時間：2023-03-30 11:38:51
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1.從函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個點，要求學生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進行求插值函數的操作
觀察利用兩個插值原理求出來的插值函數有何異同。2.從多項式y=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個點，要求學生利用拉格朗日插值方法進行插值操作，觀察獲得的插值函數和原函數有何異同。3.提示學生對函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節點個數增加到11個，將插值效果進行比較。4.在上例的基礎上，讓學生通過畫圖比較函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點拉格朗日插值和11點拉格朗日插值效果。提示學生可以進一步增加節點個數，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進行11點插值，與11點拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節點，提示學生利用[-1，1]上的切比雪夫多項式的零點（切比雪夫點）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個函數進行拉格朗日插值，與等距節點的插值效果進行比較。我們希望學生做完以上案例后不但能順利完成結果的獲得，而且還能利用課堂學到的理論知識分析得到的結果，這些結果都是課堂上講解的理論知識的數值例子，能做出來，會分析，這是對學生的鍛煉，也能提高學生的動手能力和學習積極性。以下我們對以上案例進行分析。1.通過案例1，學生得到結果后能了解到，在相同的節點條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個結果是學生自己完成實驗后得到的，與課堂理論分析結合，學生更能理解兩種插值的相同之處。而通過編寫兩個插值方法的MATLAB程序，學生既可以學習編程，還可以掌握兩者達到同一目的的不同之處。
2.通過上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結果
一樣的結論，所以對四次多項式y=x4+x3+x2+x+1進行5點插值只需利用拉格朗日插值即可。學生可通過得到的結果和圖形知道，其實得到的插值多項式就是原來的四次多項式本身，原函數和插值多項式兩者的誤差為零。這個結論可以提示學生通過拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復習和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過案例1得到的插值多項式的圖形對比原函數圖形
一般來說函數的5點插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學生通過實驗觀察提高節點個數對插值的逼近效果的影響。所以設計了一個對比實驗讓學生對兩個函數進行高次插值。通過實驗結果的觀察可知，對于函數y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點的插值逼近效果在整個區間上都比5點插值效果好，幾乎和原函數重合了提高插值次數達到了良好的效果。而對于龍格函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現了龍格現象，即區間中間部分逼近效果非常好，而區間兩邊出現非常大的震蕩。通過這兩個案例的比較分析，讓學生自己總結出光靠增加節點個數提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現象是插值理論的重要知識點，在課堂教學中學生對該現象只停留在理論上，通過該實驗案例的分析，學生在自己做出龍格現象圖形的時候，能加深對龍格現象和拉格朗日插值的缺點的理解。而對于學生普遍會存在疑問，龍格現象只是龍格函數的特有現象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會出現龍格現象嗎？可提示學生繼續對沒有出現龍格現象的函數增加插值節點，觀察龍格現象是否是所有函數的共有特點，并且這可以留作實驗作業讓學生課后自己完成。
4.此案例提供一個提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節點個數的情況下，保持插值次數不增加，從而保證的插值效果。學生通過此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數值積分中的復化積分公式的時候，進行比較講解。5.通過切比雪夫點的插值案例，提示學生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過改變節點的選取，把原來的等距節點變為區間上正交多項式的零點，可以在增加節點個數，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應提高而不會出現龍格現象。這個案例可以和以后數值積分中的高斯求積公式配合，讓學生了解正交多項式的零點在函數逼近方面的重要應用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點插值后，可以預留作業，讓學生在其他區間上尋找正交多項式零點進行拉格朗日插值，讓學生對正交多項式理論加深印象，為以后數值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
1、教材的地位和作用：
函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿在中學數學的始終，概念是數學的基礎，概念性強是函數理論的一個顯著特點，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數概念理解的程度會直接影響數學其它知識的學習，所以函數的第一課時非常的重要。
2、教學目標及確立的依據：
教學目標：
（1）教學知識目標：了解對應和映射概念、理解函數的近代定義、函數三要素，以及對函數抽象符號的理解。
（2）能力訓練目標：通過教學培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力。
（3）德育滲透目標：使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系和相互制約的辯證唯物主義觀點。
教學目標確立的依據：
函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿整個中學數學，如：數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等都是以函數為中心的代數。加強函數教學可幫助學生學好其他的數學內容。而掌握好函數的概念是學好函數的基石。
3、教學重點難點及確立的依據：
教學重點：映射的概念，函數的近代概念、函數的三要素及函數符號的理解。
教學難點：映射的概念，函數近代概念，及函數符號的理解。
重點難點確立的依據：
映射的概念和函數的近代定義抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高擋題出現，所以近年來高考有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點難點必然落在映射的概念和函數的近代定義及函數符號的理解與運用上。
二、教材的處理：
將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。函數的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發調動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數的概念有很準確的認識。
三、教學方法和學法
教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。
依據是：因為以新的觀點認識函數概念及函數符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。學法：四、教學程序
一、課程導入
通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應法則可以將兩個非空集合聯系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應法則是否能將這兩個集合的某些元素聯系在一起？
二.新課講授：
（1）接著再通過幻燈片給出六組學生熟悉的數集的對應關系引導學生總結歸納它們的共同性質（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：AB，及原像和像的定義。強調指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對應法則f。進一步引導學生總結判斷一個從A到B的對應是否為映射的關鍵是看A中的任意一個元素通過對應法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對應。
（2）鞏固練習課本52頁第八題。
此練習能讓學生更深刻的認識到映射可以“一對多，多對一”但不能是“一對多”。
例1.給出學生初中學過的函數的傳統定義和幾個簡單的一次、二次函數，通過畫圖表示這些函數的對應關系，引導學生發現它們是特殊的映射進而給出函數的近代定義（設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，使得A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應則這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對應法則f），并說明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數值，函數值的集合{f（x）：x∈A}叫做函數的值域。
并把函數的近代定義與映射定義比較使學生認識到函數與映射的區別與聯系。（函數是非空數集到非空數集的映射）。
再以讓學生判斷的方式給出以下關于函數近代定義的注意事項：
2.函數是非空數集到非空數集的映射。
3.f表示對應關系，在不同的函數中f的具體含義不一樣。
4.f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經過f作用后的結果。
5.集合A中的數的任意性，集合B中數的唯一性。
6.“f：AB”表示一個函數有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優先），值域C（上函數值的集合且C∈B）。
三.講解例題
例1.問y=1（x∈A）是不是函數？
解：y=1可以化為y=0*X+1
畫圖可以知道從x的取值范圍到y的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數集到非空數集的映射，所以它是函數。
[注]：引導學生從集合，映射的觀點認識函數的定義。四.課時小結：
1.映射的定義。
2.函數的近代定義。
3.函數的三要素及符號的正確理解和應用。
4.函數近代定義的五大注意點。
2三角函數概念的歷史及其重構
三角函數概念的發展前后經歷了4000多年，從早期在天文學中應用的三角學知識可以追溯至古巴比倫年代或者更早．古埃及人由于尼羅河不定期的泛濫而遭受打擊，因此他們注意觀察尼羅河泛濫的規律以及時間．后來人們注意到每逢天狼星于黃昏之后升起的日子尼羅河就會泛濫．于是人們就開始記錄天狼星與太陽的位置，人們為了解決實際問題引入了角等概念．但是這并不是嚴格意義上的三角學，只能算是三角學的前身，是一種對天文觀測結果進行推算的方法．三角學最早的創建者是希臘數學家Hipparchus(約公元前180～公元前127)被稱為三角學之父．為了定量地解決天體的位置問題，他將球面三角方法引用于此，并且制作了弦表．弦表是在固定的圓內不同圓心角所應的弦長，此時的正弦指的是圓弧所對弦的弦長相當于現在圓心角一半的正弦線的2倍．后來Ptolemy(約公元100～178)在此基礎上又豐富了弦表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是當圓的半徑為60時弦的長度，而不是一個比值．而印度數學家Aryabhata與希臘人的做法不同，他默認曲線和直線可以用同一單位，此時他計算的弦是圓弧所對弦的半弦長，相當于現在所指的正弦．其后Regiomontanus(1436～1476)在他的著作《論各種三角形》中首次對三角學做了完整、獨立的闡述，使三角學正式從天文學中獨立出來．在書中采用了印度人的正弦，即圓弧的半弦，明確使用了正弦函數這一概念．討論了一半三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長的代數解法，給出了球面三角形的正弦定理和關于邊的余弦定理．后來哥白尼的學生、印度數學家Rheticus(1514～1576)最先給出角的正弦概念，把原來說弧的正弦改成了說銳角的正弦．三角形就形成了三角關系的基本結構，相應的圓成了從屬．他把正弦、余弦、正切等定義成直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學從球面三角學中獨立出來，至此三角學真正形成了．總之16世紀，三角學從天文學中分離出來，成為數學的一個獨立分支，值得注意的是，這時所討論的“三角函數”僅限于銳角三角函數，而且研究銳角三角函數的目的在于解三角形和三角計算［5］．一直到17世紀，三角仍然是常量數學的主要內容，直到1729年Euler研究插值的方法時用三角級數表示了函數，函數的思想成了三角學的組成部分，變量數學占據了核心地位．隨著解析幾何和微積分的建立，三角函數的嚴格解析理論建立了，正弦不再是線段，而是變成了數值，是單位圓上點的縱坐標，而三角級數在實變函數的基礎上又形成了另一門重要的數學分支—調和分析．根據上面的歷史發展順序，三角函數概念(以正弦為例)的發展歷史大致可以分為正弦是圓弧所對的弦的弦長，正弦是圓弧所對的弦的半弦長，正弦是比值，正弦是單位圓上點的縱坐標［6］．概括的說就是經歷了幾何的三角學，代數的三角學，解析的三角學．學生在初中學習的銳角三角函數的內容，相當于代數的三角學，是用來解決三角形三邊關系的主要工具．而后來當用解析的眼光來看待三角學的時候，三角函數是用來刻畫函數性質的工具而不再拘泥于解決三角形邊角關系的問題，而任意角的三角函數的研究與圓周運動密不可分．所以銳角三角函數是研究三角形各種幾何量之間關系而發展起來的，任意角三角函數是研究現實中的周期現象而發展起來的，他們研究的現象不同，表現的性質也不同，我們既不能把任意角的三角函數看成是銳角三角函數的推廣(或一般化)，又不能把銳角三角函數看成是任意角三角函數在銳角范圍內的“限定”．學生在高中學習的任意角三角函數的內容應該是以函數的眼光來對待，認真體會其作為函數的一些性質，尤其是周期性．因為三角函數是刻畫現實事物周期性很好的一個模型．教材(人教A版)只是在第一節內容上安排了任意角與弧度制的內容，接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數，教師的普遍作法也是回顧初中銳角三角函數的定義，然后讓學生考慮如何將銳角三角函數推廣的任意角三角函數．這種講法無疑就把學生陷入一個誤區，即任意角三角函數是銳角三角函數的推廣，自然有很多同學認為任意角三角函數仍然是研究三角形三邊關系的工具只是不再局限于銳角三角形，也有很多同學排斥單位圓的定義，覺得不如初中給的“比值法”好，不直觀難用來計算．盡管這樣的處理方式很直截了當，但對照發生教學法我們發現這種做法存在以下不足:(1)沒有講明高中學習的三角函數與初中學習的銳角三角函數研究的內容和方法都不同，容易造成學生的概念混淆．(2)沒有很好的利用單位圓，單位圓是函數周期性的一個很好的體現，在三角函數的后續學習中有很大的作用．但學生在教師的實際教學中體會的很少．基于發生教學法，考慮學生在了解三角函數發展歷史之后，就不會陷入銳角三角函數同任意角三角函數概念混淆的誤區，能更好的認識單位圓在研究三角函數中的重要作用，體會其作為一個周期函數的性質等等，因此對三角函數的概念的歷史進行重構以便于教學．
3任意角三角函數概念的教學設計
基于三角函數概念(以正弦為例)的發展歷史，講其進行重構并應于實際教學．如圖1:
3.1學情分析
學生在前面一節已經學習了弧度制，從弧度制一課來講數學史的引入就很有必要，很多學者在前面的研究中已經給出了很多寶貴的建議［7-9］．在前一節的很好的鋪墊下，學生已經體會到引入弧度制的必要性，這也為本節學習單位圓打下了良好的基礎．學生在初中已經學過銳角三角函數的定義，對三角函數(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且學生通過弧度制的歷史回顧，已經了解了銳角三角函數在解三角形中的作用．因此我建議對于銳角三角函數的概念的回顧可以放在弧度制一課對弧度制的歷史回顧之中完成，因為在弧度制最早的也是為了解決三角形邊角關系的情況下產生的．是區別于角度制的另外一種度量方式．而在本節課任意角的三角函數中，先不要提及銳角三角函數的定義方式，以免學生發生概念的混淆．等到學生熟練掌握了任意角三角函數的概念以后，再把初高中學習的內容進行對比，這樣即可以幫助學生建構知識體系，也能讓學生更好的體會任意角三角函數作為函數的性質．
3.2教學情景設計
高中生具有豐富的生活經驗和聯想，因此從現實生活入手更能激發學生的學習興趣．如觀察:鐘表指針的旋轉、自行車輪子的旋轉、摩天輪、跳水運動員優美的動作，這些周期現象中都存在著超過180°的角，而且形成的圖形都與圓有關，那么我們如何研究這種周期現象呢?任意角的三角函數是我們的好幫手，回顧歷史我們可知，正弦和余弦是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數，是圓對稱性的直接反映［10］．因此三角函數也叫圓函數，我們今天學習的內容與初中學習的銳角三角函數存在很大的差別．就此借助單位圓引入任意角三角函數的概念．3.2.1任意角三角函數概念的教學片段問題一:如何借助圓來研究三角函數?回顧歷史上數學家的做法，三角學最早起源于天文學，而三角函數是用于研究圓內接圖形(主要是三角形)的工具，隨著后來的發展是用于研究確定行星位置的工具．那么如何借助于圓來研究三角函數的內容呢?通過觀察幾組圖片，鐘表兩個指針的運動軌跡、自行車輪子旋轉等圖片，激發學生的興趣．顯然我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到角的頂點的距離為1(方便定義三角函數)，隨著角度的任意擴大，以這個點旋轉一周的軌跡—圓，來幫助我們學習三角函數．雖然在此處沒有提到，這是數學家歐拉的做法，將單位圓的半徑定位1，大大方便了我們研究三角函數的過程．我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓．問題二:如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義?如圖2，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)，記做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，記做cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，記做tanα，即tanα=yx(x≠0)．問題三:任一點P的選擇，對于任意角三角函數的值有沒有影響?回顧最初引入單位圓的過程，學生借助于相似三角形的知識可以得到點P的選擇對于任意角三角函數的值沒有影響．問題四:任意角的三角函數符號的確定與點p(x，y)的坐標有什么關系?引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r＞0，三角函數值的符號決定于橫坐標、縱坐標的正負．問題五:如何借助單位圓研究三角函數的周期性?我們觀察圖形發現，角度每變化360°的整數倍的時候，角的終邊又回到了同一位置，因此終邊相同的同名三角函數值應該相等．這樣一來可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0到2π(0°～360°)角的三角函數值，簡化我們的計算．課后思考:觀察單位圓，我們可以得到同角三角函數之間存在著哪些關系呢?為一下節課研究同角三角函數的關系做好鋪墊.
4課堂實施與問卷調查
按照HPM視角下的教學設計，研究者在2013年于北京市某重點高中實習期間做了充分的調查研究，并進行了課堂教學的實踐．該校在高中一年級學習完必修一之后接著學習必修四的內容，可以說為任意角三角函數內容的學習做了良好的鋪墊．該校文理科班級比例為1:3，考慮到文科班的同學對于歷史更感興趣效果應該優于理科班，所以選擇2個理科班，1個文科班來進行教學．但是結果卻出乎意料，理科生對本節課表示出了濃厚的興趣，甚至熱情高于文科班．以下是對某個理科班同學的課后訪談片段:T(教師):對今天這節課的感覺如何?S(學生):挺好的，感覺比以往新穎，似乎更有興趣了．T:你理解今天所講的任意角三角函數與初中學習的銳角三角函數的差別了嗎?S:理解了，初中學習內容是研究三角形邊角關系的，現在學習的是具有函數性質的．不是同一個內容．S:那你理解在這里引入單位圓的作用了嗎?T:差不多吧，圓具有周期性、對稱性，用來研究三角函數很好．最后老師又問了一個問題，感覺還有內容要學習．T:那今后采用這種方式上課怎么樣?S:好啊，不容易溜號了．圖3是對全體授課班級同學學習情況的統計，我們可以看到本節課的教學效果還是顯著的．三角函數歷史悠久，有幾何的、代數的、解析的視角，現在向量也進入教材，三角函數和向量、復數之間的關系也應引起教師重視，教師把對三角函數概念的理解局限于一節課、一章里是不對的，學生對一個概念的理解不是一蹴而就的，需要一個循序漸進的過程．作為教師更要有全局觀念，在教三角這一章時要用三角的眼光看待后續內容，適當的選擇教學方式方法［11］．因此建議教師在教授任意角三角函數概念的時候，不要把對學生理解此概念的任務放在這一節里，而是在整個單元的教學中都要反復的重視學生對任意角三角函數概念的理解情況．從本課的課堂反饋和效果調查來看，基于HPM視角下的教學設計對于學生深刻理解數學概念有一定的促進作用．
二對學生記錄課堂筆記的指導
在多媒體課上，多數同學一節課下來只字未記。一方面學生由于很好奇，忙于欣賞多媒體畫面去了，加之與課件制作上屏幕切換太快有關，往往是想記又記不下來。這要求授課教師對重要的內容、反復強調的知識點，不要一閃而過，要留一點時間給學生做筆記，同時應該提醒學生多留意記錄。
心理學家佩維奧于1969年提出了雙重編碼理論，認為人腦中存在兩個功能獨立卻又相互聯系的加工系統:一個是以語言為基礎的加工系統，另一個是以意象為基礎的加工系統。意象系統專門表征和加工非語言的物體和事件，它由相互具有聯想關系的意象表征組成;而言語系統表征和加工言語信息，由相互聯系的言語表征組成。雙重編碼理論的重要原則是:可通過同時用視覺和語言的形式呈現信息來增強信息的回憶與識別。語言的本質是一套音、義結合的系統，是通過發聲和聽覺來傳遞信息的。記錄這一音、義結合系統的文字使語言能夠通過視覺符號來傳遞信息。拼音文字能夠比較真實地還原所記錄語言的聲音，雖然是視覺符號，但實際上仍然是一種變化的聲音符號，本質上仍然是聽覺的符號。漢字的字形幾乎是直接和字義發生聯系的，本身就能成為一套系統，由于不直接和字音發生聯系，使得這套獨特的漢字符號系統成為了名副其實的視覺符號系統。這套視覺符號系統與音、義結合的聽覺系統連接，就形成了獨特的漢字系統。漢字的這兩套系統準確地契合了佩維奧的雙重編碼理論，如果在漢字學習的過程中突出視覺的、表象的因素，加上適合的言語的表征，即在漢字學習的過程中結合圖、文、聲并茂的多媒體技術，就能更好地促進對漢字的學習和記憶。
(二)認知負荷理論的要求
Sweller等人提出的認知負荷理論認為人的工作記憶容量是有限的，當某種知識(或圖式)含有多種相互作用的元素時，這些知識將加重認知負荷，此時就需要通過外部認知或者關聯認知來促進知識的學習。漢字能力包含了形、音、義三個方面，且漢字字形包含了諸如筆畫、筆順、結構等內部因素，這三個因素內部又包括諸如相交、相離及上下、左右等關系。這些因素使得漢字的認知過程占用了較多的工作記憶容量，此時就必須調整漢字的呈現方式以促進漢字的學習。根據認知負荷理論，漢字的學習可以通過使用多媒介(多感覺通路)呈現形式等多種方法來設法規避工作記憶的有限性，而圖、文、聲并茂的多媒體技術恰是一種能夠調動多感覺通路的最恰當的方法。
二、對外漢字教學中多媒體的具體應用
漢字教學的主要任務是要讓學生建立形、音、義之間的聯系，即知道某個漢字是什么意思(建立形、義之間的聯系)、怎么讀(建立形、音之間的聯系)、怎么寫(記住字形)。根據上述雙重編碼理論，漢字實質上是視覺符號和言語符號的統一;又由于漢字本身的內部認知因素太多，就必須調動其他的外部因素等來促進漢字教學，多媒體恰好能很好地解決這些問題。
(一)多媒體展示
漢字的方法展示是漢字教學的第一步，是建立漢字形、音、義聯系的開始。展示漢字時，不僅要呈現字形、字音，還要呈現字義，充分調動視覺和聽覺這兩個通道來加強記憶。在展示階段應以靜態展示為主，盡量在一個版面內展示漢字的字形和聲音，結合實物提示字義。因為在用多媒體展示時，空間和時間接近，調用雙通道能夠促進記憶。作為智力技能學習的第一步，展示的作用在于讓學習者辨別漢字的內部構造，形成一些初步的概念。而其作為動作技能的開始，同樣是認知漢字的字形。例如:展示“花”時要同時出現字形、圖像、拼音，還要加上讀音。展示字形可采用靜態分解，例如將“花”字拆分成“艸”和“化”進行展示。
(二)多媒體輔助漢字教學的方法
漢字的教學包括字音的教學、字義的教學和字形的教學。一般的漢字或者入門階段的漢字讀音可以采用直接領讀、展示拼音的方式讓學生認讀。對于形聲字，可以借助聲符的幫助，讓學生掌握字音。例如:一般情況下，在初級階段就會學“從”字，之后才會接觸到“叢”字，因此，在字音的教學中就可以將“從”顯示為不同的顏色以提示字音。此外，還可以通過已學漢字中的聲符來幫助記憶新字的音，例如:“花”字學習得比較早，而“化”或“華”稍后才接觸，學習時可將“花”字同時顯現并將“化”變換顏色以提示字音。這樣，新字字音不僅是聲音的單一通道，而且有了用于提示聲音的舊字的視覺符號的刺激，兩種編碼同時發揮作用。字義教學的情況比較復雜，可以通過多媒體展示實物圖片、動畫等方式進行，因為漢字本身是表意的文字，可以通過還原漢字造字時的理據、漢字演變等方式予以呈現。利用多媒體技術再現古人造字時的原生語境(原始情境)，從追溯漢字字源入手，對漢字進行有針對性的分析，揭示其形體結構的內在機理，建立形、音、義的有機聯系，從而完成漢字的識記。例如:“羊”的字義教學就可以采用原生語境再現的方式，用圖片分別展示“羊”從甲骨文、金文、小篆到楷體的字體演變過程，聯系羊的形象進行教學。字形教學是漢字教學最大的難點，漢語難學通常指的是漢字字形的難認、難記、難寫。通過多媒體來講解漢字是突破難點的一條便捷的道路。講解漢字是對作為智力技能的漢字能力進行辦事規則的講述以及作為動作技能的漢字技能進行動作的分解。對漢字字形能力的掌握不是從筆畫到部件、到漢字的建構過程，而是一個從整字到部件、到筆畫的分解過程。通過多媒體技術顯示拆分的部件，能夠初步建立部件聯結的意識。例如:對于“美”字的字形教學，可將“美”先拆分成“羊”和“大”，“大”再拆分成“一”和“人”。對于一些形聲字最好依據聲旁和形旁的類別進行拆分，這樣能起到提示意義類屬和聲音的作用，而且還能了解其結構，例如:“花”字拆分成形旁“艸”字和聲旁“化”，引導學生認識部件之間的聯系，建立漢字的結構意識。這種逐步分解的方式是為了讓學生了解漢字書寫這種動作技能的基本規則，建立起各部分之間的聯結，為見字自動拆分打下基礎。獨體字，特別是常用獨體字是對外漢語教學初期建立字感的重點。因為留學生對漢字的字形缺乏感性認識，沒有筆畫概念，分不清字與字之間的細微差別。結構簡單、筆畫數少、意義清晰的獨體字恰能擔當這個重任。多媒體圖示法能夠很好地展示筆畫、意義，例如:在展示“口”字時，可同時顯示“口”的圖片，同時展示“口”字的筆畫順序。不少初級階段的學生將“口”寫成一個不規則的“”，原因就是沒有筆畫意識。通過上述筆畫的拆分，學生就能初步了解漢字的筆畫。筆順一直是對外漢字教學的難點。筆順是關系到漢字正確書寫、美觀的重要因素，也是建立漢字能力的基礎。傳統的黑板板書筆順主要靠兩種方法，一種是按照筆順在不同位置線性地分別疊加筆畫，最后形成漢字，是一種分步驟展示;還有一種是在同一位置分步書寫漢字，最后形成一個漢字。前一種方法可以清晰地顯示筆順，但難以樹立漢字結構意識;后一種方法便于建立結構意識，但難以顯示筆順。動畫技術出現以后，漢字的筆順就能在同一位置上分步呈現，不僅能暫停，讓學習者仔細思考，還可以反復地觀看。
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）25-061-01
在漢語教學中，人們對語言教學教什么，實施何種教學法，語言教學中要不要進行文化教學存在一些分歧。這主要表現在三點上，一是認為漢語教學主要目的應是語言本體知識的教學（語音的準確性、詞匯的擴充、語法與句型知識等），相應采用結構主義教學法；另一點是認為語言的本質在于它的工具性，因此，語言教學應以培養學生的交際能力及語用能力為根本，并應采用交際主義教學法。本文將結合對這二個問題的討論，探討語言教學中，處理好文化與語言關系的必要性和可能性，并相應提出一些建議。
一、交際能力、語言本體知識及和文化教學
語言學、語言教學理論的不斷發展使人們對語言的本質不斷加深認識，提出語言是交際性工具這一功能性觀點，語言教學目的、目標也隨之不斷修正。并明確了語言運用能力包括的內容，即聽、說、讀、寫四個方面，細化了語言運用能力的指標。那么交際能力包括哪些因素，它與語言知識是什么關系，它與文化教學又是什么關系呢？
比較一致的看法認為：“交際能力應包括下列五方面的內容：1、語言，指掌握語法知識；2、功能，指運用聽、說、讀、寫四方面的能力；3、語境，選擇與所處語境相適宜的話語；4、交際者之間的關系，根據對方的身份、地位、社會場合，說出合乎自己身份的話語；5、社會文化知識，語言首先是一種“社會實踐”。其中，后三個方面綜合起來就是一點――語言得體性。交際能力的培養也就是使學習者在交流中，根據話題、語境、文化背景講出得體、恰當的話。兒童在習得一種民族語言的同時，也在習得該民族的文化。所以，語言和語言的應用不可能脫離文化而單獨存在。對少數民族漢語教學不僅要學習語言本體知識并進行“四會”技能訓練，更應該把這種學習與訓練放到文化教學的大背景中進行，最終使學生具有語用能力。
只強調語言形式和內部結構的結構主義教學，割裂了語言形式與語言意義及功能的聯系。用這種教法教出的學生可能很會做專測語法形式、結構的試題，但必然缺乏運用語言進行交際的能力（包括讀、寫的能力），出現交際失誤，最終也就達不到學習和掌握并運用漢語進行交際的目的。
二、交際法教法中文化教學的體現
廣義上講，文化教學存在于語言教學的每個階段，甚至每個單元。語言教學既然最終以語用為目的，就必然涉及語言文化的教學。真正使學生感到困難的不是如何發準音或拼寫正確，而是在實際交際中如何恰當運用語言。教師在教學中只要自始至終注意結合語用、文化因素，把語言形式放到社會語用功能的背景下進行教學，就能使語言知識“活”起來，使學生逐步提高語用能力。這樣講，并不是要求教師在講每一個語言項目時都把與之相關的語用功能介紹全、練習夠，這是不現實的，也違反認知規律。目前我區對少數民族的漢語教學的弊病之一就是講者不厭其煩，力求一次講全、講透。在介紹一個新語言項目時，往往以點帶面，全面開花，字典搬家。學生則忙于記筆記。應試教育和結構主義理論的影響更起了負面推動作用。交際法教學注重語言功能訓練。具體語言形式的功能要隨語境而變化，使用中相關社會因素較多，只有逐步介紹、訓練，循環往復，學生才能體會到不同語境中語義的差異并逐步掌握，進而形成語言能力。目前，在教材編寫中，教學內容循環出現的方式與原則也應體現在漢語教學中。
三、交際法教法中文化教學的實現的方法和原則
語言教學中的文化教學不是深不可測的難點。日?？谡Z交際中就存在著文化因素，各類教材也提供了大量真實的語言素材，教師可以充分加以利用和發掘。我們提倡我區從事漢語教學的各族教師不斷加強對漢語語言與文化知識的了解和掌握，提高自身語言交際能力，進而使教師在教學中注重文化因素的教學。文化因素存在于最簡單的交際活動中，文化教學也應存在于最基本的日常教學中。教師在教學生如何向別人問候時，即使只介紹了一種形式的實際用法，只要從語用角度講是正確的，他就傳授了語用原則與文化知識；學生如果通過訓練掌握了這一形式的運用，教師也就是在幫助學生逐步發展文化語用能力。盡管這種學習可能是零散、不系統的，學生卻是在沿著正確的語言學習道路前進。教師自己不應該也不應要求學生學習好了語言形式再去實踐，或者掌握了語用知識再去實踐，而應在實踐中學習、發展語用能力。交際能力的培養只能在交際中實現。
如何進行交際能力訓練？方法可以多樣。交際教學并不否認語言基礎知識、技能的訓練，并把它看成是語用能力發展的必要組成部分。交際法與結構主義教學法的區別主要在于學習目標的不同?？唆斈分赋觯骸俺晒Φ耐庹Z課堂教學應在課內創造更多的情景，讓學生有機會運用自己學到的語言材料?！彼岢隽苏n內開展交際活動的幾個環節：“假設交際”，指在課內圍繞教學內容展開的各種操練，包括機械操練和教師講解等；“教學交際”，指課堂內進行的再表達練習，學生掌握語言知識后，根據教師提供的語境開展模仿性對話或書面練習；“針對際”，指學生根據情景和語用考慮，作出反應；“談論性真實交際”，指學生不受限制地自由交談，語言具有真實性和社會性，言語符合語用及文化規范。
綜上簡述，教師只要確立語用學觀點，在對少數民族漢語教學中采用交際法教學并在漢文化的大背景下引導學生利用語言材料進行各種旨在提高語用能力的訓練和交際，是能實現漢語教學的最終目的的。
參考文獻：
1.通用技術課程特點、構成、教學目的、教學成果評估。
2.通用技術教室設計及設備配置、選型、方案研究。
3.通用技術教學點分析及不同類型課程內容的教學設計。
4.教學任務及教學效果評估標準研究。
5.通用技術教學與實驗教學的比較分析,通用技術教學與一般學科課程的異同。
6.信息化在通用技術教學中的輔助作用。
7.通用技術教師的學科素養、專業特點、培訓提高。
8.通用技術教學相關問題研究。
9.通用技術教室設備配置標準相關問題研究。
二、征文內容和格式要求
1.論文內容要貼近實踐,貼近一線教學與應用,要有一定的理論研究深度,具有指導性和借鑒意義。作者可以在選題框架下自行分解出具體題目,從多側面、多視角,深入具體地闡述和表述。
2.注重理論與實踐相結合。
3.論文、教學設計、教學案例均可。
4.征文標題要求準確得體,簡短精煉。征文要求按照論文體例撰寫,超過3 000字的需有中、英文摘要和關鍵詞。
5.務求論點明確,論據可靠,數據準確,文字精練。
6.參選論文應具原創性,不得侵犯他人知識產權。
7.文稿一般不得超過5 000字,文稿應附全部作者的單位、電子郵箱、郵政編碼、具體地址。
四、組織評選辦法
1.提交的論文或教學設計經專家評審,評出優秀作品。
2.組織研討會進行學術交流,優秀論文或教學設計將由中國教學儀器設備行業協會和《中國教育技術裝備》雜志社頒發《年度優秀通用技術教學設計》、《年度優秀通用技術教學論文》證書。
3.優秀教學論文或設計將在《中國教育技術裝備》雜志上陸續刊登。
五、投稿方式
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2.咨詢電話:010-62115171 62112663
3.聯系人:楊洋 李麗
中職數學教學論文題目1、線性方程的疊加原理及其應用
2、作為函數的含參積分的分析性質研究
3、周期函數初等復合的周期性研究
4、“高等代數”知識在幾何中的應用
5、矩陣初等變換的應用
6、“高等代數”中的思想方法
7、中職數學教學中的數學思想和方法
8、任N個自然數的N級排列的逆序數
9、“高等代數”中多項式的值，根概念及性質的推廣
10、線性變換“可對角化”的條件及“對角化”方法
11、數域概念的等價說法及其應用
12、中職數學教學與能力培養
13、數學能力培養的重要性及途徑
14、論數學中的基本定理與基本方法
15、論電腦、人腦與數學
16、論數學中的收斂與發散
17、論小概率事件的發生
18、論高等數學與初等數學教學的關系
19、論數學教學中公式的教學
20、數學教學中學生應用能力的培養
21、數學教與學的心理探究
22、論數學思想方法的教與學
23、論數學家與數學
24、對稱思想在解題中的應用
25、復數在中學數學中應用
26、復變函數論思想方法在中學數學教學中的應用
27、復變函數論思想方法在中學數學競賽中的應用
28、代數學基本定理的幾種證明
29、復變函數的洛必達法則
30、復函數與實函數的級數理論綜述
31、微積分學與哲學
32、實數完備性理論綜述
33、微積分學中輔助函數的構造
34、閉區間上連續函數性質的推廣
35、培養學生的數學創新能力
36、教師對學生互動性學習的影響
37、學生數學應用意識的培養
38、數學解題中的逆向思維的應用
39、數學直覺思維的培養
40、數學教學中對學生心理素質的培養
41、用心理學理論指導數學教學
42、開展數學活動課的理論和實踐探索
43、《數學課程標準》解讀
44、數學思想在數學教學中的應用，學生思維品質的培養
45、數形結合思想在中學數學中的應用
46、運用化歸思想，探索解題途徑
47、談談構造法解題
48、高等數學在中學數學中的應用
49、解決問題的策略思想--等價與非等價轉化
50、挖掘題中的隱含條件解題
51、向量在幾何證題中的運用
52、數學概念教學初探
53、數學教育中的問題解決及其教學途徑
54、分類思想在數學教學中的作用
55、“聯想”在數學中的作用研究
56、利用習題變換，培養學生的思維能力
57、中學數學學習中“學習困難生”研究
58、數學概念教學研究
59、反例在數學教學中的作用研究
60、中學生數學問題解決能力培養研究
61、數學教育評價研究
62、傳統中學數學教學模式革新研究
63、數學研究性學習設計
64、數學開放題擬以及教學
65、數學課堂文化建設研究
66、中職數學教學設計及典型課例分析
67、數學課程標準的新增內容的嘗試教學研究
68、數學課堂教學安全采集與研究
69、中職數學選修課教學的實話及效果分析
70、常微分方程與初等數學
71、由遞推式求數列的通項及和向量代數在中學中的應用
72、淺談劃歸思想在數學中的應用
73、初等函數的極值
74、行列式的計算方法
75、數學竟賽中的不等式問題
76、直覺思維在中學數學中的應用
77、常微分方程各種解的定義，關系及判定方法
78、高等數學在中學數學中的應用
79、常微分方程的發展及應用
80、充分挖掘例題的數學價值和智力開發功能
小學數學教學論文題目參考1、小學數學教師幾何知識掌握狀況的調查研究
2、小學數學教師教材知識發展情況研究
3、中日小學數學“數與代數”領域比較研究
4、浙江省Y縣縣域內小學數學教學質量差異研究
5、小學數學教師教科書解讀的影響因素及調控策略研究
6、中國、新加坡小學數學新課程的比較研究
7、小學數學探究式教學的實踐研究
8、基于教育游戲的小學數學教學設計研究
9、小學數學教學中創設有效問題情境的策略研究
10、小學數學生活化教學的研究
11、數字故事在小學數學課堂教學中的應用研究
12、小學數學教師專業發展研究
13、中美小學數學“統計與概率”內容比較研究
14、數學文化在小學數學教學中的價值及其課程論分析
15、小學數學教師培訓內容有效性的研究
16、小學數學課堂師生對話的特征分析
17、小學數學優質課堂的特征分析
18、小學數學解決問題方法多樣化的研究
19、我國小學數學新教材中例題編寫特點研究
20、小學數學問題解決能力培養的研究
21、滲透數學思想方法
提高學生思維素質
22、引導學生參與教學過程
發揮學生的主體作用
23、優化數學課堂練習設計的探索與實踐
24、實施“開放性”教學促進學生主體參與
25、數學練習要有趣味性和開放性
26、開發生活資源，體現數學價值
27、對構建簡潔數學課堂的幾點認識和做法
28、芻議“怎樣簡便就怎樣算”中的“二指技能”現象
29、立足現實起點，提高課堂效率
30、寧缺毋濫--也談課堂教學中有效情境的創設
31、如何讓“生活味”的數學課堂多一點“數學味”
32、有效教學，讓數學課堂更精彩
33、提高數學課堂教學效率之我見
34、為學生營造一片探究學習的天地
35、和諧課堂，讓預設與生成共精彩
36、走近學生，恰當提問--談數學課堂提問語的優化策略
37、談小學數學課堂教學中教師對學生的評價
38、課堂有效提問的初步探究
39、淺談小學數學研究性學習的途徑
40、能說會道，為嚴謹課堂添彩
41、小學數學教學中的情感教育
42、小學數學學困生的轉化策略
43、新課標下提高日常數學課堂效率的探索
44、讓學生參與課堂教學
45、淺談新課程理念下如何優化數學課堂教學
46、數學與生活的和諧之美
47、運用結構觀點分析教學小學應用題
48、構建自主探究課堂，促進學生有效發展
49、精心設計課堂結尾 鞏固提高教學效果
50、淺談數學課堂提問藝術
51、淺談發式教學在小學數學教學中的運用
52、淺談數學課堂中學生問題意識的培養
53、巧用信息技術，優化數學課堂教學
54、新課改下小學復式教學有感
55、讓“對話”在數學課堂中煥發生命的精彩
56、小學幾何教學的幾點做法
初中數學教學論文題目1、翻轉課堂教學模式在初中數學教學中的應用研究
2、數形結合思想在初中數學教學中的實踐研究
3、基于翻轉課堂教學模式的初中數學教學設計研究
4、初中數學新教材知識結構研究
5、初中數學中的研究性學習案例開發實施研究
6、學案導學教學模式在初中數學教學中的實踐與研究
7、從兩種初中數學教材的比較看初中數學課程改革
8、信息技術與初中數學教學整合問題研究
9、初中數學學習困難學生學業情緒及其影響因素研究
10、初中數學習題教學研究
11、初中數學教材分析方法的研究
12、初中數學教師課堂教學目標設計的調查研究
13、初中數學學習障礙學生一元一次方程應用題解題過程及補救教學的個案研究
14、初中數學教師數學教學知識的發展研究
15、數學史融入初中數學教科書的現狀研究
16、初中數學教師課堂有效教學行為研究
17、數學史與初中數學教學整合的現狀研究
18、數學史融入初中數學教育的研究
19、初中數學教材中數學文化內容編排比較研究
20、滲透數學基本思想的初中數學課堂教學實踐研究
21、初中數學教師錯誤分析能力研究
22、初中數學優秀課教學設計研究
23、初中數學課堂教學有效性的研究
24、初中數學數形結合思想教學研究與案例分析
25、新課程下初中數學教科書的習題比較研究
26、中美初中數學教材難度的比較研究
27、數學史融入初中數學教育的實踐探索
28、初中數學課堂教學小組合作學習存在的問題及對策研究
29、初中數學教師數學觀現狀的調查研究
30、初中數學學困生的成因及對策研究
31、“幾何畫板”在初中數學教學中的應用研究
32、數學素養視角下的初中數學教科書評價
33、北師大版初中數學教材中數形結合思想研究
34、初中數學微課程的設計與應用研究
35、初中數學教學生成性資源利用研究
36、基于問題學習的初中數學情境教學模式探究
37、學案式教學在初中數學教學中的實驗研究
38、數學文化視野下的初中數學問題情境研究
39、中美初中數學教材中習題的對比研究
40、基于人教版初中數學教材中數學史專題的教學探索
41、初中數學教學應重視學生直覺思維能力的培養
42、七年級學生學習情況的調研
43、老師，這個答案為什么錯了?--由一堂沒有準備的探究課引發的思考
44、新課程背景下學生數學學習發展性評價的構建
45、初中數學學生學法輔導之探究
46、合理運用數學情境教學
47、讓學生在自信、興趣和成功的體驗中學習數學
48、創設有效問題情景，培養探究合作能力
49、重視數學教學中的生成展示過程，培養學生創新思維能力
50、從一道中考題的剖析談梯形中面積的求解方法
51、淺談課堂教學中的教學機智
52、從《確定位置》的教學談體驗教學
53、談主體性數學課堂交流活動實施策略
54、對數學例題教學的一些看法
55、新課程標準下數學教學新方式
56、舉反例的兩點技巧
57、數學課堂教學中分層教學的實踐與探索
58、新課程中數學情境創設的思考
1.積極做好課題準備工作
為了更好的開展研究活動，我們制定了課題研究計劃，并著手進行課題準備。事先我們召開了課題組主要成員會議，對各自的分工做了具體的布置，研討了課題實施方案。
2.扎實進行課題研究工作
在研究過程中我們重點加強了對以下內容的研究和探討：
七年級：（1）探索兩直線的位置關系。
（2）利用幾何畫板探究平面直角坐標系的有關知識及其應用。
（3）利用幾何畫板學習三角形有關概念，探究多邊形的內角和。
八年級：（1）利用幾何畫板的畫圖功能畫反比例函數的圖像。
（2）利用幾何畫板的動態功能探索反比例函數圖像的性質。
（3）利用幾何畫板學習三角形的重心。
（4）利用幾何畫板進行分式方程的應用-行程問題的教學。
九年級：（1）探索二次函數的性質。
1）畫二次函數y=ax2的圖像，通過系數a的變化總結二次函數圖像-拋物線開口大小的變化規律。
2） 利用幾何畫板的作圖功能及動態效果讓學生比較y=ax2與y=a（x- h）2及y=ax2與y=ax2+k的變化。學生通過觀察、比較，總結平面直角坐標系中平移規律。
3）探索二次函數與一元二次方程的關系。
（2）探究相似三角形和位似。
1）利用幾何畫板演示三角形中一條直線的平移的動態過程，歸納相似三角形的幾種基本圖形，進而總結相似三角形的推理方法。
2）利用幾何畫板研究幾何中的動點問題。
3）利用幾何畫板探索位似的性質。
3.取得的成績
通過一年來課題組全體成員的共同努力，我們取得了較好的效果。我們課題組成員積極進行研究，并把研究成果寫成論文。王時玲、和錫超、貫琦睜、潘洪慶的論文都在縣級論文評比中獲得了一等獎。信息技術與數學課有機、有效整合在學生信息素養、自主學習能力、與人合作能力、處理問題、解決問題等諸能力的培養方面發揮其不可比擬的優勢，其直接作用就是提高學生的學習能力，從而提高學生的學習效率。
4.反思與不足
隨著時代的發展，技術的進步，人們的生活方式、學習方式正發生著深刻變革，向著信息化和網絡化的趨勢邁進。信息時代數學教學具有兩重性，兼具抽象的邏輯思維與實驗數學的屬性。信息技術的應用為實驗數學開辟了廣闊的前景，促進了數學形態向學生可接受的教育形態發展。
《初中數學教學策略》中指出數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。數學教學應把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去。因此我們參與新課程下信息技術有效促進數學教學的研究。
信息技術與數學教學整合是培養具有創新精神和學習能力的有效方法，是提高教學效率的重要途徑。教師在教學中利用信息技術，提高學生與老師的合作、探究和反思能力，豐富了學生的想象力，激發了他們積極的思維。把信息技術從學習對象變為學習工具，不斷地進行反思，力求信息技術與學科教學整合的科學性、有效性。
由于我們南橋鎮地處蘇魯交界處，外出打工的很普遍，留守兒童多，留守兒童由于缺乏家庭教育，自治能力較差，管理起來十分困難，工作難度增大。這是課題研究過程中存在的一大不利因素。
5.今后的努力方向和打算
不難看出，這一嚴格定義涵蓋了參考文獻中極值點偏移的概念.但是，其屬性的詳盡研究已超出了初等數學范疇，為在現有的初等數學范圍中探討之，需要在數形結合的思想下使用簡化的概念.
因此，結合中學數學實際內容，本文定義如下極值點偏移的簡化概念，并在現有初等數學意義上做一些探析.
簡化定義設可導函數f（x）滿足f（a）=f（b），并在區間（a，b）內只有一個極小值點x0.若對于任意x∈（0，x0-a）∩（0，b-x0）即0
注1對于極大值點的偏移，只需考察負值函數的極小值點偏移.
注2按簡化定義，函數f（x）在極小值點x0鄰近的左邊值f（x0-x）大于或小于右邊值f（x0+x）時，x0左或右偏移，其數形結合的特點十分明顯.因此，考察f（x0-x）與f（x0+x）的大小或f（x0-x）-f（x0+x）的符號是十分自然的思路與方法.
文[1]將極值點發生偏移理解為函數在極值點左右增減速不同，導致函數失去對稱性.事實上，當左側的減速大于右側的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]>f（x0+x）-f（x0），即f（x0-x）>f（x0+x）.依上述定義，極小值點x0向左偏移.當左側的減速小于右側的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]
文[2]在數形結合的思想下，歸納出的結論正是本文的簡化定義，但并未將其歸結成初等數學范疇內極值點偏移現象的本質.
文[2]、[3]的結論中假定f（a）=f（b）=0是不適當的，因為許多函數圖像不與x軸相交，但仍有極值點偏移問題.
如在前述嚴格定義的基礎上，融合數形結合的思想，可得出如下初等數學范疇內的結論.
結論1設區間（-∞，+∞）內的可導函數f（x）滿足f（a）=f（b），并且只有一個極小值點x0.
（1）若f（a）
（2）若f（a）>f（2x0-b），則函數f（x）極值點x0右偏移.
證明由函數f（x）在區間（-∞，+∞）內只有一個極小值點x0可知，f（x）的單調遞減區間為（-∞，x0），單調遞增區間為（x0，+∞）.
由此可判定，極值點x0分別左偏移或右偏移.
注3結論1、2在一定意義上刻畫了極值點偏移的本質.
值得一提的是，初等數學中數形結合的方法并不是一種嚴格推理論證的數學思想方法，而是一種利用幾何特點輔推理的方法，只適用于初等數學范疇.
如右圖所示函數，隨著所考慮的區間改變，極小值點偏移的類型也在改變（甚至是不偏移的）：極小值點x0在區間（a，b）內右偏移，在區間（c，d）內左偏移.
因此，從嚴格數學意x上講，極值點偏移不是確定的概念，只適合在初等數學中用數形結合的思想去考察.本文的簡化定義，賦予了極值點偏移問題更加直觀、形象的理解，以及易于處理的思路.
參考文獻
我想這個不好搞也許是數學教育搞錯了，數學教育喜歡深挖，直到把人挖得精疲力竭為止。其實數學不是那么可怕，只是我們把有意思的部分選擇性忽略罷了。
我一直想一件事情，就是把生活數字化，這其實是可能的，但是我沒有掌握。本身我們生活的世界就是一個數學世界，只是很多東西我們尚未數字化而已。比如我們的收入和支出，比如我們的家庭用具，再比如我們做選擇考慮的利益取向。這些都可以用數學去描述。我有時想起來覺得這個事情很有意思，只是常常又覺得無從下手，因為不是所有的數字都會在行為的當下立馬呈現出來，也不是呈現出來就都很重要，而且你必須要主動去記下來，可是這又極其的麻煩，時間長了確實可以做出很漂亮的表，但是又覺得得不償失。不過我們生活在數學世界的一個佐證是，計算機的世界就是由1和0兩個數字構建起來的虛擬空間。
而實際上數學家是發現了很多有意思的數學存在的，比如黃金分割數以及迷宮、魔方，等。在發現這些東西的時候，數學家一點也沒有感覺到枯燥乏味，而是充滿發現一個未知領域的興奮。
我認為數學除了可以分為代數、幾何、拓撲、混沌、羅曼幾何、集合、概率、虛數、三角幾何、數論……這些數不勝數的而且無窮盡的分類之外，還可以用新的分類，便于建立對數學的興趣。
那就是：運算系統、對應法則系統、數的系統、邏輯系統。
運算法則系統就是加、減、乘、除。這是最基本的系統，和邏輯沒有關系，只有對錯之分。但是掌握運算法則系統很簡單，只要你知道加減乘除就可以，而實際上在做題時算錯很少是直接由運算系統沒有掌握引起的，就像5乘以5很少有人會算錯，錯是錯在邏輯沒有理清楚。
邏輯系統包括：同一律、排中律、矛盾律、充足理由律，四條基本邏輯規律。其實還不是如此簡單，因為具體運算是數字的相互作用，不是概念的相互作用。其實邏輯系統包括在數學分類之中，比如三角函數的邏輯系統、虛數的邏輯系統、微積分的邏輯系統、數論邏輯系統、混沌邏輯系統……每個系統都是封閉的，有各自的邏輯起作用。很多時候說做錯題了，其實重要原因就是邏輯系統沒有掌握好，那么邏輯系統有沒有掌握好的標準是什么呢？那就是對應法則。
我覺得一個人掌握數學的高低最根本的就是他能掌握多少對應法則，以及其相互關系。比如：一次函數、二次函數、三角函數……，每個函數都有類似的結構，但是其演化出來的對應法則隨著參數的變化是無數多個的，比如最基本的y=ax＋b,光是a就有無數種可能，每個可能都是一條對應法則。
這樣，當看到數學成績很悲催的時候不要覺得是馬虎造成的，馬虎是運算系統掌握出了錯，比如5乘以5得數算成26，一般出錯是因為邏輯含糊導致緊張才出現運算問題，因為基本運算在小學4年級基本就沒問題了。
數學對于現代生活的重要性不是體現在運算上，而是理解上。確實，你不需要計算那么復雜的微積分，但是當你看到股票漲跌的時候，是通過數軸上的曲線領悟的，而且不光是看到表面還要看到曲線背后的本質，是什么因素影響著曲線變化？當然，各種分析可能紛繁復雜，多數是無效信息，你還得必須自己分辨出哪些信息是有用的，哪些信息是無用的，甚至自己判斷信息推斷結果，也就是每個因素對股票影響的權重是不一樣的。那么你能說數學毫無用處嗎？當然不是。
還是拿股票曲線為例，很多人熱衷于神秘主義，但是有限，其中最顯著的是波動理論，確實股票是很像水波，但是你如果看到的不是波紋而是風，甚至不是風而是地震，那么波動就不是那么可怕的了。
股票曲線的規律確實很有意思，最少它絕不可能是一個自變量決定的，因此精確預測非常困難，數學中你得到一個確定的結果需要所有其他未知數確定，只要有一個未確定，那么這條曲線就是一條平滑和連續的曲線，而股票呈現的絕不是平滑和連續的曲線，可見其未知數是很多的，哪能精確計算呢？所以看表面不如看其背后的參與者，漲跌、買賣、莊家和散戶、政策和現狀……這些才是股票規律的決定因素。
除了股票，你能看到的圖表真是太多了，如果不學一點數學是不可能的。不說那些統計數據，就說做生意想做大也必須要有數學敏感。所以現實中的數學不是你能掌握多少條對應法則，而是你需要理解多少現實背后的本質，這些本質影響著你能不能抓住重要的，而不是為那些不重要的東西搞得垂頭喪氣。
