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【關鍵詞】施工；安全；管理；加固；頂進
【Keywords】construction； safety； management； reinforcement； jacking
【中圖分類號】U445.462 【文獻標志碼】A 【文章編號】1673-1069（2017）04-0149-02
1 引言
大型框構橋下穿鐵路營業線施工工序復雜，安全隱患多，事故屢屢發生。為確保此類施工安全，總結沈陽鐵路局多處此類施工經驗，結合燈塔市忠旺路下穿沈大線351km500m公鐵立交橋工程具體情況， 現就線路加固和頂進過程中應注意的事項作簡要論述。此框構橋3孔，自重6000t，全長45m，高8.8m，軸長22m，采用縱橫抬梁進行線路加固。
2 做好地勘核定并配合相關單位做好施工設計等工作
2.1 準確地驗證線下地質條件是進行線路加固頂進施工的可靠前提
施工單位必須重視設計給定的地勘資料與實際對照工作，從工作坑開挖時，立即就要復核地下水和地質情況，確認降水有效、地質條件相符后才開始進行下一步施工。降水井的設置必須滿足降水的要求，降水標準應降至框構底板下1.5m。鑒于非巖石地段，較大結構的框構橋，在頂進脫離滑板1/2時，普遍出現下沉情況，建議對頂程范圍內基底進行注漿加固措施。
2.2 準確確定工作坑的設置位置和放坡坡度，是確保線上加固作業方便的重要條件
在縱橫抬梁施工作業前，施工單位首先要與相關設備管理單位共同踏勘現場，綜合考慮地下光電纜及路基穩定情況，研究確定工作坑的開挖方案，一般工作坑前沿頂坡腳與線路留足不小于12m的距離，線路側工作坑邊坡按1：1.75放坡，這樣做為施工機械架設縱橫抬梁提供了作業場地，也保證了工作坑不出現坍塌情況。
2.3 框構橋頂進的線下入口、出口設置路基防護樁，是控制框構頂進側天窗的有效措施
設計單位要對頂進入口、出口設置路基防護樁進行設計，防護樁布置位置與框構橋頂進到位位置緊密結合，形成對路基的有效防護。防護樁布置位置與線路的距離要滿足使用反循環鉆機鉆挖防護樁的條件，又能在取消線上加固的條件下，進行補齊刃角的施工。防護樁頂做冠梁連接，冠梁頂面標高與橫抬梁支點帶頂面標高一致。實踐證明，采用種形式的防護，能夠有效控制框構橋頂進過程中的側天窗[1]。
2.4 合理確定框構橋預制形式，是確保頂進安全的重要環節
設計單位應根據地質情況、框構橋外部結構尺寸，合理給定框構橋預制滑板的上船坡度和框構橋前部底板下的上船坡，框構橋前端必須合理設置“前刃角”。
3 合理確定施工加固方案，做好線上加固工作
3.1 合理確定加固范圍
本次框構橋全長45 m，高8.8 m，軸長22 m。設計單位根據框構橋高度按1：1放坡，考慮斜交角度，線路加固長度給定72 m，橫向最長橫抬梁長度52m，實踐證明加固范圍滿足加固要求。
3.2 合理布置橫抬梁支點帶
本次施工設計支點帶截面為50cm×50cm。施工單位為更大地發揮支點帶作用，增大了支點帶截面面積，改為寬80cm，高60cm。支點帶下方進行砂石填平夯實，側壁采用模板支護，頂面抄平，確保支點帶結構尺寸一致。實踐證明，采用該種結構的支點帶，搭設橫梁時，不但確保了下部基礎牢固，橫抬梁搭設平整、便于拼接，能夠起到有效控制前天窗的作用，同時確保了線路的平順狀態。即便支點帶下土體塌落時仍能起到防護橫梁的作用。建議支點帶在出、入口處縱梁下方各設置一條，出口側在縱梁外側3.5m處再設置一條。
3.3 合理確定橫抬梁布設方式和施工方法
本工程線路加固采用50kg/m的3-5-3扣軌梁加I56C工字鋼橫抬梁加固方案。線路下方采用16.5m的I56C工字鋼橫抬梁橫向貫通沈大上下行線，避免了12m工字鋼需要在兩線間進行拼接的過程。橫抬梁間距為0.8m，在框構橋投影的加固范圍內，橫抬梁采用栓接的方式拼接成55m長的整體。拼接時腹板及上下蓋板用螺栓全部連接，避免相鄰橫抬梁接頭在同一截面上，相鄰兩片梁體的接頭相錯布置，間距2m。橫抬梁的一端放置在框構橋頂板上，另一端放置在出口端支點帶和路基頂面上。
3.4 合理架設縱梁，布置輔助縱梁，做好縱梁支墩施工
縱梁由3片I56C工字鋼組成，使用U型螺栓與橫抬梁連接。每道縱梁全長72m，采用10.5m、12.5m和16.5m規格的工字鋼，使用螺栓進行腹板拼接組成，三道縱梁的接縫錯接2m布置。入口側的輔助縱梁架設在入口端路基防護樁冠梁上，出口側輔助縱梁架設在縱梁外4～5m處。輔助縱梁對線上縱橫梁加固整體強度的提高起到了關鍵作用?？v梁端部設置2m（長）×1.5m（寬）×2m（高）的C25混凝土支墩。在支墩施工時，將頂面標高降低300mm，上墊短枕木，確保日后線路進行大機清篩、機搗時不受影響。
3.5 做好抗移樁的設置
鋼軌抗移樁由設計的一根鋼軌增加為兩根，增大了抗移樁的強度。橫抬梁工字鋼與鋼軌抗移樁之間用薄鋼板等塞縫，確保工字鋼與鋼軌抗移樁之間剛性連接。由于鋼軌抗移樁有彈性變形，頂進過程中有回彈現象，建議以后可以設計成帶基礎的混凝土抗移樁，樁頂采用L形冠梁設計，即能起到橫向支頂的作用，又能起到增加一道支點帶作用[2]。
3.6 做好防聯電措施
加固范圍內砼枕全部更換為2.9m長I類木枕，確保線路外側扣3軌與鐵墊板間有足夠絕緣距離。同時將橫抬梁U型螺栓增設絕緣套管，扣板下增設橡膠墊，杜絕了聯電隱患。
4 合理確定頂進方案，做好線路監測工作
4.1 確定頂鎬配置形式
框構橋自重6000t，備用框構橋自重60%以上的頂力，采用4臺泵站帶32臺320t頂鎬進行配置。為防止傳力柱彈崩，使每道傳力柱受力均勻，采用大斷面傳力柱，每隔6m安設一道鋼分配梁。
4.2 確定挖土范圍
為防止塌方，每次前天窗土方開挖按1：0.5坡度控制，采取隨挖隨頂進的方式施工。為減少側天窗，側墻處土方開挖至框構橋里側邊墻或邊墻一半即可。頂進過程中，隨時檢查框構頂板兩端的吃土狀態，該部位與橫抬梁之間不可留有土方，防止框構頂進過程中線路被該處土方推擠變形。
4.3 做好頂進過程中臨時支墩設置及調整工作
頂進過程中，框構橋面上橫抬梁底面與橋面之間用枕木頭、木板、接^夾板搭建臨時支墩，并在接頭夾板表面涂抹黃甘油，減少摩擦阻力。隨頂進過程及時調整橋面與橫抬梁之間支墩的位置，防止支墩的木板、接頭夾板等刮碰U型螺栓，造成線路變形。
4.4 橋上橋下密切配合，指派專人做好動態觀測，確保線路穩定
框構橋的頂進必須在列車間隔時間進行。頂進過程中，安排專人觀察線路的方向及長平，發現變化立即停止作業，并及時恢復線路；安排技術人員對框構橋高低、方向變化進行動態觀測，發現偏差及時調整。橋上橋下作業人員采用對講機呼喚應答，相互之間保持密切聯系。
5 結語
公路下穿鐵路營業線公鐵立交橋施工，只有通過設計、施工、監理、設備管理單位共同努力，嚴格執行鐵路的相關管理辦法及制度，才能確保下穿鐵路立交橋施工的絕對安全。
煙臺市福山區人民醫院骨科，山東煙臺 265500
[摘要] 目的 比較采用克氏針張力帶配合骨錨釘與鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶在治療肩鎖關節脫位重建的臨床療效。方法 選取該院收治的肩鎖關節脫位患者32例，應用克氏針張力帶配合骨錨釘治療肩鎖關節脫位17例(骨錨釘組)，應用鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位15例(鎖骨鉤鋼板組)。術后3個月取出鎖骨鉤鋼板和克氏針張力帶，骨錨釘不取出。采用Karlsson標準評定患肩功能。結果 兩組患者均獲得9～45個月以上隨訪，平均27.6個月。術后3個月，兩組內固定物均未發生松動、斷裂。按Karlsson標準評定療效，骨錨釘組：優12例，良4例，可1例，優良率94.1%。鎖骨鉤鋼板組：優10例，良4例，可1例，優良率93.3%。兩組肩關節功能評分差異無統計學意義(P>0.05)。結論 采用克氏針張力帶配合骨錨釘或鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位療效無明顯差異，都是安全有效的方法。
關鍵詞 肩鎖關節脫位；喙鎖韌帶；內固定器
[中圖分類號] R684.71 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-0742(2014)03(a)-0098-02
[作者簡介] 朱建軍(1973.7-),男,山東煙臺人,碩士,主治醫師,研究方向：骨科。
肩鎖關節脫位是肩部常見損傷，多由外力自肩上部向下沖擊肩峰或跌倒時肩部著地引起。臨床上對肩鎖關節脫位的治療手術方法種類很多，包括克氏針張力帶、鎖骨鉤鋼板固定及交叉克氏針，包括或不包括韌帶的修補重建。隨著生物科技的發展，骨錨釘已成為修復韌帶損傷的常用材料之一。該院自2008年1月—2012月12月采用克氏針張力帶配合骨錨釘與鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位(Rockwood[1]分級Ⅲ型及以上)患者32例，以比較兩種方法的療效,現報道如下。
1 資料與方法
1.1 一般資料
克氏針張力帶配合骨錨釘組(骨錨釘組)患者17例，其中男12例，女5例，年齡22～65歲，平均39.3歲；Rockwood分型，Ⅲ型10例，Ⅳ型4例，Ⅴ型3例。術中使用的骨錨釘為帶線錨釘，錨釘直徑3.5 mm，長度12 mm，尾線為2#Fiberwire線。
鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建組(鎖骨鉤鋼板組)患者15例，其中男11例，女4例，年齡25～63歲，平均37.8歲；Rockwood分型，Ⅲ型9例，Ⅳ型4例，Ⅴ型2例。韌帶重建材料為自體闊筋膜肌腱。
所有患者受傷至手術時間1～3 d，平均1.5 d。術前所有患者應拍攝肩關節正位X線片，以確定肩鎖關節脫位損傷的類型及程度，同時術前應完善常規檢查，評估麻醉和手術風險。
1.2 治療方法
全部患者于頸叢或全身麻醉下手術。取沙灘椅，自肩鎖關節至喙突行“L”樣弧形切口，長約 6～8 cm，術中為注意保護鎖骨上神經，應沿鎖骨走行方向橫行切開附著于鎖骨、肩峰端的斜方肌及三角肌，充分使肩鎖關節及喙突顯露。必要時切除肩鎖關節盤狀軟骨。
骨錨釘組：復位肩鎖關節，自肩峰向鎖骨平行鉆入2枚直徑1.5 mm克氏針，鋼絲張力帶固定，可吸收線修復斷裂喙鎖韌帶，在喙突基底部擰入2枚骨錨釘，在距2.5～3.0 cm鎖骨肩峰端處(正好對著喙突上方)，用2.5 mm鉆頭在鎖骨中心位置鉆孔，將每枚骨錨釘的1束尾線穿過骨隧道，另外2束分別置于鎖骨前面及后面，收緊穿過骨孔的尾線前后并打結固定。
鎖骨鉤鋼板組：取自體闊筋膜肌腱，折疊縫合，直徑3.5 mm，長約8.0 cm，對肌腱預張，防止重建韌帶松弛。復位肩鎖關節，根據術中情況選擇適當長度的鎖骨鉤鋼板、塑形，將鋼板鉤端從肩鎖關節后肩峰骨膜下插入，使得鋼板與鎖骨遠端貼服良好，并擰入螺釘固定。在喙突體部、鎖骨(正好對著喙突上方)各作一骨隧道，將肌腱穿過隧道，收緊，肌腱兩端重疊縫合固定。
最后修復肩鎖關節囊及肩鎖韌帶，縫合斜方肌及三角肌。
1.3 術后處理
術中及術后24 h 內使用抗生素。術后三角巾懸吊 4 周，術后第3天肩關節可進行被動功能鍛煉，2 周后可進行主動功能鍛煉，3個月內禁止進行重體力勞動、體育運動。3 個月后可取出內固定物，骨錨釘則不取出。
1.4 療效評價標準
術后患肩功能均采用Karlsson標準評定[2]。
1.5 統計方法
采用spss 16.0統計學軟件對數據進行處理，計數資料采用χ2檢驗。
2 結果
所有患者術后切口均Ⅰ期愈合，無感染。術后隨訪18～45個月，平均27.6個月。鎖骨鉤鋼板組術后2例出現患肩部疼痛，外展活動受限，術后3個月取出內固定物后疼痛消失。按Karlsson標準評定療效，骨錨釘組：優12例，良4例，可1例，優良率94.1%。鎖骨鉤鋼板組：優10例，良4例，可1例，優良率93.3%,見表1。兩組肩關節功能評分差異無統計學意義(P>0.05)。
3 討論
肩鎖關節的穩定由關節囊及其加厚部分形成的三角肌及斜方肌的腱性附著部分、肩鎖韌帶、喙突至鎖骨的喙鎖韌帶3部分維持。其中喙鎖韌帶對維持肩鎖關節的完整性最為重要，只有喙鎖韌帶斷裂，鎖骨遠端才發生垂直移位。Lim[3]研究表明，當韌帶未修復并且斷端存在間隙時，瘢痕愈合的強度僅為正常韌帶的35%。所以，對于肩鎖關節脫位的各種術式中，內固定只是暫時的，韌帶的修復或重建才是保持長期穩定的關鍵。
對于單純行喙鎖韌帶修復配合骨錨釘或者重建手術治療肩鎖關節脫位，遠期效果并不理想。Mlasowsky [4]通過長期隨訪研究發現，術后5年肩鎖關節半脫位率超過35%。這可能是早期沒有在內固定保護下，修復或重建的韌帶在應力下發生松弛、磨損或撕裂；重建的肌腱在骨隧道滑動，影響了肌腱在骨上的愈合。所以肩鎖關節早期的內固定非常重要。
鎖骨鉤鋼板固定牢靠且操作簡單。通過穿過肩峰下的鋼板鉤端和鎖骨遠端的鋼板固定形成杠桿作用，對鎖骨遠端產生穩定的下壓力，致使鎖骨遠端不向上脫位，使肩鎖關節的解剖對應關系達到恢復，提供了穩定無張力的環境于組織愈合中，同時還保留了肩鎖關節的生理微動，提高了關節、韌帶的修復質量。有利于進行早期的功能鍛煉，避免關節僵硬。但是術后也可能出現脫鉤、肩峰骨折、肩痛、鎖骨遠端骨溶解等并發癥。該組術后有2例患者出現患肩疼痛，外展活動受限。可能是由于鋼板鉤部占據了肩峰下一定的空間，對肩峰下軟組織、肩袖(其是岡上肌腱)造成一定的壓迫，磨損所致。Yehia[5]對275例行鎖骨鉤鋼板內固定患者通過肩關節鏡檢查發現，75%的患者1年后岡上肌腱磨損嚴重，鋼板存在時間越長，肌腱磨損越重。其建議對于肩鎖關節內固定盡量不使用鎖骨鉤鋼板，若使用最好不超過8～10周。
骨錨釘絲線的強度和喙鎖韌帶的強度相仿，牢牢地限制了鎖骨遠端上移，可以使斷裂的喙鎖韌帶得到堅強修復。同時進行克氏針張力帶短暫固定，更有利于喙鎖韌帶在穩定的環境下愈合。術后3個月取出克氏針張力帶，防止了克氏針松動、斷裂等并發癥，減少了創傷性關節炎的發生。該組術后無一例患者出現患肩疼痛。
對于內固定物取出的時間仍存在爭議[6-7]。由于肌腱愈合達到正常強度需要12周，該研究認為應以術后3個月取出內固定物為宜。
該研究表明，兩組術后肩關節功能優良率比較差異無統計學意義(P>0.05)。這可能與該研究樣本量少，隨訪時間短有一定關系。
因此，對于肩鎖關節脫位患者，在修復重建喙鎖韌帶的同時，應同時進行短暫的關節內固定，采用克氏針張力帶配合骨錨釘或鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位，都為安全有效的方法。
參考文獻
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1.課程內容的變化
新課程相對于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關素材，書中提供了較為豐富的歷史或現實的例子來展示勾股定理的應用。
2.教學要求的變化
老教材對勾股定理的教學要求是：（1）使學生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長，會用勾股定理判斷一個三角形是不是直角三角形。
新課程下的勾股定理教學要求是：（1）經歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發展合情推理能力，體會數形結合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題；（3）掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運用它解決一些實際問題；（4）通過實例了解勾股定理的歷史和應用，體會勾股定理的文化價值。
由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數據相對于老教材簡單得多，刪去了煩瑣的計算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數據均不會過大，通過古埃及的結繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強了勾股定理的實際運用，利用勾股定理及逆定理解決實際問題成了重點，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節突出了勾股定理及逆定理的實用性。書中提供了較為豐富的歷史或現實的例子，來展示它們的應用，體現它們的文化價值，并且在知識發生過程中，作了較高要求。
3.課程關注點的變化
老課程比較關注運用勾股定理及逆定理的相關運算，即已知直角三角形兩邊長求第三邊和判定一個三角形是否是直角三角形。新課程則強調了勾股定理在現實生活中起著重要作用，是數形結合的典范。
二、教學中應注意的問題及建議
1.重視實際情景
新課程創設實際情景，讓學生感受到現實生活中勾股定理的應用，從實際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學生創設豐富的實際情景，使學生經歷知識發生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個結，將繩子分成12等分，讓三位同學上講臺，一位同學握住第1和第13個結，一位握住第4個結，一位握第8個結，創設此情景，讓學生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，最后歸納出勾股定理逆定理。
2.重視數形結合
新教材里，勾股定理的探索和驗證過程中，數形結合有較多體現，滲透了代數運算與幾何圖形之間的關系。因此，建議在教學中應注意滲透這種思想，鼓勵學生從代數表示聯想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關的代數表示，有助于學生認識數學的內在聯系。例如：在探索勾股定理過程中，應引導學生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應引導學生由數a2、b2、c2想到正方形的面積。
3.重視實際應用
對于勾股定理，新教材不僅要求能從實際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實際問題中，從而體現出數學的應用價值。因此，建議在教學中充分利用教科書中的素材讓學生體會這種應用，如古埃及人利用結繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。
4.重視學生經歷探索勾股定理的過程
新教材中安排了探索勾股定理、驗證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動。因此，建議在教學中不要直接給出結論，要鼓勵學生，通過觀察、實踐、推理、交流等獲得結論，發展空間觀念和推理能力。例如教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應引導學生通過由特殊到一般的探索得到結論。
5.重視自主探究與合作交流
新教材自始至終為學生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機會，課堂上引導學生主動參與探究或學習，激發學生學習數學的興趣，調動學生的積極思維，督促每個學生都在這個過程中積極參與，從而培養探索與創新的精神。
直角三角形是一種極常見而特殊的三角形，它有許多性質，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性質，有極其廣泛的應用.平角的一半就是直角，空間中一條水平方向的直線和另一條鉛垂方向的相交直線也相交成一個直角，直角是生產和生活中最常見的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數量關系，這就搭建起了幾何圖形和數量關系之間的一座橋梁，從而發揮了重要的作用.勾股定理不僅在平面幾何中是重要的定理，而且在三角學、解析幾何學、微積分學中都是理論的基礎，定理對現代數學的發展也產生了重要而深遠的影響.沒有勾股定理，就難以建立起整個數學的大廈.所以，勾股定理不僅被認為是平面幾何中最重要的定理之一，也被認為是數學中最重要的定理之一.
本章分為兩節，第一節介紹勾股定理及其應用，第二節介紹勾股定理的逆定理及其應用.
在第一節中，教科書安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想、證明及簡單應用的過程.教科書首先簡略講述了畢達哥拉斯從觀察地面圖案的面積關系發現勾股定理的傳說故事，并讓學生也去觀察同樣的圖案，以發現等腰直角三角形這種特殊直角三角形下的特殊面積關系.在進一步的“探究”中又讓學生對某些直角三角形進行計算，計算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積，發現以兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.然后對更一般的結論提出了猜想.
歷史上對勾股定理證明的研究很多，得到了很多證明方法.教科書正文中介紹了公元3世紀三國時期中國數學家趙爽的證明方法.這是一種面積證法，依據是圖形在經過適當切割后再另拼接成一個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關系和對圖形面積的不同算法推出圖形的性質.在教科書中，圖17.1-6（1）中的圖形經過切割拼接后得到圖17.1-6（3）中的圖形，證明了勾股定理.
根據勾股定理，已知兩條直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長.根據勾股定理還可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長.也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長.教科書相應安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學生學習運用勾股定理解決問題，并運用定理證明了斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.
在第二節中，教科書首先讓學生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發現畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.教科書借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）證明了這個猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種重要依據.教科書安排了兩個例題，讓學生學會運用這個定理.本節結合勾股定理的逆定理的內容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立.為鞏固這些內容，相應配備了一些練習和習題.
2編寫時考慮的幾個問題
2.1讓學生經歷勾股定理及其逆定理的探索過程
勾股定理及其逆定理都是初等數學中的重要定理，同時，這兩個定理也都是多數初中學生在教師的精心引導下通過探索能夠發現并證明的定理，教學中要重視這兩個定理的教學，在教學過程中要注意引導學生通過探索去發現圖形的性質，提出一般的猜想，并獲得兩個定理的證明.
教科書對勾股定理的教學，設計了一個從特殊到一般的探索、發現和證明的過程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的結論證明的趙爽證法的引入.這是一個典型的探索和證明的過程.類似地，對勾股定理的逆定理，教科書也設計了從特殊結論到一般結論的探索和證明的完整過程.
這樣安排教學，有利于學生認識結論研究的必要性，培養學生對結論的探索興趣和熱情，培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力和嚴密審慎的思考習慣.
2.2通過介紹我國古代研究勾股定理的成就培養民族自豪感
我國古代對數學有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目和高度評價，在數學教學中應結合教學內容，適當介紹我國古代數學成就，培養學生愛國熱情和民族自豪感.
我國古代對勾股定理的研究就是一個突出的例子.根據成書年代不晚于公元前2世紀西漢時期的《周髀算經》進行推算，有可能在公元前21世紀大禹治水時人們就會應用“勾三股四弦五”的特殊結論，公元前6、7世紀時人們還知道了勾股定理的一般結論并能靈活運用結論解決許多實際測量問題.約公元3世紀三國時期趙爽為《周髀算經》作注寫《勾股圓方圖注》，用“弦圖”對勾股定理給出了一般的證明，這是我國對勾股定理一般結論的最早的證明.我國古代不僅較早獨立地發現了勾股定理有關“勾三股四弦五”的一些特殊結論，而且也比較早使用了巧妙的方法獨立證明了勾股定理一般結論，在勾股定理的應用方面也有許多深入的研究并達到熟練的程度.從《周髀算經》對勾股定理的多方面的論述，此書所記錄的在公元前6、7世紀時在我國人們已經能夠熟練且自信地把勾股定理應用到任意邊長的直角三角形的事實，可以推測在比《周髀算經》成書早得多的時候，我國對勾股定理不僅知其然而且知其所以然，只是缺少文獻明確記載對定理的論證.這些，都說明我國古代勞動人民的卓越聰明才智，也是我國對世界數學的重要貢獻，是值得我們自豪的.
本章教科書結合教學內容介紹了我國古代對勾股定理的有關研究成果.在引言中介紹了現存的我國古代的數學著作中最早的著作《周髀算經》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的證法很多，教科書為了弘揚我國古代數學成就，介紹了趙爽的證法.首先介紹趙爽“弦圖”，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路.這些內容表現了我國古代勞動人民對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.正因為此，趙爽“弦圖”被選為2002年在北京召開的世界數學家大會的會徽.教科書還在習題中安排了我國古代數學著作《九章算術》中的問題，展現我國古代在勾股定理應用研究方面的成果.
課本習題是一種重要的教學資源。在總復習教學中，通過探索課本典型習題的知識生長點、能力發展點、思想方法蘊涵點，挖掘課本典型習題的潛在教學價值，有利于激發學習興趣，提高復習教學效率；通過反思、拓展、應用，完成習題教學的第二次飛躍。培養學生探究質疑精神，提高創新意識和實踐能力。下面就一課本習題教學進行的再認識和再設計問題予以探究.
題目現行華師大版9年級《數學》上第24章《圖形的相似》復習題C組第20題：
（1）已知，如圖1，MN是ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直線MN向上移動，使點C在直線一側，A、B、D三點在直線另一側（如圖2），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關系？先對結論進行猜想，然后加以證明.
圖1圖21質疑證法
華師大版配套教師用書提示：記O為ABCD兩條對角線的交點，過O作OO′MN，垂足為O′。
（1）由梯形中位線定理，易證所需結論.
（2）由梯形中位線定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可證AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根據提示，運用梯形中位線定理是關鍵，證明如下：
圖3（1）證一：連結AC、BD交于O，過O作OO′MN，垂足為O′.
因為BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
證二：如圖3，分別連結AC、BD交于P，過P作PHMN于H，連結C′P，并延長交A′A的延長線于W。因為BP=PD，BB′∥PH∥DD′，則B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位線。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位線，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。證明（轉化法）：如圖2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分別延長AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）證得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
問題分析對（1）的兩種證明，關鍵性依據是“過梯形一腰的中點且平行于兩底的直線必平分另一腰”，然后利用中位線性質獲證，證明看似順暢簡潔，但現行華師大版數學教材中始終沒有這樣的學習內容，造成推理無依據，難消學生心中的疑慮。證法二中用到的結論“過三角形一邊的中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊”可以在教材P67開頭部分找到依據.
這些結論如果補證，會增加學生負擔；如果直接告訴這個結論，會增加學生理解難度。其實，還有適合學生的其他證法.
圖4改進證法（1）如圖4，分別過C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因為BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）證明.
2質疑猜想
問題（2），在不給學生任何提示的前提下，學生的思考幾乎呈散放、無序的狀態，又測量因誤差，容易導致誤猜，實踐證明學生很難獲得有效的猜想。中科院院士張景中認為，一個題目，光想不動手，往往不得其門而入，動手做，常會有啟發，代數問題，把字母代成數試一試，幾何問題，多畫幾個圖看一看，這比你冥思苦想效果好得多，學生通過數學實驗，動手算一算、畫一畫、量一量，手腦并用，獲得直接的感性認識，能最大程度地發揮其主觀能動性，有利于右腦的開發，并能由此引發奇思妙想，產生大膽的猜想和創新。正所謂“直覺的產生要以邏輯分析為‘前奏曲’”。由此可見，猜想不是憑空亂想。教學中要教給學生猜想的方法和猜想的途徑。猜想的方法主要有：歸納、類比、合情推理。猜想的途徑主要是：觀察、實驗、探索。教學改進設計如下：
（1）實踐操作，感知確認。試一試，測量這些線段，通過計算，它們有什么的關系呢？有人測得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。還有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。誰的猜想更合理呢？再畫一個圖形試一試，發現：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通過引入輔助元素，轉化為熟悉的問題或已經解決了的問題，通過推理獲得猜想.
3變式探究
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0146
勾股定理是初中數學中的一個重要定理，2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，但在眾多的證明中，主要是以面積的變化進行證明。筆者通過勾股定理的證明發現了“以直角三角形的各邊為邊長做邊數相同的正多邊形之間的面積關系”。
一、勾股定理的證明
1. 將4個全等的非等腰直角三角形拼成一個大的正方形。
由圖可知：（a+b）2-■ab?4=c2
a2+2ab+b2-2ab=c2
即：a2+b2=c2
也就是說：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理。
2. 如圖將4個全等的直角三角形拼成一個大正方形
由圖可知：c2-■ab?4=（a-b）2
c2-2ab=a2-2ab+b2
即：a2+b2=c2
這樣又得到了勾股定理的另一種證明方法。
3. 如圖將兩個全等的直角三角形拼成如圖的梯形
由圖可知：■（a+b）2-■ab?2=■c2
■a2+ab+■b2-ab=■c2
即：a2+b2=c2
以上是勾股定理的3種證明方法，實際上勾股定理的證明到目前已有3000多種。
二、勾股定理的應用
下面我們利用勾股定理說明以三角形的三邊長圍成的正多邊形的面積之間的關系。
1. 如圖，在RtABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正三角形，求證S2+S3=S1。
如圖做三角形S2的高h，因為S2是以b為邊的等邊三角形，易得
h=■b，S2=■?b?■b=■b2
同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根據勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1
即：S2+S3=S1
2. 如圖，在RtABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正四邊形，求證S2+S3=S1。
證明：S2=b2，S3=a2，S1=c2
根據勾股定理：a2+b2=c2
S2+S3=S1
3. 如圖以直角三角形的三邊為邊長做正五邊形，
求證： S2+S3=S1。
證明：如圖連接正五邊形的中心O與一邊端點的連線構成一個等腰三角形，并做出等腰三角形底邊上的高h，
cotα=■，h=■cotα，
S1=■c?■cotα?5=■c2?cotα，
同理：S2=■b2?cotα，S3=■a2?cotα，
S2+S3=■b2?cotα+■a2?cotα=■cotα（b2+a2）
由勾股定理得：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα?c2=S1
即： S2+S3=S1
依次類推：以直角三角形的三邊為邊長做正n邊形時，S2=■b2?cotα，S3=■a2?cotα，S1=■c2?cotα，根據勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα?c2=S1
即：S2+S3=S1
通過上面的證明我們可以得到“以任意直角三角形的三邊為邊長做邊數相等的正多邊形，以斜邊邊長為邊的正多邊形的面積等于以直角邊邊長為邊的兩正多邊形的面積之和?！?/p>
同樣我們還能得到以“任意直角三角形的三邊為直徑做半圓（或圓），以斜邊邊長為直徑的半圓（或圓）的面積等于以直角邊為直徑的兩個半圓（或圓）的面積之和”。
下面我們來看證明：
已知：如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，分別以a，（上接第146頁）b，c為直徑做半圓。
求證：S2+S3=S1
證明：S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2
S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，
由上表可以看出，勾股定理是倍受命題者青睞的知識點，考查題型多種多樣，有選擇、填空和解答題，試題內容涉及面廣、命題形式靈活、多樣的特點，所占分值在5分到10分之間。
一、夯實基礎――直接利用定理進行計算與證明
綜觀近幾年的中考試題可以發現，有關勾股定理的簡單應用主要體現在求三角形的邊長、面積題,以及判斷三角形的形狀上.
點評：勾股定理是一個數形結合定理，所以在運用勾股定理時如果沒有圖形常先畫圖，以增強解題的直觀性
例2 （2008年廣東考題)已知ABC的三邊長分別為5，13，12，則ABC的面積為（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能確定
解析：因為52+122=132，所以ABC為直角三角形，因而其面積為 ×5×12=30，故選A.
中考題型總結與預測：在2009年的中考試題中，對勾股定理的簡單計算仍將是命題的重點，試題難度不大，主要通過求三角形邊長、面積作為考查勾股定理的掌握程度.題型以選擇、填空為主，針對這些命題趨勢，同學們在復習時應夯實基礎知識，提高計算能力，注重對勾股定理的理解和運用.
二、提升能力――定理的實際應用
勾股定理在初中數學知識體系中具有重要的應用價值，在現實生產、生活和其他學科中有著廣泛的應用，在解決這些實際應用問題時，首先要將這此實際問題轉化為數學問題，然后再利用勾股定理及逆定理來解決.在應用時要明確勾股定理的適應范圍是直角三角形，如果沒有直角三角形，常通過作高來構造直角三角形，從而創造利用勾股定理的條件.
【例題精析】
例3（2008黃岡考題）如圖2是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學到影視城游玩，很想知道這扇門的相關數據，于是她從景點管理人員處打聽到：這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，請你幫助黃紅同學計算出這個圓弧形門的最高點離地面的高度是多少？
解析：如圖2，連接AC，作AC的中垂線交AC于G，交BD于N，交圓的另一點為M，由垂徑定理可知：MN為圓弧形的所在的圓與地面的切點，取MN的中點O，則O為圓心，連接OA、OC，
ABBD，CDBD， AB∥CD．
AB=CD,四邊形ABCD為矩形,
AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
AG=GC= AC=100 cm．
設O的圓心為R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
MN=2R=520 cm.所以這個圓弧形門的最高點離地面的高度是520 cm．
點評：本題解決的關鍵是利用垂徑定理構造直角三角形，進行運用勾股定理求出圓弧形門所在圓的半徑.
中考題型總結與預測：2009年的中考試題中仍將加大勾股定理的應用力度的考查，題型以填空和解答題為主，分值在5至8分之間.
三、歸納運用――定理應用中的思想方法
數學思想是解決問題的靈魂，在勾股定理的應用中常用到的數學思想方法主要有：
1.數形結合思想：抓住“數”與“形”之間的本質聯系，以“形”直觀地表達“數”，以“數”精確地研究“形”，把抽象問題轉化為直觀的形或把復雜的形轉化為具體的數，從而避開煩瑣運算，簡捷解題.
2.方程思想：是指通過列方程（組）求解的一種思想方法，是解幾何計算的重要策略.勾股定理實質是一個等式，其表達式中有三個量，當已知其中兩個量求另一個量時，往往通過設未知數，通過構建方程來解決.
3.轉化思想：轉化思想就是把所要解決的的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經解決的問題.例如，在解有關幾何體上的路線問題時，常將其轉化為平面上的路線問題，然后借助勾股定理來解決.
4.分類討論思想：分類討論思想就是把包含多種可能情況的問題，按照某一標準分成若干類，然后對每一類分別進行進行解決，從而達到解決整個問題的目的.例如，當題中沒有具體說明已知邊是直角邊還是斜邊的情況時，常進行分類討論.
【例題精選】
例5（2008年新疆建議兵團考題）如圖3，某市區南北走向的北京路與東西走向的喀什路相交于點O處.甲沿著喀什路以4m/s的速度由西向東走，乙沿著北京路以3m/s的速度由南向北走.當乙走到O點以北50m處時，甲恰好到點O處．若兩人繼續向前行走，求兩個人相距85m時各自的位置．
解析：設經過x秒時兩人相距85m，根據題意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化簡得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合實際情況，舍去），當x=9時，4x=36，50+3x=77，當兩人相距85m時，甲在O點以東36m處，乙在O點以北77m處．
例6（2008青海考題）如圖4，有一圓柱體，它的高為20cm，底面半徑為7cm．在圓柱的下底面A 點處有一個蜘蛛，它想吃到上底面上與 點相對的B 點處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是______cm（結果用帶根號和 的式子表示）．
解析：解此題的關鍵是把側面展開，利用兩點的連線中線段最短和勾股定理作答.如果說將圓柱體的側面沿AC剪開鋪平，如圖5, 則ADBC為長方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考題型總結與預測：在2009年的中考試題中，將加大對數學思想方法的考查，難度有所加大，值得我們關注和重視，此類題將以計算題和圖形操作題的形式出現，分值在5分左右.
四、融會貫通――勾股定理的拓展應用
勾股定理常應用于解決圖形折疊、拼接問題以及在新情境下的探索性、開放性試題，這些試題起點低，但綜合性強，能綜合考查同學們對知識的融會貫通能力，相對較難.
【例題精選】
例7（2008年臨沂考題）如圖6，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn＝________.
=70，AB=30. 求：BC的長.
【再認識】勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間的數量關系，它只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形. 因此解題中，常常需要構造適當的直角三角形.
【分析】本題中，考慮構造直角三角形. 由條件∠B=60°想到構造含30°角的直角三角形，為此作ADBC于D，則有∠BAD=30°，BD=■AB=15，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長.
解：作ADBC于D.
∠B=60°，∠BAD=90°-60°=30°.
BD=■AB=15.
在直角ABD中，根據勾股定理，
AD2=AB2-BD2=302-152=675.
在直角ACD中，根據勾股定理，
CD2=AC2-AD2=702-675=4225，
則CD=65.
BC=BD+DC=15+65
=80.
【變式】已知：如圖2，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=4，CD=2.
求：四邊形ABCD的面積.
【分析】如何構造直角三角形是解本題的關鍵. 此題中，可以通過連接AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E來構造直角三角形，而結合本題給定角的條件應選后兩種方法，再進一步根據本題給定邊的條件選第三種方法較為簡單.
例2 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F是AB上一點，且FB=■AB，那么DEF是直角三角形嗎？為什么？
【再認識】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，它通過三角形三邊的數量關系來研究圖形的位置關系. 解題時，需找到某兩邊的平方和等于第三邊的平方，從而將數轉化為形.
【分析】這道題中有許多隱藏條件，解題時要仔細讀題，找出邊之間的關系：由FB=■AB可以設AB=4a，那么BE=CE=2a，AF=3a，BF=a，再利用已有的直角三角形分別表示出DEF的各邊的平方，最后利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否直角三角形.
解：設BF=a，則BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a，在直角BEF中，根據勾股定理，EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2.
在直角CED中，根據勾股定理，
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
在直角ADF中，根據勾股定理，
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2，
DF2=EF2+DE2.
根據勾股定理的逆定理，∠DEF=90°.
DEF是直角三角形.
【變式】已知：ABC的三邊分別為m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數，且m>n），判斷ABC是否為直角三角形.
【分析】本題是利用勾股定理的逆定理來判定直角三角形，只要證明a2+b2=c2即可. 我們把能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，勾股數除了m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數，且m>n）這一組數外，還有n2-1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數）；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n為正整數）.
突破點2：對勾股定理及逆定理的再應用
例3 （1） 如圖4，圖（1）是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形. 若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩條直角邊的和是5，求中間小正方形的面積.
（2） 現有一張長為6.5 cm、寬為2 cm的紙片，如圖4（2），請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形.
（要求：先在圖4（2）中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標明相應數據）
【再應用】用面積法驗證勾股定理是認識和理解勾股定理的重要手段，通過對圖形的割補與拼接，加深對勾股定理的認識，提高解決問題的能力.
【分析】本題第（1）問關鍵在于找到直角三角形兩直角邊與小正方形邊長間的關系，并且利用兩直角邊滿足的條件得到正方形的面積. 第（2）問中的長方形面積為13，在割補拼接過程中面積不變，所以可借助圖4（1）來尋找割補拼接的方法.
解：（1） 設直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，
則小正方形的邊長為a-b.
根據題意，可得：a+b=5. ①
由勾股定理，可得：a2+b2=13. ②
①2-②得2ab=12.
（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.
所求的中間小正方形的面積為1.
（2） 長方形的面積為6.5×2=13（cm2），
要拼成的正方形的面積也等于13（cm2）.
所以可按照圖4（1）制作.
由（1）知a+b=5，a-b=1，a=3，b=2.
根據題意，每個直角三角形的較長直角邊只能在紙片的長邊上截取，截去四個直角三角形后，余下的面積恰為中間小正方形的面積.
于是，得到以下的分割拼接方法：
【變式】已知：如圖5（1），長方形ABCD被分割成四部分，其中某些線段的長度如圖所示，已知這四部分可以沒有重疊、沒有空隙地拼成一個正方形.
（1） 求出所拼得正方形的邊長，并寫出計算過程；
教材簡介：
本課教材選自蘇科版《數學綜合與實踐活動（八上）》初中數學教材中勾股定理與平方根一節。
教材分析：
勾股定理是初中數學教學中一個非常重要的定理，之前學生們運用方格紙，通過計算面積的方法探索了勾股定理。本課不只要求學生掌握驗證方法，更重要的是通過豐富有趣的拼圖活動，通過教師的指導、同伴的合作和學生親自動手剪紙、拼圖、驗證等一系列數學活動，體會數形結合的思想，體會勾股定理的數學價值和文化價值。
教學目標：
1.經歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。
2.經歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。
3.通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心。通過豐富有趣的拼圖活動增強學生對數學學習的興趣。
教學重點難點：
重點：通過拼圖驗證勾股定理及勾股定理的應用過程，使學生獲得一些研究問題與合作交流的方法經驗。
難點：利用數形結合的方法驗證勾股定理。
教學方法：
引導、操作、合作、探究，多媒體輔助教學
教學過程：
本節課主要是通過幾個活動讓學生體驗并探究勾股定理的一些驗證方法，首先通過情景創設激發學生探究的激情。
情境創設：
1.你知道勾股定理的內容嗎？說說看。
畫直角三角形并寫出勾股定理的表達式。
2.你知道關于勾股定理的哪些歷史故事？你知道勾股定理的來歷和有多少種證法嗎？
課件展示畢達哥拉斯的雕像圖片和地磚圖片，講述畢達哥拉斯發現勾股定理的故事。
3.前面我們運用方格紙，通過計算面積的方法探索了勾股定
理。今天我們再來探究勾股定理的其他驗證方法。
活動一：
活動準備：用硬紙板各剪4個完全相同的直角三角形（不妨設兩直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c），再剪2個邊長分別為c和（b-a）的正方形。
活動要求：你能選用這些中的部分圖形拼成一個大正方形嗎？
你能用拼成的圖形驗證勾股定理嗎？
學生小組合作交流探究并展示。（了解學生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗證勾股定理的情況。教師在巡視過程中，相機指導，并讓學生展示自己的拼圖及讓學生講解驗證勾股定理的方法，并根據不同學生的不同狀況給予適當的引導，引導學生整理結論。）
通過對弦圖的分析，得到面積的關系
c2=（b－a）2＋4ab 化簡得：a2+b2=c2
課件介紹三國時期東吳人趙爽的“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，并出示趙爽弦圖和世界數學家大會會標。
活動二：
四個直角三角形還可以怎么擺成正方形呢？
學生先獨立探究，再小組活動交流，并上黑板展示拼圖方法和驗證：由面積關系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化簡得：a2+b2=c2。
活動三：
你能用兩個直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c的直角三角形和一個直角邊為c的等腰直角三角形拼圖并驗證勾股定理嗎？
如圖：兩個全等的直角三角形ABC和BEF的三邊長分別為a、
b、c可得面積關系 （a+b）2＝ c2＋2× ab
化簡得：a2+b2=c2
課件介紹：“總統證法”――美國第二十任總統伽菲爾德。
活動總結交流：活動二和活動三的證法其實完全相同。
課件展示與欣賞畢達哥拉斯證法和印度婆什迦羅的證明，并讓學生展示課前查找資料了解到的證明方法。
活動四：制作五巧板驗證勾股定理。
步驟：
1.做一個RtABC，以斜邊AB為邊向內做正方形ABDE，并在正方形內畫圖，使DFBI，CG=BC，HGAC，這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿這些線剪開，就得了一幅五巧板。
2.取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個以C為邊長的正方
形，將另外一幅五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？（給學生充分的時間進行拼圖、思考、交流經驗，對于有困難的學生教師要給予適當引導。）
歸納小結，形成技能。今天這節課你有何收獲？
（如驗證勾股定理的方法、數形結合的數學思想、我國古代科學家的成就、合作交流的方法與經驗………）
課后作業：
上網查找有關利用拼圖來驗證勾股定理證明的方法，每人至少能說出一種與本課提到的不一樣的方法，若有好的方法可用小論文的形式寫出來。
教學反思：
一、教學目標
（1）知識與技能目標：用數格子（或割、補等）的方法體驗勾股定理的探索過程，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用。
（2）過程與方法目標：在探索勾股定理的過程中，讓學生經歷“觀察-猜想-歸納-驗證”的數學過程，并體會數形結合和從特殊到一般的數學思想方法。
（3）情感態度與價值觀目標：在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理的由來，激勵學生發奮學習。
二、教學重點及難點
重點：經歷探索及驗證勾股定理的過程，并能用它來解決一些簡單的實際問題。
難點：用面積法探索勾股定理。
三、教學過程
（一）創設情境，提出問題
工人師傅用長為4米的直梯將一幅宣傳橫幅掛在墻上高3.4米的位置，如果梯子的底部離墻的距離是1.2米，請問工人師傅能不能完成任務？
設計意圖：這樣的設計是以實際問題為切入點引入新課，反映了數學來源于實際生活，產生于人的需要，也體現了知識的發生過程，解決問題的過程也是一個“數學化”的過程，從而引出本節課探究的主題。
（二）分類探究，發現定理
1.探究鋪墊
觀察下圖，你知道正方形C的面積是多少嗎？說說你的方法。
設計意圖：學生通過合作交流，嘗試探索方格中不同邊長的正方形的面積求法，這樣設計有利于降低新課的探究難度，為突破難點打下基礎。
2.問題探究
例1：邊數為整數的直角三角形
類型一：等腰直角三角形。
觀察下圖，你能發現各圖中三個正方形的面積之間有何關系嗎？
學生通過觀察，歸納發現：
結論1：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
類型二：一般的直角三角形
由結論1我們自然產生聯想：一般的直角三角形是否也具有該性質呢？
觀察下圖，你能發現各圖中三個正方形的面積之間有何關系嗎？
結論2：“以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
做一做：
（1）你能用直角三角形的邊長，b，c來表示上圖中正方形的面積嗎？
（2）你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？
（3）分別以3cm，4cm為直角邊作出直角三角形，并測量斜邊的長度，（2）中的規律對這個三角形仍然成立嗎？
結論3：直角三角形兩直角邊的平方和，等于以斜邊的平方。
設計意圖：由直角三角形三邊長為邊的三個正方形的面積關系，發現直角三角形三邊的平方關系，初步得到勾股定理的內容.同時，引導學生具體畫出一個直角三角形，通過計算，進一步驗證勾股定理。
例2：邊數不為整數的直角三角形
運用幾何畫板進一步驗證上面的結論，改變直角三角形的三邊的長度，學生發現結論仍然成立。
設計意圖：由于邊數為整數直角三角形的三邊的平方關系，對于一般的直角三角形是否也成立？在這里，讓學生畫圖探討較為困難，因而利用幾何畫板進一步驗證前面得到的結論，在此基A上，進一步探討出本節課的重點----勾股定理。通過邊數為整數和不為整數兩方面的分類探究，充分地讓學生經歷了探索勾股定理的過程，得出的結論也更具有一般性，較好的突出了重點，突破了難點。
例3：勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
數學小史：勾股定理是我國最早發現的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）
設計意圖：通過介紹勾股定理由來的歷史，激發學生熱愛祖國，激勵學生發奮學習。
（三）回歸生活，應用新知
解決情境問題。
設計意圖：讓學生解決開頭情景中的問題，前呼后應，增強學生學數學、用數學的意識，增加學以致用的樂趣和信心。
（四）知識拓展 ，鞏固深化
1.情境題：
小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機，小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有58cm長和46cm寬，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？
設計意圖：增加學生的生活常識，也體現了數學知識源于生活，并用于生活。
2.探索題：
做一個長，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學過的知識說明。
設計意圖：提升難度，學生通過交流討論的方式，拓展學生的思維、發展空間想象能力。
（五）課堂小結，概括要點
教師提問：
1.這一節課我們一起學習了哪些知識和思想方法？
2.對這些內容你有什么體會？與同伴進行交流。
在學生自由發言的基礎上，師生共同總結：
1.知識：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分類討論、特殊―一般―特殊、形結合思想。
設計意圖：鼓勵學生積極大膽發言，可增進師生、生生之間的交流、互動，培養學生語言表達和交流的能力。
（六）布置作業，思維延伸
1.教科書習題1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三邊長都滿足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它們滿足什么關系嗎？和同學們交流。
設計意圖：鞏固基礎知識；引發思考，強化認識勾股定理適用的條件。對于銳角三角形和鈍角三角形，引導學生利用本節課的方法得出相應的結論，將本節課的研究方法延伸到課外。
參考文獻：
一、教學目標
1.知識與技能。
(1)理解并掌握勾股定理,了解利用拼圖驗證勾股定理的方法;
(2)學會用拼圖的方法驗證勾股定理,培養學生的創新能力和解決實際問題的能力。
2.過程與方法。
(1)通過豐富有趣的拼圖,經歷觀察、比較、拼圖、推理、交流等過程,發展空間觀念和有條理地思考與表達的能力,獲得一些研究問題和合作交流的方法與經驗;
(2)經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程,體驗解決同一問題的方法的多樣性,進一步體會勾股定理的文化價值;通過驗證過程中數與形的結合,體會數形結合的思想,以及數學知識之間的內在聯系。
3.情感、態度與價值觀。
(1)通過拼圖活動,體驗數學思維的嚴謹性,發展形象思維;
(2)通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷,增進數學學習的信心,在探究活動中,體會解決問題方法的多樣性,培養學生合作交流的意識和探索精神;
(3)利用拼圖方法驗證勾股定理,是我國古代數學家的一大貢獻,借助此過程,對學生進行愛國主義教育。
二、教學重點
經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程,體驗解決同一問題方法的多樣性,進一步體會勾股定理的文化價值。
三、教學難點
經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理。
四、教學過程
1.活動一。
師:每個小組都有四個全等的直角三角形和一個正方形(如圖1),其中直角三角形的直角邊長分別為a和b,斜邊長為c;正方形的邊長為b-a。你能用它們拼成一個正方形嗎?你能用它們拼成兩個正方形嗎?你能說出每個正方形的邊長嗎?
小組合作完成后,讓學生到黑板上演示并解說。
第4小組:我們首先拼成這樣一個正方形(如圖2),它的邊長為c,然后拼成兩個正方形(如圖3)。(由兩人合作完成)
學生:我在資料上看到,劉徽在證明勾股定理時,也是用的以形證數的方法,只是具體的分合移補略有不同。劉徽的證明原來也有一幅圖,可惜圖已失傳,只留下一段文字:“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。”后人根據這段文字補了一張圖(圖13)。
3.活動三。
師:其實,在國外也有很多很好的用拼圖證明勾股定理的方法。(如圖14)直角三角形ABC的直角邊分別為a和b,斜邊為c,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的邊長分別為a、b、c,我們一起試一試:首先用一條水平直線和一條豎直的直線將正方形Ⅱ分成四部分,再將它們與正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。
小組合作完成后,讓學生到黑板上演示并解說。
第6小組:我們按照這種方法,也將正方形Ⅱ這樣(演示)分成四塊(圖15),但發現拼不成。
第4小組:他們的豎直線畫得和我們不同(圖16),我們認為要用一條水平直線和一條豎直直線將正方形Ⅱ分成四個四邊形,再將四個四邊形有公共頂點的四個直角與正方形Ⅲ的四個直角相對應,最后將正方形Ⅰ放在中間,正好拼成正方形Ⅲ。
第5小組:我們發現無論橫線還是豎線在正方形Ⅱ內部的長度都必須等于直角三角形的斜邊長c。
學生:想不到這么高深的數學問題我也能解決!
學生:現在我知道了動手做也可以研究數學問題。我不再感覺數學是枯燥的了,數學其實很有趣。
學生:我知道了原來我們中國古代數學家曾經取得非常高的成就,我要向他們學習,學好數學,成為像他們那樣的數學家。
五、教學反思
通過“拼圖與勾股定理”探究活動的教學,筆者有以下幾點體會。
1.探究活動的起點不宜過高。
探究活動重在引導學生主動參與、樂于探索、善于實踐,把握知識的全過程,明曉數學的來龍去脈。在“拼圖與勾股定理”的探究活動中,筆者以中國古代和外國已有的證明勾股定理的方法為基礎,精心設計了三個拼圖活動,使學生在教師引導下,通過動手操作和思考,發現用拼圖可以驗證勾股定理,并明白其中蘊涵的數學原理和思想方法。所有的問題,學生通過觀察、比較、拼圖、推理、交流等都能得到解決,既不淺顯,又不是高不可攀,使學生能做、樂做,同時又享受到做中的樂趣。
2.探究活動中學生的參與度很重要。
在“拼圖與勾股定理”的探究活動中,90%以上的時間是學生在思考、交流、操作、發言和演示。每一個小組都有展示,每一個學生都在做、想、說,雖然其中有困惑、有障礙、有失敗,但每個學生樂此而不疲,做的專心致志,想的眉頭緊鎖,聽的津津有味,說的深入淺出,而且總會冒出一些出乎意料的問題和方法。這些得益于各小組的明確分工,使得每個學生都有動手操作的機會和發言的空間,也得益于教師對失敗和錯誤的包容、對成功和精彩發言的表揚鼓勵。整個過程中學生的意見得到發表,創造得到肯定,每個學生都有收獲。
3.探究活動中學生有創造。
勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它是直角三角形中非常重要的性質。它揭示了三角形三條邊之間的數量關系，是解決直角三角形問題的主要根據之一，它在實際生活中用途廣泛。新課改強調培養學生的動手能力和探究能力，通過實際操作與探究活動，使學生獲得較為直觀的印象，從而掌握勾股定理，以利于正確地運用。
一、通過引趣設疑，引發學生探究勾股定理
在教學中教師可通過導入課外有趣的內容，作為課堂教學的切入點。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有沒有外星人？如果有，我們如何與他們聯系？著名的數學家華羅庚就曾建議，讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3∶4∶5的直角三角形，你知道華羅庚為什么會提出這樣的建議？等等。通過一系列的問題，激發學生的興趣，抓住他們的注意力。原來古老的勾股定理，竟然成為了地球與外星人的聯絡密碼。這樣學生就會在感嘆人類古老文明的同時，更加體會到學習勾股定理的重要性。也可以通過一系列生活中隨處可見的直角三角形的實例，引起學生的關注。如給學生講一個故事：相傳在2500年前，數學家畢達格拉斯在他的朋友家做客時，發現朋友家的地面磚能反映直角三角形三邊的某種數量關系。這個小故事讓學生懂得，科學家的偉大發明都是在看似平淡的現象中發現的。數學知識來源于現實生活，只要我們學會觀察與思考，就能激發學生的學習興趣。
二、學習勾股定理，體會數形結合的思想
新課改強調，數學教學要看學生能否在活動中積極思考與探究，能否探索出解決問題的辦法，能否進行積極的聯想，以及學生能否有條理地表達探究過程與獲得的結論等。也可以鼓勵學生用拼得的正方形來驗證勾股定理，引導學生體會數形結合的思想方法，培養數學應用意識。勾股定理描述的是直角三角形的三邊之間的關系，應用勾股定理的前提是這個三角形必須是直角三角形。要強調通過圖形找出直角三角形三邊之間的關系，要從代數表示聯想到幾何圖形，由幾何圖形聯想到代數表示。勾股定理是人們在實踐中通過圖形的分割，并探討圖形之間面積的關系過程中總結出的規律。教學中要引導并鼓勵學生多動手探索，體驗數學活動充滿著探索與創造。按課本中的方法證明這個定理，例如：用四個全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面積可以表示為（a+b）2，四個全等的直角三角形的面積+小正方形的面積=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化簡可得a2+b2=c2。我們還可以把公式變形為：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知兩邊可求出第三邊。
三、拓寬學生視野，但弱化對定理的發現
對于勾股定理的發現，我們認為應該做弱化處理，沒有必要讓學生在此太花精力引導學生探究怎樣發現勾股定理的。如果處理得不當，很容易導致學生盲目地探究。在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在設計上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系。所以，教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生。如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現在學生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關的數學史料上，借此拓寬學生的視野。第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的結論：運用“腳手架”理論，通過“工作單”進行鋪墊，為學生的學習提供一種教學協助，幫助學生完成在現有能力下對高認知學習任務的難度的跨越。這樣的處理也具有一定的可行性。不過大多數人更傾向于第一條途徑，弱化發現，而強化證明，重視應用，把重點放到定理的證明與應用上，這樣也許對學生的思維更有利。
四、注重數形結合，實現教學方式的轉變
學了數學卻不會解決實際問題，造成了知識學習和知識應用的脫節，感受不到數學與生活的聯系，這是當前初中數學教學的現狀，教學中到處充斥著過量的、重復的題目訓練。真正的教學應該關注學生學習的過程。首先要關注學生是否積極參加探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積極思考，能否探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯想（數形結合），以及能否有條理地表達活動過程和所獲得的結論等。其次要關注學生學習的知識性及其實際應用。教學主要目的是掌握勾股定理，體會數形結合的思想?，F在的情況是學生知道了勾股定理而不知道在實際生活中如何運用勾股定理。因此在學生了解勾股定理以后，不妨出一個類似于《九章算術》中的應用題，例如：在平靜的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到一邊，草尖與水面平齊，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？教學方式的轉變在關注知識形成的同時，更加關注知識的應用，特別是所學知識在生活中的應用，真正起到學為所用的作用。
參考文獻：
