量是已知的，哪個是未知的”、“根據已知條件什么和什么，可以求出未知數量什么”。
數學學習的過程，是兒童認知結構不斷自我構建、重組、修改、完善的過程。我們的數學教學，不僅要讓學生獲得數學知識，形成數學技能，更為重要的是提升學生的數學素養。筆者認為，數學教學根本價值追求在于：通過數學學習，發展學生思維力，激活學生想象力，提升學生學習力。教學中，教師要潛泳到兒童數學“核心素養”的天然地帶，幫助兒童積淀基本數學活動經驗，形成數學思想方法，提升數學文化、精神與品格。
一、培養兒童數意識，促進數學思維走向遠方
“數意識”即“數感”，是兒童數學核心素養的重要方面。數意識不僅是兒童對數的感知覺，更是兒童對數與數、數與式、式與式等之間關聯的意識和靈動運用數學知識解決問題的能力。在數學教學中，教師不僅要讓兒童“眼中有數”，更要讓兒童“心中有數”。例如教學《“0”的認識》（蘇教版小數教材第1冊），筆者在引導兒童認識“0”時，讓孩子們找生活中的“0”，從而巧妙地滲透數學中“0”的不同含義。課堂交流中，有孩子在牛奶瓶上找到了“0”，這里的“0”表示牛奶喝完了。筆者由此相機揭示“0”的第一層含義――“0”表示沒有；有孩子在直尺上找到了“0”，筆者則順勢揭示“0”的第二層含義――“0”表示起點：有孩子在溫度計上找到“0”，筆者由此揭示“0”的第三層含義――“0”表示分界，等等。通過生活與數學之間的意義關聯，豐富學生數的理解，從而在兒童心中建立起“0”的心理鏡像。
兒童數意識的培養，是我們數學教學活動的重要組成部分。這里，筆者通過正遷移的方式，從兒童的自我發現中及時歸納、總結，讓“0”這個普通的數字的三層含義――沒有、起點、分界，極其感性地呈現于他們面前，是他們驚嘆于數字的豐富內涵。我們帶領兒童數學學習的終極目標，就是促進他們在數學上得到屬于自己的最大可能的不同發展。我們如果能夠在“保底”的前提下努力促進兒童擁有良好的數意識，那么，他們的數學思維才能走向遠方。
二、發展兒童思維力，真正提升兒童數學理解
數學理解是以概念、判斷和推理為基礎的理性理解。教學中，由于每一個兒童的知識經驗、生活經驗不同以及認知特質和認知狀態差異使得每一個兒童的思維方式各不相同，有學生擅長操作思維、有學生擅長圖形思維、有學生擅長符號思維等。教學中教師要依托兒童的思維特質，提升兒童數學理解。例如：教學《認識長方形和正方形》（蘇教版小數教材第5冊），不同學生運用不同方式探究長方形和正方形的特征，有孩子用“測量法”測量邊的長度、角的度數：有孩子用“對折法”探究對邊特征、對角特征；有孩子用“拼搭法”做長方形和正方形，從“做”中探究特征；有孩子用“畫平行線和垂線”的方法尋找長方形和正方形特征……
在數學探究中，學生充分運用自己的前經驗、前理解、前認知嘗試解決新問題，在這樣的靈動思維中，舊知得到充分的回顧和靈活運用，新知有了去陌生化的奠基，從而，新舊認知得到最合理的橋接。像這里，學生在實踐、交流、討論、思維碰撞中，真切認識到長方形、正方形的基本特征，如四個直角、對邊相等、四邊相等……在此基礎上，教師再通過對長方形的旋轉、放大、縮小等變化，讓學生依據特征形成長方形的理性判斷，可以再度深化學生對數學知識的本質理解。
三、開發兒童想象力，更好地建構起數學知識
數學想象是數學創造的基石。愛因斯坦說：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力卻概括著世界上的一切，并且推動著科學進步。”在數學教學中，教師要有意識地創設生長兒童想象力的情境、空間，激活兒童的數學想象，讓兒童依托想象更好地建構數學知識。例如：教學《長方體和正方體的認識》（蘇教版小數教材第9冊），筆者在學生初步掌握了長方體和正方體的名稱、特征以及關系后，便嘗試引導學生展開動態想象：教師先擦去一條棱，讓學生想象長方體：再擦去一條棱，再想象完整的長方體……這樣，隨著棱的條數越來越少，實際呈現的長方體完全敞開，在這不再封閉的圖形變化中，孩子們發現：只要具備相交于同一個頂點的三條棱，就能通過動態想象還原、重建出長方體的框架。教師由此自然揭示長方體的長、寬、高。這樣的動態想象，一方面鞏固了長方體特征知識：另一方面幫助學生建立了三S思考、想象的空間，豐厚了學生的想象經驗。
數學語言是數學化了的自然語言，是表達科學思想的通用語言和數學思維的最佳載體。它包含符號語言、文字語言和圖表語言，具有簡練、抽象、清楚以及形式多樣的特點。無論是符號語言還是圖表語言，最終讓學生理解其含義都要通過文字語言的表述，所以，這里重點闡述數學的文字語言。
一、數學文字語言的特點
1.準確性。
自然語言具有多義性，含糊不清，而數學語言必須準確、嚴密、清楚，不存在歧義，它是表達數學概念、判斷、推理、定理的邏輯思維語言，與富有彈性的文學語言相比，數學語言有一副“鐵板的面孔”。它的每個字、詞都有確切的含義，不容混淆。“一元一次方程”與“一元二次方程”、“直線和射線”、“鈍角和銳角”等，一字之差，表示完全不同的兩個概念；詞序顛倒，也會表達兩種不同的意思，如“全不為零”與“不全為零”、“方程解”與“解方程”等。數學語言中，句子的附加成分常常作為條件，如定義“底面是正多邊形的直棱柱”中的定語，定理“平行四邊形中，對角線互相平分”中的狀語，都是不可增刪的條件，這就是數學特有的性質——數學語言的準確性。
2.嚴謹性。
數學還有一副鋼制的骨架——嚴謹的邏輯。特殊不能代替一般，部分不能代替整體，不能臆斷、不能循環論證等。這些特點決定數學概念要表述準確，判斷和推理要嚴密，敘述要合乎邏輯。所以，教學中教師要做到：講概念，抓住實質，準確無誤；做推理，步步有據，完整周詳；得規律，字斟句酌，無懈可擊。不僅如此，還要對概念的定義進行解剖，對定理、法則中的關鍵詞語下一番咬文嚼字的功夫，并適當輔以反例，以明確概念的內涵。如，一位教師在教學分數的初步認識時，指著一張紙的四分之一處說：這是四分之一。這句話準確嗎?是不是缺少一些修飾語呢?數字只是一種“表示”符號。注意我這里強調的是一種“表示”，決不能說它“是”什么。如不能指著你的手說這是“5”，而應說這是5個手指頭，再如有3棵樹，不能指著樹說：這是3，而應說這是3棵樹。所以，剛才提到的分數初步認識的四分之一正確的說法是：可以用四分之一來表示，或者占這張紙的四分之一，是這張紙的四分之一等。這樣的數學語言才準確、嚴謹、規范。再如，分數的基本性質，分數的分子和分母同乘或除以一個相同的數(零除外)，分數的大小不變。這句話里的“同時”、“相同”、“零除外”這些詞概括得非常準確、嚴謹，缺一不可，如果沒有這些詞分數的基本性質就不成立了。
3.簡潔性。
數學的邏輯嚴謹、高度抽象必然帶來數學語言的精練。用數學語言表達數學事實，要特別注意詳略得當，簡潔明了，凡重復的或多余的敘述應力求避免，而必須交代的事項則一定要闡述清楚，不可省略。例如加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置和不變。簡短的一句話包含了三層意思：研究范圍是兩個加數，交換加數的位置，和不變。應該說不能再少一個字了。再如三角形的定義，由三條線段圍成的圖形。只有10個字，“三條”、“線段”、“圍成”、“圖形”再加上連接詞“由”和“的”，概括得嚴密準確，惜字如金，沒有任何多余成份。
二、如何教學數學的文字語言
1.找準每節課的核心數學語言或關鍵詞。
數學內容是由數學語言構成的，數學教學就是數學語言的教學。教師根據教學內容，在教學時要盡量把每一節課的數學知識提煉成一兩句數學語言或一兩個關鍵詞，緊扣數學語言或關鍵詞展開教學。這樣，學生不僅能理解數學知識，更能夠發展思維，增長智慧。
如，教學長、正方形的周長，關于周長的描述，“圍成物體一周的總長，叫做這個物體的周長”，“圍成圖形一周的總長，就是這個圖形的周長”，這里要凸顯“一周”、“總長”。
又如，教學“面積”時，“物體表面的大小或封閉圖形的大小叫做面積”。這里要突出“表面”和“封閉圖形”，教師在教學時表述要準確、清楚，如黑板面的大小、課桌面的大小、數學書封面的大小、墻壁面的大小等。
再如，在“分數的初步認識”一課中，把一個物體平均分成(
)份，其中的一份是這個物體的(
)，這句話要讓學生結合具體物體才能夠完整地表述出來，就是說，不要求學生用語言概括出分數的意義，但要能夠結合具體物體把某一具體分數的含義表述完整，這樣才能說明學生真正理解了某一分數表示的含義，否則就是一本糊涂賬。通過這種數學語言的教學，學生才能真正理解數學知識的含義，發展思維，增長智慧。
2.數學語言的抽象過程要清晰。
數學語言的抽象就是從眾多的生活事實中舍棄非數學的，提取出共性的、共同的、數學特有的東西。提取的時候要分成兩步，首先，相關的生活事實要豐富，其次，進行去粗取精，去偽存真，提煉出數學本質的東西。如教學長方形、正方形的周長，教師可以先用鏡框的邊線進行引入：“圍成這個鏡框一周木線條的總長，就叫做這個鏡框的周長?！苯處熞贿呎f一邊用手比劃，接著問：“什么是黑板的周長?”同樣讓學生一邊用手比劃，一邊用語言描述。再接著讓學生描述什么是講桌的周長、教室里墻壁上畫框的周長、窗戶玻璃的周長等。最后讓學生撇開這些具體的實物，用一句話來概括到底什么叫物體的周長?引導學生總結出：圍成物體一周的總長度，叫做物體的周長。即先結合具體實物用數學語言進行描述，接著再引導學生撇開具體實物概括出純數學語言。
3.概括時要突凸顯數學語言的核心詞。
語文教學中要抓住關鍵詞、關鍵句進行教學，同樣數學教學中也要抓住關鍵詞、句進行教學。如上述的物體的周長描述中的“圍成”、“一周”、“總長”，就是周長定義的關鍵詞，學生進行總結的時候，教師要引導學生把這些關鍵性的詞語凸顯處理。那么，如何才能凸顯這些關鍵詞呢?
首先，舉反例引出關鍵詞，如孩子在概括周長的時候，如果沒有加上“圍成”這個詞，教師可以在黑板上隨手畫上一片樹葉，并用紅筆描出大半個周長，質疑學生這是這片樹葉的周長嗎?引出“圍成”這個詞，說明“圍成”是要首尾相連和封閉的。
一談及閱讀，人們聯想的往往是語文閱讀，然而，隨著社會的發展、科學技術的進步及“社會的數學化”，僅具語文閱讀能力的社會人已明顯地顯露出其能力的不足，如他們看不懂某些產品使用說明書，看不懂股市走勢圖，等等。此即表明，現代及未來社會要求人們具有的閱讀能力已不再只是語文閱讀能力，而是一種以語文閱讀能力為基礎，包括外語閱讀能力、數學閱讀能力、科技閱讀能力在內的綜合閱讀能力。因此，在只重視語文閱讀能力培養的當今學校教育中，加強學科閱讀教育研究，探索學科閱讀教學的特殊性及教育功能，認識學科閱讀能力培養的重要性，就顯得尤為重要。這里就數學閱讀的特殊性談談看法。
數學閱讀的特殊性：
數學是一種語言，“以前，人們認為數學只是自然科學的語言和工具，現在數學已成了所有科學――自然科學、社會科學、管理科學等的工具和語言”。不過，這種語言與日常語言不同，“日常語言是習俗的產物，也是社會和政治運動的產物，而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的”。因此，美國著名心理學家布龍菲爾德說：“數學不過是語言所能達到的最高境界”。更有前蘇聯數學教育家斯托利亞爾言：“數學教學也就是數學語言的教學”。而語言的學習是離不開閱讀的，所以，數學的學習不能離開閱讀，這便是數學閱讀之由來。
數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。但由于數學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等特點，數學閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認識這些特殊性，對指導數學閱讀有重要意義。
首先，由于數學語言的高度抽象性，數學閱讀需要較強的邏輯思維能力。在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。
其次，數學語言的特點也在于它的精確性，每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產生歧義的詞匯，數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數學閱讀學習。
數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。但由于數學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等特點，數學閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認識這些特殊性，對指導數學閱讀有重要意義。
首先，由于數學語言的高度抽象性，數學閱讀需要較強的邏輯思維能力。在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。
其次，數學語言的特點也在于它的精確性，每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產生歧義的詞匯，數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數學閱讀學習。
第三，數學閱讀要求認真細致。閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數學閱讀由于數學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數學“言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數學閱讀常出現這種情況，認識一段數學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法。數學語言形式表述與數學內容之間的這一矛盾決定了數學閱讀必須勤思多想。
在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。
二、數學語言的特點也在于它的精確性
每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產生歧義的詞匯，數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數學閱讀學習。
三、數學閱讀要求認真細致
閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數學閱讀由于數學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數學 “言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數學閱讀常出現這種情況，認識一段數學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法。數學語言形式表述與數學內容之間的這一矛盾決定了數學閱讀必須勤思多想。
四、數學閱讀過程往往是讀寫結合過程
一方面，數學閱讀要求記憶重要概念、原理、公式，而書寫可以加快、加強記憶，數學閱讀時，對重要的內容常通過書寫或作筆記來加強記憶；另一方面，教材編寫為了簡約，數學推理的理由常省略，運算證明過程也常簡略，閱讀時，如果從上一步到下一步跨度較大，常需紙筆演算推理來“架橋鋪路”，以便順利閱讀；還有，數學閱讀時常要求從課文中概括歸納出一些東西，如解題格式、證明思想、知識結構框圖，或舉一些反例、變式來加深理解，這些往往要求讀者以注腳的形式寫在頁邊上，以便以后復習鞏固。
