時間：2023-06-04 08:37:24
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2軟件介紹
在強調學生為主體的實踐式教學設計中，教師設計案例的求解一般要選擇合適的軟件進行輔助，當前數學軟件眾多、功能強大，如綜合性軟件Mat－lab，統計專業軟件SPSS、SAS等。對于專業數學軟件一般要先進行軟件的學習才能用來解決實際問題，對于概率論與數理統計這樣一門獨立的課程，顯然不宜專門來進行軟件的培訓，為了應對實踐教學課堂應用，簡單易學且容易配置的軟件能最大限度實現教學任務。在此以Excel為例介紹案例式教學和利用Excel進行軟件試驗的一點嘗試。Excel使用簡便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進行操作，且具備有強大的圖形功能，便于概率結果的呈現和分析。Excel有豐富的概率函數，能幫助用戶進行各種類型的概率計算，或進行隨機模擬來學習概率論與數理統計。Excel可以計算大部分常用理論分布的概率密度函數PDF、累積分布函數CDF以及模擬產生服從常用概率分布的隨機數據。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強大的學習工具。選用Excel作為概率論與數理統計教學輔助軟件的另一個原因是作為微軟Office工具之一，大部分學生均了解Excel的使用，因此不用進行軟件的教學即可用來解決實際問題，在學習過程中也能進一步促進學生對軟件的使用增強他們解決實際問題的能力。下面介紹一個利用Excel輔助的案例式實驗教學設計實例。為了使數學實驗背景貼近學生的學習生活，以考試中選擇題成績分析為例。背景分析：考試是每個學生都經歷的學習過程，其中選擇題是經常遇到的類型，選擇題的設計與概率知識之間有密切的關系。通過與學生密切相關的問題引入概率教學，能極大激發學生的學習興趣。問題設計：選擇題在解答時不同于填空題或者解答題，因為在完全不會的情況下仍有可能靠猜測得到正確的答案，那如何來評估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數理統計的基本知識予以研究？
3實驗教學案例設計
首先提出基本假設，考試時一個選擇題有4個選項，僅有一個選項是正確的，如果不會做就隨機作答，因此在不會做題的情況下隨機選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對了，對于老師來說，按照成績評價學生實際知識水平非常重要，因此需要評估在答案正確的前提下求學生實際會做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會做該題的概率一直大于被試者實際會做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區分被試者的不同程度，需要適當調節題目的難度來區分被試者是不是真的會做。作為一個例子，若學生會做與不會做的概率相同，取x＝0．5，則容易計算出P（A｜B）＝0．8，即實際會做概率為0．5時，選擇題表現出來的得分可能為0．8分。對于數學實驗來說，讓學生自己對該案例進一步討論，親自實踐在軟件輔助下的概率解題，對促進學生將理論用于實際非常重要。在課堂講授的基礎上，可以將學生自學內容引申到用隨機變量的分布律和分布函數來研究在實際考試中選擇題得分情況演示，結合二項分布理論研究選擇題對學習評價的情況。評價借助于Excel軟件設計如下實驗。假設某項考試由100道選擇題組成，每道題1分，學生會做該題的概率為x（實際問題中相當于難度系數為1－x），當x＝0的時候，被試者對考試內容完全不會，每題都隨機選擇，可以看成服從參數為（100，0．25）的二項分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數進行二項分布概率密度值和分布函數值的計算來演示考試結果。函數用法為：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數量，可以使用單元格自動生成，n，p為二項分布的參數。n表示總試驗次數，p表示每次試驗中事件出現的次數即答對題的概率。后面的參數FALSE／TRUE用來說明是計算概率密度函數和是計算分布函數。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示對A2單元格中的自變量計算參數為（100，0．25）的二項分布概率密度函數值。使用Ex－cel的自動填充功能，便可方便生成該二項分布的概率密度表。為方便調節二項分布參數，可以將參數（n，p）用單元格的絕對引用代替，改變參數單元格的數值就能得到不同二項分布的概率密度表格。Excel還可以對概率密度表和分布函數表生成條形圖和線圖，若試題難度系數0．5，學生事實會做的題目應該有50道，因此會做的題目有50道，另外不會做的隨機選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。
2問題的解決方案
2．1從整體內容上把握教材
根據《概率論與數理統計》教材，該課程整體上是講述三個大的問題:一是概率論部分，介紹必要的理論基礎;二是數理統計部分，主要講述參數估計和假設檢驗，并介紹了方差分析和回歸分析的方法;三是隨機過程部分，在講清基本知識的基礎上主要討論了平穩隨機過程，是隨機變量的集合，能完全揭示概率的本質。課本上的很多問題都是圍繞這三個問題來講述的，因此，要打破“重理論，輕應用”“重概率，輕統計”的教學思想，且從整體上完整地對這三個問題進行講授。由于概率論與數理統計的知識點多而零散，初學者對知識點不容易全面系統地把握，所以老師在教學中要經常引導學生進行簡單復習回顧，從而使學生能夠高效而快速地理解所學知識，系統掌握這有機結合的三部分內容。
2．2在講授中要有其客觀背景
很多學生雖然在中學接觸過概率知識，但那只是皮毛，大學更注重的是思想的培養，而且本課程從內容到方法與其它數學課程都有本質的區別。因此，老師在講解基本概念時，一定要把來龍去脈講清楚。比如在評價棉花的質量時，“既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大，偏離較小，質量較好”，這些常識性知識容易理解，學生也有興趣聽，然后就此引入概念———這是由隨機變量的分布所確定的，能刻畫隨機變量某一方面的特征的常數統稱為數字特征，它在理論和實際應用中都很重要。由此就很自然地引出了數字特征、數學期望、方差、相關系數和矩，這樣學生就很好地理解了概念的實際背景。也就是說，在概念定理的教學中，首先應該在概念、定理產生的背景上下功夫，找出每個概念的實例，用大量事實來說明提出這些概念定理的客觀依據是什么，它在實際應用中有什么意義。比如，一個隨機變量由大量的相互獨立的隨機因素綜合影響而形成，而且其中每一個個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，這種隨機變量往往近似服從正態分布，那么這種現象正是中心極限定理的客觀背景;再如，在介紹隨機過程時，不妨從隨機過程實例出發，如股票和匯率的波動、語音信號、視頻信號、體溫的變化等等。如果忽視了概念與定理產生的實際背景，離開實際去講概念和定理，學生會覺得學習內容枯燥，而且也很難理解，更不會應用于解決實際問題，這樣就降低了學習的積極性，也沒有發揮該課程的功能。
2．3在教學過程中使用案例教學
案例教學的主角是學生，通過學生之間對概念、定義、定理、標注、例題積極主動的討論，以達到更深入理解和掌握的目的。在教學中引入的案例，要能夠激發學生的學習興趣、學習積極性和參與討論的主動性。如何選取案例，就要求教師在備課當中多花時間找資料、思考，在教學案例中盡可能選取社會熱點、先進的科技信息為案例素材，尤其財經類院校應盡可能編寫一些涉及財經信息方面的案例。比如，講到隨機變量內容部分，定要在金融經濟學中編寫涉及到的隨機變量的案例;講到中心極限定理部分，投資學中期權定價理論就是一個很好的案例;講到參數估計和評價時，保險精算中對平均壽命函數的估計和評價則是很好的案例;隨機過程部分，分數布朗運動投資組合的風險度量都是很好的案例等等。如此教學，才能激發學生的學習興趣，在討論中逐步體會基本概念、定義、定理的來龍去脈，實現了有效學習，培養了學生解決實際問題的能力和抽象概括、推理論證的能力。
2．4重視引導學生主動思考問題
培養創新思維“在教學過程中提出一些思考性和啟發性都很強的問題，讓學生分析、研究和討論，引導學生去發現問題，分析問題，然后解決問題?！睂W生的學習要自覺要靠自己，不是由教師牽著走，而是由教師引導走，“授人與魚，只供一日之炊;授人與漁，使人受益終身”，所以教師應多引導、鼓勵學生主動思考問題。比如，教師在每次課結束前5分鐘進行下堂課新知識的介紹時，對本堂課學的知識點和前面學過的知識做個串聯，最好能隨手畫出知識點“網絡狀”圖，引導學生積極思考，引出下次課要講的內容，勾起學生的預習興趣。再如，在講課時，教師可以針對本節課的內容設計一系列“問題鏈”，用“問題鏈”帶動和完成課堂教學，可很好地引導學生主動思考、創造性思維，引導學生思考、發現問題，討論、做出結論，從而逐步地使教學由“灌輸式教育”向“創新型教育”轉變，教學互動，教學相長。同時，教師一定要想方設法改變“學生被動接受知識”為自主、有興趣地去學習知識，引導和組織學生展開討論，鼓勵學生提出大膽的猜想，及時解決學生提出的問題，激發學生的求知欲，注重教學方法的靈活運用，鼓勵學生動手探究和創新，這樣教學效果才會明顯。
二、概率統計的工具
當今的社會是一個信息化的時代，統計學也不再只是劉乃嘉，吉林工商學院助教，碩士，研究方向：統計學。計算一些基本的加減了，以前用一個計算器就能輕輕松松的解決，而今的統計學面對的大數字時代，需要處理大量的數據。在教學的過程中可以適當添加一些軟件，既吸引學生的眼球又能提高效率，節省人力、物力，比如說SPSS、SAS、MATLAB、EXCEL表格等。SPSS的優點很多，它有學生們樂于接受的主界面，最重要的是這個軟件特別的容易學，對從來接觸過這個軟件的同學來說，可也以在很短的時間內輕松的掌握它，非常適合非計算機專業的學生。教學的目標在于運用，SPSS自身帶有許多函數計算公式和其他的計算公式，你只需找到你要計算的公式并且在鍵盤上輸入你要計算的內容，就可以計算出概率密度、分布、隨機問題等，十分便捷。EXCEL軟件是大家最熟知的軟件，因為在剛入學的時候就有計算機基礎，里面就要求掌握這個軟件的運用，是OFFICE的一個分支。在教學中選用這個工具可以降低教學難度，還可以提高學生的積極性，因為他們學的知識終于可以有用武之地了。這個軟件最大的優點就是制作統計圖像的功能很完善，并且還有非常完美的統計處理能力，它具備了其他軟件基本上的功能，可以很好地與其他統計軟件相匹配，共同運用。計算機領域還有很多的可以適用于統計學的軟件，而且一般這些軟件的運用對大多數的老師和學生來說都是不費吹灰之力的，在概率統計的教學中，老師們可以按照教學的需要適當的引入這些優秀而強大的軟件，彌補以前教學方式中存在的缺點，增加老師和學生的互動，提高學生的學習興趣，如果有條件可以讓學生到計算機中心去親自體驗一下這些軟件，學生一般比較愿意學習動手性比較強的知識，這也是教學中值得思考的問題。
二、設計思路
1.實驗內容與專業特點相結合。作為師范類數學，畢業后主要從事教育教學工作。在教育教學工作中，免不了要對教學質量、教學效果等進行分析，需要用到統計知識。因而在設計實踐教學內容時，應根據學生就業后的需求情況，結合教育統計與教學測評等內容，設計專業特點較強的實驗題目（內容），如調查當地學生數學能力狀況、調查某一教學內容教學效果情況等。通過實際操作，使學生掌握教育統計研究的方法，不僅提高學生的能力，也為今后在教育教學工作中開展科學研究打下基礎。2.軟件的選用。目前，專業的統計軟件有SAS、SPSS、Eviews、R等，這些軟件的專業性很強，功能也非常強大。但本人認為作為非專業的一般使用者，選用Excel就可以了，其原因主要有以下幾個方面：第一，專業軟件對于非專業人員要運用自如有一定難度；第二，專業軟件不少需要購買，且價格昂貴，一般人難以承受；第三，Excel軟件是一款使用廣泛的辦公軟件，且較易學；最后，Excel軟件提供了豐富的函數，可以進行數據處理、統計分析和決策輔助以及制圖等功能，完全能夠滿足基礎的統計分析工作。因此，在實踐教學中建議選用Excel軟件。3.突出實用性，增加綜合運用。《概率論與數理統計》課程的實驗主要以模擬和實證分析為主，缺乏結合實際、應用性強的實驗。在設計實驗內容時，應結合實際的應用，設計綜合性、操作性較強的實驗題目，以項目的形式組織學生分組開展實驗實訓活動。例如設計題目《中學生數學能力的調查研究》，在此題之下可以分多個小題，如《中學生空間想象能力的調研》、《中學生性別差異對空間想象能力的影響研究》等等，讓學生6～8人一組，每組選擇一題開展研究。
三、實踐實例
在完成理論學習的基礎上，利用實踐教學環節，結合教育工作的需要，設計綜合性的實踐教學內容，并通過組織學生分組開展實驗，從而加深學生對理論知識的理解，同時提高學生的實際應用能力。下面通過三個案例說明實踐教學的設計和開展。實例1：2011年全國五個自治區教育經費投入情況對比分析。實驗目的：（1）使學生學會利用相關資源收集、整理數據；（2）利用Excel軟件描繪柱形圖。實驗過程設計：1.數據的收集。根據收集方式的不同，統計數據可分為間接數據和直接數據。實例1中的數據為間接數據，其收集的主要方法有：（1）通過《中國統計年鑒》、《中國統計摘要》及各省、市、地區的統計年鑒等公開出版物收集數據；（2）利用中華人民共和國國家統計局、中國經濟信息網等網站查詢數據；（3）到各地方統計局查詢統計數據。在此實驗中要求學生按5人一組，通過中華人民共和國國家統計局網站，查詢相關數據（如圖1所示），并對數據進行篩選、整理，得到2011年全國五個自治區教育經費投入情況數據。最后利用Excle軟件繪制數據表，并錄入所需數據，得到2011年全國五個自治區教育經費投入情況數據表（見表1）。由圖2可知，2011年全國五個自治區中，廣西的教育經費投入最多，投入最少；另外內蒙古、廣西、新疆的教育經費相差不大，、寧夏相對較少。實驗小結：該實驗是統計分析中的一個基礎性實驗，主要教會學生利用網絡、圖書、雜志等途徑收集數據，并利用Excle軟件對數據進行預處理，最后根據繪制統計分析圖，得出分析結論。類似的還可練習繪制餅狀圖、折線圖、直方圖等圖形。另外，根據學生情況還可以適當深入（如三維數據圖，多變量數據分析圖等），但應保持與專業特點相結合。實例2：對學生考試成績進行統計分析。實驗目的：（1）學會制作統計表格；（2）學會利用Excel軟件進行描述性統計；（3）學會使用Excel軟件中的相關函數進行統計匯總。實驗過程設計：1.制作統計表并錄入本班學生某次考試成績（表格前6行如圖3所示）。2.在“工具”菜單中選擇“數據分析”子菜單，并在彈出的窗口中選擇“描述統計”，點擊“確定”后將需要進行描述統計的數據選入“輸入區域”，依次選定輸出區域以及需要輸出的統計值（如匯總統計、平均置信度等），確定之后可生成描述統計表（如表2）。3.利用COUNTIF等函數求出學生各分數段人數、優秀率、及格率等數據（如表3）。實驗小結：該實驗通過對學生成績的統計分析，教會學生利用Excel軟件中的相關函數和數據分析工具進行統計，對學生今后在事教育工作中進行教學質量分析有一定幫助。在此基礎上，還可以進行拓展，如分析多門課程成績情況；分析各班級間成績是否存在顯著性差異；男、女生學習成績是否存在顯著性差異等問題。實例3：中學生數學能力調查分析。實驗目的：（1）使學生學會調查問卷的設計，并了解開展問卷調查的流程；（2）利用Excel軟件對問卷數據進行方差分析。實驗過程設計：1.設計問卷。中學生數學能力主要包括：數學的運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力、實際應用能力等，在設計問卷時，讓學生分成4組，每組設計一類能力測試題。學生人數較多時，可分成8組，每兩組負責一類試題，各組分別完成設計。各組設計好的試題，由大家討論，挑選出部分題目，綜合成為中學生數學能力測試卷。2.分組調查。學生分組到各中學進行問卷調查。在實施調查前，先根據該校學生名錄，采用隨機數表法抽取被調查學生名單，然后根據抽樣名單完成問卷調查，以保證數據的有效性。最后，根據收回的有效問卷整理出相關數據。3.方差分析。利用Excel軟件數據分析中的方差分析模塊，對整理好的數據進行方差分析。分析內容可設置為性別對學生各種能力是否存在顯著性影響；年齡對學生各種能力是否存在顯著性影響；民族對學生各種能力是否存在顯著性影響；等等。學生分組選擇一個內容進行分析，并完成分析報告。在之后的小組交流中，每組派一名代表闡述本組的分析過程和分析結果，大家再討論分析是否正確、結果是否合理等。實驗小結：該實驗綜合性加強，在實驗過程中涉及到抽樣調查、數據預處理、統計分析等內容。該內容以項目進行，大項目中分子項目，由學生分組合作完成，在這樣的實驗活動中，學生既學到了專業知識，鍛煉了專業技能，又培養了團結協作、互相交流的品質。
數學的文化性特征應該具有多元性、開放性和動態性等特點。概率論是研究大量隨機現象規律性的一門數學分支。而隨機現象的兩個重要特征即不確定性和規律性,卻經常使得學生在直覺與科學之間無所適從,給學習與教學帶來一定的困難。正是因為如此,從文化的角度重新審視概率統計的教學,既能促進教學,又符合新課程的理念。
1.概率統計理論的發展史略
縱觀歷史,自文藝復興時期的數學家,醫學教授Cardan在其熱衷的賭博游戲中開始思考獲得7點和在一副牌中獲得“A”的概率開始,數學的一個新的分支——概率論,便在對游戲的思考中展開了它的宏偉畫卷。我們知道,在自然界和現實生活中,隨機現象十分普遍,它表面上雜亂無章,但在多次實驗后卻隱藏著規律性。續Cardan之后大約100年,另一位賭徒Mere繼續研究了上述賭博問題,但是由于他數學知識的局限性,不得不求助當時數學奇才Pascal,而Pascal在與Fermat的通訊討論中逐步明確了概率值的確定方法等理論問題,從而將游戲問題上升到了數學問題。而十七、十八世紀之后,由于商業保險、產品檢驗,以及軍事、選舉、審判調查和天氣預報等大量隨機問題的涌現,概率論逐步從最初為給賭徒提供咨詢,轉變成為急需解決的數學理論問題。自1713年Bernouli到1917年Kolmogorov,以及十九世紀二三十年代的凱特勒更是將概率統計理論不斷系統化、公理化,從而確立了概率統計成為數學的一個邏輯嚴謹的分支。
在教學中,特別是講授概率統計概念的教學中,還原它的文化性,將歷史再現出來,既能夠讓學生在有趣的游戲中了解概率統計的源頭,也可以讓學生體驗到概率統計源于生活,服務于生活的科學本質,并了解人類在認識這一問題的過程中所付出的巨大努力,從而在學習知識的同時潛移默化地感受到數學文化的存在性。
2.概率統計教學文化性的外部表現
2.1豐富有趣的生活問題,為概率統計教學的文化性增加了多元性元素。
概率統計的生活背景可謂豐富多彩,這為課堂教學提供了十分豐富的情景基礎。
在概率定義理解教學中,賭博游戲的下注問題、贖金分配問題、比賽優先權問題、無法投遞信件比例問題、商場結賬快慢問題等。
古典概型教學中,拋硬幣問題、生日問題、天氣預報問題、男女出生比例問題等。
幾何概型教學中,有轉盤中獎問題、蒲風投針實驗問題、會面問題等。
隨機變量及分布教學中,有中獎問題、銀行卡密碼問題、感冒指數問題等。
正態分布教學中,智力分布問題、線段測量誤差問題、一天的氣溫平均值問題等。
這些問題來自我們生活的方方面面,而且許多問題都是歷史經典問題,因此問題本身的數學思維性加上歷史背景性,其文化的氣息更加濃厚,甚至童年故事“狼來了”問題,成語故事“三個臭皮匠頂個諸葛亮”問題,評分術語“去掉一個最高分,去掉一個最低分”問題,等等,都滲透著概率統計的思想,這無不體現著數學來源于生活,服務于生活的文化思想。
2.2大量動手操作性的實驗學習活動,是概率統計教學文化性的又一體現。
在拋硬幣實驗中,學生在拋擲中收集數據,通過操作方式學習數學的結論。
在義務教育階段,通過收集同學的體質健康情況,年齡,身高數據進行數據學習。
在變量的相關關系教學中,收集同學使用計算機時間,物理成績與數學成績等,學習變量的相關性。
在隨機抽樣教學中,設計調查問卷等。
可以看到,以上這些實驗性學習方式,是其他數學學習中較少出現的,然而正是這些帶有操作性的學習方式,豐富著學生的思維,增加著他們的心理感受,認識到所學的東西有用,能解決現實問題,學習熱情高漲,從情感上豐富著他們對數學的感受。超級秘書網
3.概率統計教學文化性的內部表現
3.1科學思維的深刻提升。
概率統計的核心是認識隱藏在隨機現象背后的統計規律性,強調隨機現象的個別觀察的偶然性與大量觀察中的統計規律性之間的聯系。必然性通過偶然性表現出來,偶然性背后總是隱藏著必然性。通過這種必然性去認識和把握隨機現象,而不確定與確定,可能與不可能的集中體現,更是辯證思想的體現,是人類思維成熟的體現。因此概率統計的學習實際上是對學生過去習慣的確定性思維的一次挑戰,是一次思維文化的碰創。例如拋一次硬幣的結果是無法確定的,學生可以理解,但是大量拋擲的結果卻是一個概率確定值,這里具有辯證統一的思想,為了讓學生能夠理解這樣的事實,實驗是必不可少的,這又使得學生經歷了從具體到抽象及歸納的邏輯思維形式。在學生使用概率模型解決問題的同時,歸納思維、合情推理等思想方法與隨機思想方法的交融,都是數學化意識的體現,它深入到內部,不斷完善他們的思維,使其日趨成熟,這正是數學的學科特征。
3.2人文精神的不斷升華。
概率統計的產生就像它的理論那樣帶著大量的偶然因素,但是因為有眾多優秀數學家的鉆研,其產生與發展又是一個必然的結果,并不斷系統化、條理化。如今,概率統計已經滲透到了自然科學和社會科學的方方面面,而對于大量來源于生活的概率統計問題,必將教會學生主動利用所學的知識去認識世界、改造世界,有助于培養學生將數學理論應用于解決實際問題的能力和創新意識。
參考文獻:
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二、巧借實例自然引入新概念
著重培養學生的數學應用意識，教師在教學中的示范作用很重要。概率統計課程的概念是教學的難點，教師上課如果直接寫出來，則學生會感到很突兀，很抽象且難于接受。一個教學經驗豐富的教師應當重視概念引入的教學設計，從學生的認知規律出發，先使學生對概念形成感性認識，揭示概念產生的實際背景和基礎，了解概念形成的必要性和合理性。例如極大似然估計的概念教學，一般引入的第一個例子是有個同學和一個獵人去打獵，一只野兔從前方經過，只聽一聲槍響，野兔就倒下了，這發命中目標的子彈是誰打的？同學們一定會推斷是獵人，你們會說獵人命中目標的概率比同學的大，這個例子說明了你們形成了極大似然估計的初步思想。極大似然估計的思想是在已經得到實驗結果的情況下，應該尋找使這個結果出現的可能性最大的那個θ作為θ的估計θ∧。極大似然估計法首先由德國數學家高斯于1821年提出，英國統計學家費歇于1922年重新發現并作了進一步研究。第二個例子是兩個射手打靶，甲的命中率為0.9，乙的命中率為0.4，現靶面顯示10中6，且是一個人所為，請問是誰打的？一開始學生中會形成不同意見，有的說是甲，有的說是乙，有的不知如何判斷。表面看，甲的命中率高，如果說是甲好像低估了甲的水平，乙的命中率低，如果說是乙又高估了乙的水平，但現在要作一個合理推斷，我們建立一個統計模型：有一個總體為兩點分布，參數為P（0.9或0.4侍定），現有樣本X1，X2，…，Xn（n=10），其中有6個觀察值為1，4個為0，設事件A={10槍6中靶心}若是甲所射，則A發生的概率為P1（A）=C610（0.8）6（0.2）4=0.088，若是乙所射，則A發生的概率為P2（A）=C610（0.8）6（0.5）4=0.21，顯然，P1（A）＜P2（A），故可認為乙所射的可能性較大。從這兩個實例中教師再引出極大似然估計的原理：在已經得到試驗結果的情況下，我們應該尋找使這個結果出現的可能性最大的那個θ作為真θ的估計，顯得水到渠成。
三、合理假設形成模型意識
概率統計學科本來就是為了解決實際問題而產生的，它的起源是對賭博問題的研究。要培養學生的應用意識更應加強模型意識。數學模型是指應用數學的方法和語言符號對現實事物進行數學的假設和合理簡化，可以理解為現實事物在數學世界的抽象存在，也是人們對實際問題的原型進行的數學抽象，它的目的是便于應用適當的數學工具得到對問題的量化研究。在概率統計教學中建立的數學模型應當選擇問題的主要要素，模型相對比較簡單并且易于教學推理和分析。
四、循序漸進培養應用能力
數學應用能力是一種綜合能力，應循序漸進，慢慢培養。在現實中我們要注意：（1）概率是指某件事情發生的可能性大小。例如在天氣預報中會提到晴天與雨天，預報明天下雨，只是說雨天可能性很大，這種概率不可能超過百分之百。（2）有些概率是可以估計的。比如擲骰子，你得5點的概率應該是六分之一，但擲骰子的結果還只可能是六個數目之一。這個已知的規律就反映了規律性，而得到哪個結果則反映了隨機性。（3）應當在大量重復試驗中出現的頻率來估計生活中隨機事件出現的概率。（4）多學習一些統計軟件，充分利用一些直接的或間接的數據來源。
二、結合專業，注重案例教學
在地質類專業中，很多實際問題都直接用到了《概率論與數理統計》中的內容，比如:區間估計、假設檢驗、參數估計等，都是在地質類專業教學中常用的數理統計方法。那么，我們在《概率論與數理統計》的課堂教學中就可以有的放矢地將地質類學科中的案例與數理統計中的這些方法相結合，把地質學中的實際問題當作例子在《概率論與數理統計》課堂中進行講解，地質類專業的案例在很多時候就是在具備專業背景下的統計學的應用，用這類問題來替換課本上枯燥的數學例子，一方面可以增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣和積極性，另一方面也為將來學生在專業課中使用概率論與數理統計知識打下基礎，幫助學生順利地完成從基礎課到專業課的自然過渡。
概率論以及數學統計這門課程具有較強的實踐性，因此，在教學課程上，教師需要在教學的基本內容中加入更多的實例教學，幫助學生理解這門學科的基本知識點，加深學生對基本理論的記憶。例如：在講概率學中最基本的加法公式時，加入數學建模的基本思想，利用俗語“三個臭皮匠”的相關內容作為教學實例。俗語中有三個臭皮匠的想法能夠比的上一個諸葛亮，意思就是說多個人共同合作的效果比較大，可以將這種實際中的問題引入到數學概率論的教學中，從科學的概率論中證明這種想法是否正確。首先需要根據具體的問題建立相應的數學模型，想要證明三個臭皮匠能否勝過諸葛亮，這個問題主要是討論多個人與一個人在解決問題的能力上是否存在較大的差別，在概率論中計算解決問題的概率。用c表示問題中諸葛亮解決問題的能力，ai表示其中（ii=1，2，3）個臭皮匠解決問題的能力，每一個臭皮匠單獨解決問題存在的概率是P（a1）=0.45，P（a2）=0.6，P（a3）=0.45，諸葛亮解決問題存在的概率是P（c）=0.9，事件b表示順利解決問題，那么諸葛亮順利解決問題的概率P（b）=P（c）=0.9，三個臭皮匠能夠順利解決問題的概率是P（b）=P（a1）+P（a2）+P（a3）。按照概率論中的基本加法公式得P（b）=P（a1+a2+a3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）-P（a1a2）-P（a2a3）-P（a1a3）+P（a1a2a3）解得P（b）=0.901。因此，得出結論三個臭皮匠順利解決問題存在的準確概率大于90%，這種概率大于諸葛亮獨自順利解決問題的概率，提出的問題被證實。在解決這一問題過程中，大部分學生都能夠在數學建模找到學習的樂趣，在輕松的課堂氛圍中學到了基本的概率學知識。這種教學方式更貼近學生的生活，有效的提高了學生學習概率論以及數學統計這一課程的興趣，培養學生積極主動的學習。
2.課設數學教學的實驗課
一般情況下，數學的實驗課程都需要結合數學建模的基本思想，將各種數學軟件作為教學的平臺，模擬相應的實驗環境。隨著科學技術的不斷發展，計算機軟件應用到教學中已經越來越普遍，一般概率論以及數學統計中的計算都可以利用先進的計算機軟件進行計算。教學中經常使用的教學軟件有SPSS以及MABTE等，對于一些數據量非常大的教學案例，比如數據模擬技術等問題，都能夠利用各種軟件進行準確的處理。在數學實驗的教學課程中，學生能夠真實的體會到數學建模的整個過程，提高學生的實際應用能力，促進學生自發的主動探索概率論以及數學統計的相關知識內容。通過專業軟件的學習和應用，增強學生實際動手以及解決問題的能力。
3.利用新的教學方法
傳統數學說教式的教學方法并不能取得較高的教學效果，這種傳統的教學也已經無法滿足現代教學的基本要求。在概率論以及數學統計的教學中融入數學建模的基本思想并采用新的教學方法，能夠有效的提高課堂教學效果。將講述教學與課堂討論相互結合，在講述基本概念時穿插各種討論的環節，能夠激發學生主動思考。啟發式教學法，通過已經掌握的知識對新的知識內容進行啟發，引導學生發現問題解決問題，自覺探索新的知識。案例教學法，實踐教學證明，這也是在概率論中融入數學建模基本思想最有效的教學方法。在學習新的知識概念時，首先引入適當的教學案例，并且，案例的選擇要新穎具有針對性，從淺到深，教學的內容從具體到抽象，對學生起到良好的啟發作用。學生在學習的過程中改變了以往被動學習的狀態，開始主動探索，案例的教學貼近學生的生活學生更容易接受。這種教學方法加深了學生對概率論相關知識的理解，發散思維，并利用概率論以及數學統計的基本內容解決現實中的實際問題，激發了學生的學習興趣，同時提高了學生解決實際問題的綜合能力。在運用各種新的教學方法時，應該更加注重學生的參與性，只有參與到教學活動中，才能夠真正理解知識的內涵。
4.有效的學習方式
對于概率論以及數學統計的相關內容在教學的過程中不能只是照本宣科，而數學建模的基本思想并沒有固定不變的模式，需要多種技能的相互結合，綜合利用。在實際的教學中，教師不應該一味的參照課本的內容進行教學，而是引導學生學會走出課本自主解決現實中的各種問題，鼓勵學生查閱相關的資料背景，提高學生自主學習的能力。在教學前，教師首先補充一些啟發式的數學知識，傳授教學中新的觀念以及新的學習方法，拓展學生的知識面。在進行課后的習題練習時，教師需要適當的引入一部分條件并不充分的問題，改變以往課后訓練的模式，注重培養學生自己動手，自己思考，在得到基本數據后，建立數學模型的能力。還可以在教學中加入專題討論的內容，鼓勵學生能夠勇敢的表達自己的想法和見解，促進學生之間的討論和交流。改變以往教師傳授知識，學生被動接受的學習方式，學會自主學習，自主探究，勇于提出自己的看法并通過理論知識的學習驗證自己的想法。有效的學習方式能夠調動學生學習的積極性，加深對知識的理解。
5.將數學建模的基本思想融入課后習題中
課后作業的練習是鞏固課堂所學知識的重要環節，也是教學內容中不可忽視的過程。概率論統計課程內容具有較強的實用性，針對這一特點，在教學中組織學生更多的參與各種社會實踐活動，重在實際應用所學的知識。對于課后習題的布置，可以將數學建模的思想融入其中，并讓這種思想真正的解決現實中的各種問題，在實踐中學會應用，不僅能夠鞏固課堂學到的理論知識，還能夠提高學生的實踐能力。例如：課后的習題可以布置為測量男女同學的身高，并用概率統計學的相關知識分析身高存在的各種差異，或者是分析中午不同時間段食堂的擁擠程度，根據實際情況提出解決方案，或者是分析某種水果具體的銷售情況與季節變化存在的內在關系等。在解決課后習題時，學生可以進行分組，利用團隊的合作共同完成作業的任務，通過實踐活動完成訓練。在學生完成作業的過程中，不僅領會到了數學建模的基本思想，還能夠將概率統計的相關知識應用到實際的問題中，并通過科學的統計和分析解決實際問題，培養了學生自主探究以及實際操作的綜合能力。
教學研究概率論和數理統計是教育領域中的兩個不可或缺的學科，而這兩者都有著較為抽象的特征，這就意味著學生在學習時難免會遇到這樣或那樣的困難。倘若無法正確認識相關概念，那么在今后的深入學習中便會遇到更多的難題。在很多情況下，日常練習與考試中出現的大部分錯誤主要就是因為學生未對概念有正確的認識，更不用說知識拓展了。這就要求教師在包括課前、課上以及課后的教學過程中考慮怎樣設置教學才可以使學生愿學，好學以及學好。筆者將從以下幾個方面分析概率論與數理統計教學優化的對策。
1以課程發展歷史切入，激發學生興趣
數學學科中涉及到的理論、思想以及思維等都是社會得以進步的關鍵，同時還是衡量人類發展水平的標尺。不管是學習個體，還是全人類，其發展均離不開數學的輔助。數學并不單單是一門課程，同時還是一類文化。不僅如此，它還是人們得以進步的重要手段與思想理念。數學中蘊含的意義不受時間和空間的限制，它存在于人們發展的各個時期。西方數學家早已明確提出，多種學科，包括心理學，語言學等，都和數學之間有著千絲萬縷的聯系。所以，在教學過程中，教師可以向學生講述概率論與數理統計和其他學科間的關系及其發展歷史，以此來激發學生的學習興趣。只要學生對學習產生了興趣與熱情，那么概率論與數理統計教學質量必將會得到有效提升。
2彌補傳統教學中的不足
從整體上看，《概率論與數理統計學》課本本身十分重視與概率論有關的理論知識。相比之下，數理統計的實踐知識所占比例則要稍顯偏少。筆者通過深入研究分析后發現，教材所關注的更多的是概率論知識理論層面上的傳授，而對于數理統計在實踐中的應用則涉獵的非常有限，也沒有進行具體的分析。例如，數理統計一般都只講解到區間估計與假設檢驗兩個環節就停止，造成學生無法真正掌握并運用有著良好實用特征的回歸與方差分析方法。而在一些其他的部分，也僅僅介紹了概率論，沒有突出數理統計，學生盡管掌握了概率論的率計算法則，卻并沒有真正掌握這一方法的實際運用。通常情況下都是在學習了理論知識后便快速遺忘，其最終結果就是學生雖然拿到了實踐數據，但并未掌握具有較強實用性的分析方法。這種現象不利于學生實用能力的有效提升，也背離了應用型本科院校重視提升學生應用型能力的教育思想。
3揉合數學建模實現應用能力的提升
人們都知道，學習數學學科的最有效方法就是“學以致用”。就現階段的教育現狀而言，學生從最初接觸數學開始，對數學的認識就僅限于能夠解題，獲得高分。無可厚非，這是一種衡量學生知識掌握情況的重要標準，但絕不是僅有的標準。盡管學生擁有牢固的理論基礎，但如果無法將所學應用到生活實踐中，那么整個學習過程將毫無意義。在計算機水平持續提升的階段，概率統計軟件層出不窮，且使用規模也在不斷擴大，這為學生的實際應用創造了難得的機遇。數學建模實際上就是以社會生活中的某些生產與生活現象為基礎，借助數學方法來獲取緩解或解決對策，這需要學生有較強的實踐能力。對學生的數學建模思想進行針對性的提升不僅能夠提升學生應用概率論與數理統計學理論的實踐能力，還可以有效提高學生的問題分析技巧。所以，教師在教學過程中應做好對學生數學建模思想的滲透工作，融入到實踐性較強的案例中，從而使學生可以在不斷的分析與研究過程中領悟應變能力與問題解決能力的重要性。
4改進教學方法和教學手段
現實案例和學生的生活環境有著密切的聯系。學生對所處環境進行評價與研究，從而透徹的理解各個案例，探尋問題的根源，最終聯系所學的概率論與數理統計知識來獲得問題的解決辦法。這一教學方式和生活息息相關，能夠在很大程度上刺激學生的主動探索熱情，增強他們的實踐觀念，幫助他們獲得學以致用的成就感。就拿二項分布與正態分布而言，它們就能夠解釋多種生活實踐中的現象，包括硬幣的拋擲概率等，有著非常強的現實意義。這些案例能夠激發學生主動投入到實踐探索過程中去，在翻閱資料，搜集信息，并結合概率論與數理統計有關理論的過程中透析案例并尋求解決辦法。不僅如此，保險理賠、公交車是否準時以及商業用電等都是學生在生活工作中隨處可見的實際案例，學生通過了解、分析這些問題，探析其本質，從而逐漸增強自身的概率論與數理統計應用觀念，并提升數學能力。
5完善考核方式
考核在整個教學環節中扮演著不可或缺的角色。它不僅能夠用于了解學生學習過程中存在的問題，還能夠對教師的教學水平進行一定的評價。概率論與數理統計課程是考試課程，所以不應完全根據期末成績占總分70%，平時成績占30%的計算方法得出學生的最終文化分。而是應把考核體制中的成績評估進行進一步細化，這不僅可以提升學生的學習主動性，還可以突出學生在應用概率論與數理統計知識方面的技能與水平。在這樣一種詳細的考核機制中，學生的實踐能力才可以得到最終的提升。因此，概率論與數理統計教學必須要完善考核方式。
6總結
總而言之，概率論與數理統計教學過程中，教師不應將教學目標定位使學生掌握有限的概率論與數理統計解題方法，而應考慮幫助學生在學習這一學科的各個環節中開拓學生的思考方式與視野。同時，還要使學生感受到這一學科在實踐當中的使用價值，從而有效增強學生分析與解決問題的技能。只要教師在教學中實施精心教育，那么學生的自身素質必然會有所提高，也會為學生的就業打下良好的基礎。
作者:王曉敏 單位:西安外事學院工學院
0.引言
在統計學領域，有關討論和爭議時間最長同時也是范圍最廣的問題就是統計學科問題。統計與數學社會經濟統計現狀糾紛愈演愈烈，消除門戶之見，越來越多的人們趨向于建立大統計學科的；現階段，有人提出將數理統計的數據取向作為唯一取向。
1.兩門統計學的對比分析
1.1內容與特點對比
就科學內容而言，社會經濟統計主要涵蓋以下兩個部分：社會經濟體量的核算工作和社會經濟的定量工作。社會經濟體量的核算工作的主要核心內容是宏觀經濟核算表，設計到統計雪中的分類理論、數據收集和整理、會計理論和統計理論等，同時還涉及到已經開發或者準備開發的科學、環境等相關的社會統計數據的會計核算。社會經濟的定量工作則更多的涉及到有關社會經濟數據的總量、社會結構、經濟效益及其動態趨勢發展等。
概率論從整體上來研究，主要是圍繞統計學的目標進行的，在經濟管理中起著直接的作用，研究的內容是有關數據計量、指標分析以及數據索引等內容。數理統計主要涉及兩方面：描述統計和推論統計，在內容上，這兩門統計學科相互關聯，但是兩者依然存在差異性。數理統計的基本上是圍繞模型假設、研究和論證。在概率論分析所用方法群中，數理統計方法是一門最基本同時也是最重要的研究方法，同時，數理統計學也是其中應用的一個范圍較廣的領域。可以這樣說，社會經濟統計和數理統計之間的差異大于相似，社會經濟統計數據具有獨特的服務對象，它與實際工作之間有著密切的關系。數理統計一般認為是自然科學的一個科學的方法，所采用的理論基礎是概率論，主要源自于生物學研究和農業試驗等方面。
1.2發展與創新機理對比
社會經濟統計和數理統計在統計領域影響不同，都受到各自的內容限制，導致這兩門學科研究的驅動力也具有差異性。社會經濟統計的經濟核算主要研究力量來自一些政府機構和高等院校，主要服務于官方統計機構等一些宏觀管理部門；數理統計理論的主要理論源于實踐，通過數學推導，由分析研究人員經過一系列的推算和理論得出分析結果?？茖W實驗在早期的研究方法中具有重要的影響。、是比較大的。在不久的將來，數學推導、社會實踐的影響及其作用將進一步擴大。
1.3地位與影響對比
在國際統計學界中，數理統計學占據著重要的地位，世界上最有影響力的數學統計學會是一個國際統計學會，這個學會所采用的統計學術基本上是以數理統計為主。然而，概率論的發展是逐步進行的，其采用的統計方法也越來越多，同時概率論在很多研究應用領域的重要性越來越突出，包括社會生活、國家和地區經濟的宏觀調控和企業管理。
2.大統計學現狀與發展趨勢
2.1統計學觀點的價值判斷
近幾年，有關概率論和梳理統計學的研究和討論越來越多，態勢也越來越激烈，許多人從學科發展角度，以視覺的辯論的廣度觀察，提出了將概率論和梳理統計學作為一個整體的“大統計”學科的理論。從觀念上看，由于概率論和梳理統計學的統計口徑不同，即使可以形成一個大的統計體系，但就大統計學科的內部關系而言，這一門新興的學科更像是一個松散的學科群。此外，通過對包括概率論和梳理統計學在內的多門學科統一性的強調，并不足以否定在更多方面多分支學科的差異性。
數理統計學是從統計學科中縱向轉變而得，例如生物統計數據、氣象數據經以及濟統計數據等是從中分離出來的，這有利于提取方法本身的改進，同時也是學科發展的必然，更加有利于方法的應用推廣。事實上，隱藏在這學科分化的表面真實的理論基礎，正是在更多的水平和綜合領域中使用不同的統計方法的融匯與綜合。到目前為止沒有很好的理由認為：數理統計和社會經濟統計數據（或其他的縱向統計）將來會重新在一起。
2.2核算統計理論大有學問
大家都知道，隨著我國改革開放，原先長期沉悶學術氣氛被打破，過去在統計學界一直相信的理論也在一步步的研究中開始反思和討論。由于長期以來，我國在社會經濟統計數據方面，包括概率論和數理統計學等在理論、時間等方面存在許多問題，有些學者雖然有關社會經濟統計數據持有懷疑的態度，但考慮到社會經濟統計學僅僅只是一個政府工作中的一個統計數據而已，缺乏必要的歷史、辯證的使用態度，導致負面的社會經濟統計數據鏈反應。
通過對指標和指標體系在統計理論的經濟統計數據的研究，以及在社會經濟現象的數量之間關系的研究，現階段概率論和數理統計學科依然具有活力，也就是核算統計理論不會消失，在現階段，導致核算統計理論大有學問主要是由于：一方面，是一種特殊的社會現象及其復雜性的數量變化邊界的決定統計理論的價值。另一方面，價格因素決定著會計理論的價值，包括廣泛性和綜合性統計調查的內容。
2.3統計理論研究極端化現象的根源
隨著我國改革開放，原先長期沉悶學術氣氛被打破，國內統計行業興起對統計學科的改革性思考?，F階段在統計學領域，國內統計學科研究者一方面要面對著國內外有關統計雙向的問題的研究，另一方面，由于我國統計學科基本單薄，國內一些學者運用傳統的統計理論的徹底批判國內理論，固執地獨自理解西方尋求理論并尋求經驗支持，逐步走向極端化，試圖通過國外，尤其是西方有關“大統計”學的定義和理論對我國的統計理論設計和規劃的發展目標“指手畫腳”。
在極端的趨勢下，是對西方通用的統計理論和應用的假設的有效性的“肯定”，思維模型的研究，這個假設是簡單的二分法處理。當談到過去和現在的中國統計理論，就“以一概全”的、自覺或不自覺地、統一文字修改，這給我國傳統統計理論造成負面影響，所謂的現代統計理論往往根據西方社會因素發展的經驗和成果的統計理論抽象，或是任意類型的處理來界定，傳統與現代的相互滲透性從根本上被否定了。這種觀點認為，傳統的就是落后的，落后的阻礙現論的進一步發展；這種“錯誤”的觀念的研究，忽略傳統統計中所隱含的向現代統計轉型的深厚的正確性資源。割斷歷史，閉塞本國經濟統計學科的理論和實踐發展，或者一味的堅持傳統理論，另起爐灶，抵御國外整體統計學發展理論結果。而應該站在在國家統計科學有效的、合理的基礎上，積極與國際合作，因為任何一個單純地模仿他國的理論成果都沒有成功的先例。
3.結束語
統計學產生于應用，在應用過程中發展壯大。隨著經濟社會的發展、各學科相互融合趨勢的發展和計算機技術的迅速發展，統計學的應用領域也將不斷發展，、統計學的應用展現它的生命力和重要作用。
在應用統計這門學科中，概率論與數理統計的應用過程將會更加的發展壯大。隨著經濟和社會的發展以及計算機技術的飛速發展，統計理論與分析方法在更多領域應用廣泛，統計學的應用將會展現它的生命力和重要作用。（作者單位：福建師范大學）
參考文獻
關于該問題,有現成的求解公式:
(1)
及
(2)
但由于f(x,y)本身形式的差異性,學生往往掌握不好上面兩個積分的計算方法。我們現在就給出求解該問題的一般方法和步驟。
步驟1:在平面直角坐標系畫出f(x,y)不為零的區域Ω。
如果f(x,y)在整個平面域上只有一個表達式,那么Ω就是整個xoy面,這時情況就很簡單;否則,如果f(x,y)在不為零的區域上只有一個表達式,那么Ω為xoy面的一個子區域;更復雜的情況,如果f(x,y)在不為零的區域上有兩個以上不同的表達式,那么我們可以把Ω再分成若干個子區域。
步驟2:分情況確定積分限,并計算積分的值。
我們以式(1)中的積分為例,來進行分析。在積分的過程中,x被看作常數,y是積分變量、并且y的變化范圍是從正無
窮到負無窮。所以我們可以認為 f(x,y)dy的積分域是xoy
面上平行于y軸的一條直線,而該直線的位置由x決定。我們根據該直線和Ω相交的不同情況對x分情況進行討論。如果直線和Ω不相交,則積分為零;如果直線和Ω相交,則積分限就是該直線落在Ω內的線段對應的縱坐標的變化區間。
對式(2)中的積分,可做類似分析。
步驟3:合并各種情況下的積分值,寫出函數的表達式。
下面我們通過兩個例子來說明上面各個步驟的具體實施方法:
例1,已知二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為f(x,
y)= ,求(X,Y)關于X和Y的兩個邊
緣密度函數fX(x)和fY(y)。
解:
步驟1:f(x,y)不為零的區域Ω如圖1所示。
步驟2:分情況確定積分限,并計算積分的值。
(1)當x1時,平行于y軸的直線和Ω不會相交,所以
=0
(2)當0≤x≤1時,平行于y軸的直線和Ω相交情況見圖2:
從圖中我們可以看出,該直線落在Ω內的部分的縱坐標的變化范圍是從x2到1,所以:
步驟3:合并各種情況下的積分值,寫出函數的表達式。
綜合上述討論,故:
同理可得
下面我們再看一個較復雜的例子。
例2,已知二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為:
求(X,Y)關于X和Y的兩個邊緣密度函數fX(x)和fY(y)。
解:先計算fX(x)。
步驟1:f(x,y)不為零的區域有兩部分,分別記為Ω1和Ω2,如圖3所示:
步驟2:分情況確定積分限,并計算積分的值。
(1)當x2時,平行于y軸的直線和Ω1及Ω2都不會相交,所以:
=0
(2)當0≤x≤1時,平行于y軸的直線和Ω1相交,情況見圖4:
從圖中我們可以看出,該直線落在Ω內的部分的縱坐標的變化范圍是從0到x,所以:
(3)當1≤x≤2時,平行于y軸的直線和Ω2相交,情況見圖5。
從圖中我們可以看出,該直線落在Ω內的部分的縱坐標的變化范圍是從0到2-x,所以:
步驟3:合并各種情況下的積分值,寫出函數的表達式。
綜合上述討論,故:
再計算fY(y)。
步驟1:同上。
步驟2:分情況確定積分限,并計算積分的值。
(1)當y1時,平行于x軸的直線和Ω1及Ω2都不會相交,所以:
=0
(2)當0≤y≤1時,平行于x軸的直線和Ω1及Ω2都相交,情況見圖6。
從圖中我們可以看出,該直線落在Ω1內的部分的縱坐標的變化范圍是從y到1,落在Ω2內的部分的縱坐標的變化范圍是從1到2-y,所以:
步驟3:合并各種情況下的積分值,寫出函數的表達式。
綜合上述討論,故:
