時間：2022-03-25 07:58:26
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3、畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。分別連接CF、AD，形成BCF、BDA。
關鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因為在中國商高是最早發現和利用勾股定理的人，商高曾經說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現了數型結合得思想，這體現了在學習數學得過程中我們必須要重視思維方式的培養，以及對各種思維方式的應用，達到舉一反三的效果。在學習勾股定理的過程中我們要領會數學思維的規律和方法，提高數學思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關的已知量和未知量通過圖形結合起來解決問題，也就是說我們必須要數型結合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數和形結合起來考慮，并且把圖形的性質轉化為數量關系，可以使得復雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數型結合是一個重要的數學思想。
在早期的人類活動中，其實人們就認識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發現了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數學家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經說過：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實。”不過在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數表，在表中一共有四列十五行數字，不難看出這是一組勾股數，從右邊到左邊一共有15組勾股數，從這里可以看出勾股定理實際很早就被人們所認識。
對勾股定理進行分類討論可以對有可能出現的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點P。
8.總結
勾股定理作為中學數學的基本定理之一，是我們學習數學的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進行的驗證，這會帶領大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發學生對學習的思考，養成多方面看待問題的思維習慣。通過本文主要是想讓學生能夠學好勾股定理，能夠運用勾股定理解決實際問題。學好勾股定理對我們今后的學習和研究由很大的幫助，所以我們學者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當大的價值。
參考文獻
[1]趙爽.周脾算經注.2006.
[2]王工一.論《九章算術》和中國古代數學的特點[J].麗水學院學報.2006.
[3]王凱.勾股定理玉中國古代數學[J].邵陽學院學報.2005.
課堂教學開展之初，應利用一些生動有趣的故事引入，讓學生對所學知識產生興趣.
在教學勾股定理時，我用《九章算術》中的一題引入：如圖1，有個一丈見方的水池，在這個池中生長著一株植物，植物形似蘆葦，恰好伸出水面一尺長，假如把這株植物彎向岸邊，直到其與地面相連時，可否得出這一池水的深度，以及這株植物的長度？
圖1在方案設計時融入故事和趣味問題，主要的意圖是通過這些妙趣橫生的情境來激發學生的想象力，讓他們對學習勾股定理產生興趣，從而調動起他們的探究熱情.
圖2二、定理探索
定理的探索是一個發現的過程，主要分為以下兩步.
1.直角三角形的三邊數量關系的猜想
結合圖2，若圖中小方格的單位面積為1.問題（1）：如何求出三個正方形的面積？問題（2）：三個正方形的面積之間有什么等量關系？問題（3）：你能否得出直角三角形三邊的數量關系？
2.猜想驗證
首先作出八個全等的直角三角形，它們的兩個直角邊和斜邊分別設定為a、b、c，再作三個正方形，它們的邊長分別為a、b、c.然后按照圖3所示，將它們拼成兩個大的正方形.我們從兩個大正方形中可以發現，它們的邊長均為a+b，因此可以斷定它們的面積等同.即.
圖3通過上述驗證探索我們可以得知，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）.
三、定理應用
在驗證完上述定理之后，還需要針對學生掌握的情況進行解題嘗試，讓學生可以進一步應用定理. 以上述《九章算術》的習題為例，讓學生嘗試求出池水的深度以及這株植物的長度.
因為學生此時已經大致了解了勾股定理，因此在理解題意的基礎上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再將有關代數式代入等式中，通過解方程可以得出水深12尺，這株植物的長度為13尺.
四、定理證明
圖4 當學生完成了對勾股定理的猜測、驗證和應用后，最后還要對勾股定理進行證明.對此，我們將學生分為幾個小組，讓學生組內合作進行定理的證明.當然，勾股定理的證明方法有很多，所以針對不同的小組，讓他們采用不同的方法加以證明.就拿拼圖法來說，除了像圖3那種方法外，也可以用圖4來證明.
這一部分的操作意圖是為了讓學生之間的互動交流得以加強，使他們對勾股定理的原理和認知能夠得到全面的鞏固.
五、習題鞏固
1引言
自我國改革開放以來，國內政治、經濟、社會、文化等諸多環境得以完善，從而吸引了大量外國企業、居民進入國內，給中國當代文化氛圍、科學技術發展帶來了較為深刻的影響。中外文化的交流，在一定程度上給整個世界學術界、實務界的發展提供更加鮮活的血液與動力。（刪除）勾股定理作為世界范圍內數學界最為偉大的發明之一，其是一個十分偉大的數學定理。迄今為止，勾股定理已經被利用多種方法給予證明，并在較多領域中得以推廣。作為一個具有歷史厚重感的數學定理，在當前中學教課書中也是僅僅列舉了一種證明方法，而對其他方法的證明及其推廣應用的介紹十分之少。為此，作者將在本文中針對勾股定理的證明方法進行研究，作者謹此希望能夠利用本文的研究豐富當代中學生的視野，使他們能夠利用對定理背后歷史的探究，更好的掌握數學應用方法，為步入大學校園繼續深造奠定堅實的基礎，為社會主義現代化建設需求人才素質的提升做出自身貢獻（刪除）。
2勾股定理的證明方法研究
勾股定理作為一種舉世聞名的數學定理，其（刪除）現存的證明方法繁復多樣，可根據主流的分類方法將其歸為三類。在下文當中，作者將對前兩種方法分別進行一種證明方法的研究。
第一，面積法。該種證明方法是由畢達哥拉斯所發明的，其當初所使用的面積法證明采用了分解的思路，具體如下圖所示：
在兩個繪制的圖形當中，可以發現，畢達哥拉斯共設計出了八個大小完全相等的直角三角形。并對每個直角三角形的邊進行了賦值，其中直角邊的賦值分別為a與b、斜邊的賦值為c。接下來，在上述八個直角三角形的位置周圍繪制出了三個等邊正方形。最終就形成了如上兩個圖形。在做好上述準備工作之后，就可開始對勾股定理進行了證明，其證明思路主要為利用正方形所具有的面積對定理進行證明?？梢园l現，左圖當中將所有小矩形的面積進行相加，就等于整個大正方形的面積。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基礎上，再將面積相等的方法應用于右圖當中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通過上述兩個公式之間的合并，最終可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法證明與面積法證明之間存在著較大差異。為此，可以先繪制以下圖形，以便于利用拼接法進行更為準確的證明：
其通常所采用的方法之一具體由上圖列示。該圖形主要由四個大小相同的直角三角形所構成。并對每個直角三角形的邊進行賦值，賦值方法與面積法基本相同。在此基礎上，可利用上述拼接圖形進行勾股定理的證明。由上圖可以發現，DE=AF=HE=b，且角GDE為90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG為90度。因此，上圖當中的兩個四邊形就可以利用已經為直角三角形的賦值進行替代表示。從而又可將上圖分解為兩個圖形，并實現勾股定理的證明。
3勾股定理的推廣應用研究
勾股定理不但可以在平面圖形當中得以應用，更加可以在三維圖形，乃至n維圖形當中得以應用，并給解決諸多較為復雜的數學問題提供重要幫助。例如：假設ABC為等邊三角形，D是該三角形內部的一點。如果假設角BDC為150度，并假設BD長度為2，CD長度為1。那么，AD的長度應當是多少。在上述旋轉三角形邊長求解的運算當中，就可以借助勾股定理的方法實現對最終答案的求解。該求解的主要利用圖形的旋轉將現有三角形ABC等位移動至三角形AEC處，從而構造出了一個新的等邊三角形ADC。那么，依據這一思路之后，就可以利用對現有容易求解的方法對ED求解，并利用兩者之間相等的思想，實現對目標邊AD長度的求解。其中針對EC的求解就可以應用到勾股定理，并構造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。進而也就求得了邊AD的長度。通過這則案例可以得出結論，勾股定理在平面圖形之外的立體多位圖形當中可以實現推廣與應用。
4結論
直角三角形是一種極常見而特殊的三角形，它有許多性質，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性質，有極其廣泛的應用.平角的一半就是直角，空間中一條水平方向的直線和另一條鉛垂方向的相交直線也相交成一個直角，直角是生產和生活中最常見的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數量關系，這就搭建起了幾何圖形和數量關系之間的一座橋梁，從而發揮了重要的作用.勾股定理不僅在平面幾何中是重要的定理，而且在三角學、解析幾何學、微積分學中都是理論的基礎，定理對現代數學的發展也產生了重要而深遠的影響.沒有勾股定理，就難以建立起整個數學的大廈.所以，勾股定理不僅被認為是平面幾何中最重要的定理之一，也被認為是數學中最重要的定理之一.
本章分為兩節，第一節介紹勾股定理及其應用，第二節介紹勾股定理的逆定理及其應用.
在第一節中，教科書安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想、證明及簡單應用的過程.教科書首先簡略講述了畢達哥拉斯從觀察地面圖案的面積關系發現勾股定理的傳說故事，并讓學生也去觀察同樣的圖案，以發現等腰直角三角形這種特殊直角三角形下的特殊面積關系.在進一步的“探究”中又讓學生對某些直角三角形進行計算，計算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積，發現以兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.然后對更一般的結論提出了猜想.
歷史上對勾股定理證明的研究很多，得到了很多證明方法.教科書正文中介紹了公元3世紀三國時期中國數學家趙爽的證明方法.這是一種面積證法，依據是圖形在經過適當切割后再另拼接成一個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關系和對圖形面積的不同算法推出圖形的性質.在教科書中，圖17.1-6（1）中的圖形經過切割拼接后得到圖17.1-6（3）中的圖形，證明了勾股定理.
根據勾股定理，已知兩條直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長.根據勾股定理還可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長.也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長.教科書相應安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學生學習運用勾股定理解決問題，并運用定理證明了斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.
在第二節中，教科書首先讓學生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發現畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.教科書借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）證明了這個猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種重要依據.教科書安排了兩個例題，讓學生學會運用這個定理.本節結合勾股定理的逆定理的內容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立.為鞏固這些內容，相應配備了一些練習和習題.
2編寫時考慮的幾個問題
2.1讓學生經歷勾股定理及其逆定理的探索過程
勾股定理及其逆定理都是初等數學中的重要定理，同時，這兩個定理也都是多數初中學生在教師的精心引導下通過探索能夠發現并證明的定理，教學中要重視這兩個定理的教學，在教學過程中要注意引導學生通過探索去發現圖形的性質，提出一般的猜想，并獲得兩個定理的證明.
教科書對勾股定理的教學，設計了一個從特殊到一般的探索、發現和證明的過程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的結論證明的趙爽證法的引入.這是一個典型的探索和證明的過程.類似地，對勾股定理的逆定理，教科書也設計了從特殊結論到一般結論的探索和證明的完整過程.
這樣安排教學，有利于學生認識結論研究的必要性，培養學生對結論的探索興趣和熱情，培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力和嚴密審慎的思考習慣.
2.2通過介紹我國古代研究勾股定理的成就培養民族自豪感
我國古代對數學有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目和高度評價，在數學教學中應結合教學內容，適當介紹我國古代數學成就，培養學生愛國熱情和民族自豪感.
我國古代對勾股定理的研究就是一個突出的例子.根據成書年代不晚于公元前2世紀西漢時期的《周髀算經》進行推算，有可能在公元前21世紀大禹治水時人們就會應用“勾三股四弦五”的特殊結論，公元前6、7世紀時人們還知道了勾股定理的一般結論并能靈活運用結論解決許多實際測量問題.約公元3世紀三國時期趙爽為《周髀算經》作注寫《勾股圓方圖注》，用“弦圖”對勾股定理給出了一般的證明，這是我國對勾股定理一般結論的最早的證明.我國古代不僅較早獨立地發現了勾股定理有關“勾三股四弦五”的一些特殊結論，而且也比較早使用了巧妙的方法獨立證明了勾股定理一般結論，在勾股定理的應用方面也有許多深入的研究并達到熟練的程度.從《周髀算經》對勾股定理的多方面的論述，此書所記錄的在公元前6、7世紀時在我國人們已經能夠熟練且自信地把勾股定理應用到任意邊長的直角三角形的事實，可以推測在比《周髀算經》成書早得多的時候，我國對勾股定理不僅知其然而且知其所以然，只是缺少文獻明確記載對定理的論證.這些，都說明我國古代勞動人民的卓越聰明才智，也是我國對世界數學的重要貢獻，是值得我們自豪的.
本章教科書結合教學內容介紹了我國古代對勾股定理的有關研究成果.在引言中介紹了現存的我國古代的數學著作中最早的著作《周髀算經》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的證法很多，教科書為了弘揚我國古代數學成就，介紹了趙爽的證法.首先介紹趙爽“弦圖”，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路.這些內容表現了我國古代勞動人民對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.正因為此，趙爽“弦圖”被選為2002年在北京召開的世界數學家大會的會徽.教科書還在習題中安排了我國古代數學著作《九章算術》中的問題，展現我國古代在勾股定理應用研究方面的成果.
課本習題是一種重要的教學資源。在總復習教學中，通過探索課本典型習題的知識生長點、能力發展點、思想方法蘊涵點，挖掘課本典型習題的潛在教學價值，有利于激發學習興趣，提高復習教學效率；通過反思、拓展、應用，完成習題教學的第二次飛躍。培養學生探究質疑精神，提高創新意識和實踐能力。下面就一課本習題教學進行的再認識和再設計問題予以探究.
題目現行華師大版9年級《數學》上第24章《圖形的相似》復習題C組第20題：
（1）已知，如圖1，MN是ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直線MN向上移動，使點C在直線一側，A、B、D三點在直線另一側（如圖2），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關系？先對結論進行猜想，然后加以證明.
圖1圖21質疑證法
華師大版配套教師用書提示：記O為ABCD兩條對角線的交點，過O作OO′MN，垂足為O′。
（1）由梯形中位線定理，易證所需結論.
（2）由梯形中位線定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可證AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根據提示，運用梯形中位線定理是關鍵，證明如下：
圖3（1）證一：連結AC、BD交于O，過O作OO′MN，垂足為O′.
因為BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
證二：如圖3，分別連結AC、BD交于P，過P作PHMN于H，連結C′P，并延長交A′A的延長線于W。因為BP=PD，BB′∥PH∥DD′，則B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位線。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位線，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。證明（轉化法）：如圖2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分別延長AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）證得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
問題分析對（1）的兩種證明，關鍵性依據是“過梯形一腰的中點且平行于兩底的直線必平分另一腰”，然后利用中位線性質獲證，證明看似順暢簡潔，但現行華師大版數學教材中始終沒有這樣的學習內容，造成推理無依據，難消學生心中的疑慮。證法二中用到的結論“過三角形一邊的中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊”可以在教材P67開頭部分找到依據.
這些結論如果補證，會增加學生負擔；如果直接告訴這個結論，會增加學生理解難度。其實，還有適合學生的其他證法.
圖4改進證法（1）如圖4，分別過C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因為BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）證明.
2質疑猜想
問題（2），在不給學生任何提示的前提下，學生的思考幾乎呈散放、無序的狀態，又測量因誤差，容易導致誤猜，實踐證明學生很難獲得有效的猜想。中科院院士張景中認為，一個題目，光想不動手，往往不得其門而入，動手做，常會有啟發，代數問題，把字母代成數試一試，幾何問題，多畫幾個圖看一看，這比你冥思苦想效果好得多，學生通過數學實驗，動手算一算、畫一畫、量一量，手腦并用，獲得直接的感性認識，能最大程度地發揮其主觀能動性，有利于右腦的開發，并能由此引發奇思妙想，產生大膽的猜想和創新。正所謂“直覺的產生要以邏輯分析為‘前奏曲’”。由此可見，猜想不是憑空亂想。教學中要教給學生猜想的方法和猜想的途徑。猜想的方法主要有：歸納、類比、合情推理。猜想的途徑主要是：觀察、實驗、探索。教學改進設計如下：
（1）實踐操作，感知確認。試一試，測量這些線段，通過計算，它們有什么的關系呢？有人測得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。還有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。誰的猜想更合理呢？再畫一個圖形試一試，發現：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通過引入輔助元素，轉化為熟悉的問題或已經解決了的問題，通過推理獲得猜想.
3變式探究
【中圖分類號】 G633.6
【文獻標識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格點”教具，提高學生計算能力，突破勾股定理的導入瓶頸
在小學，格點面積的相關計算是學生能力方面的一個要求，學生通過觀察不規則圖形在方格中的位置，通過割、補、拼等手段，以及巧算“格點”圖形的面積，就可計算出圖形的面積。在初中階段，勾股定理就是在“數”圖形面積的過程中發現并引入的，“數”面積也是勾股定理證明、應用的關鍵。為了達到較好的教學效果，在教具上，重點突出格點圖形面積的計算應用。首先用小木質黑板，畫好20×20的方格，用皮筋當線段，圖釘當頂點，在格點上“釘”出多邊形，讓學生采取對圖形的拼、割以及“格點”計算等不同的方法，計算多邊形圖形的面積。通過訓練，使學生更好地認識圖形，突破圖形面積的計算障礙，為學習“勾股定理”打下良好的基礎。這里，通過運用教具進行數學教學 ，把抽象的數學知識具體形象地呈現給學生，提高了學生的圖形感知能力。
二、用“拼盤”教具，加強學生數形結合能力，突破勾股定理的證明障礙
《勾股定理》的證明方法有很多，如何讓學生能很好地理解這些方法呢？筆者認為，應用簡易的教具去演示其中的奧妙，是教學中最好的方法。
筆者是這樣做的：制作底為7cm×7cm，高約0.5cm的正方盒1個以及直角邊為3cm×4cm的全等直角三角形4個，在教學中，如果拼擺這四個直角三角形，就可得到我國古代數學家趙爽以及美國總統的關于勾股定理的證明思想。
中國歷史上的“青朱出入圖”，是古人對勾股定理的無字證明。在教學時，可讓學生自己先制作這一學具，通過拼割、移動圖形，發現面積的變化，感受并體會勾股定理的奧秘所在。
教學中，運用這個教具，直觀形象地使各圖形之間的面積凸顯出來，幫助學生分析數量關系，抓住其本質要害，從而使抽象的數量關系具體化、形象化，有效地培養了學生的觀察、記憶、思維、想象能力。
三、用 “立體”教具，激發學生空間想象能力，解決勾股定理的分析困難
教具有能拼、能折、能拆等特點，利用這一特點，可使教學變得具有操作性和活動變化性。在應用勾股定理解決空間立體圖形的問題時，學生總是想象不出圖形中各線段之間的關系，無法理解空間問題，但適時利用圓錐、圓柱、長方體等教具，就可以讓學生很輕松地解決這一問題。
例如，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米。在圓形柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
讓學生自己做一個圓柱（圓柱側面繞一層紙），在圓柱上用鉛筆標注出A、B的位置，嘗試用鉛筆從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？用剪刀將圓柱側面的紙（沿母線剪開），將圓柱的側面展開。這時，學生不難發現，剛才用鉛筆畫的路線就是螞蟻的走法，哪條線段最短顯而易見。
四、用 “折疊”教具，強化學生的動手操作能力，增強學習勾股定理的信心
一、創設思維情境，引出并體驗勾股定理
數學教學是師生之間、同學之間交流、互動與共同發展的過程.我們的教學應從學生的實際出發，創設有助于學生自主學習的情境，引導學生通過實踐、思考、探究、交流，主動地豐富自己的數學知識和能力。為此，在我的教學過程中將自己所任課的班分成5個研究性學習小組，各組有人負責，并聘請老師參加和指導。
勾股定理是一個古老而有趣的問題，幾乎每位同學都知道“勾三股四弦五”這個定理的特例。即若直角三角形兩直角邊長分別為3和4，斜邊長為5，則存在32+42=52這種關系。
在RtABC中，記AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2這種關系呢？為體驗這個事實，我們再作些直角三角形，并測量所求結果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精確到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）題，作直角三角形，測量的結果分別是13，4.5，第三題可先作直徑為10的半圓，量出弦BC=6，測得b=8，且∠ACB為直角。第（4）題與第三題類同，測得a=7。
體驗是“人們存在的方式”，是人的“素質形成與發展的核心環節”，只有讓學生在學習過程中不斷體驗，才會激起學生無休止的好奇心、探索欲和創造力。經過上述反復體驗，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b為直角邊長，c為斜邊長，則：a2+b2=c2。
進而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三邊長分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則：ABC為直角三角形。
二、探究勾股定理的證明
老師可提前布置各小組同學，去尋找勾股定理的不同證法和廣泛應用。在數學課（或研究課）上，各小組可指派代表發言和演示，給出他們研究和探索的結果，經過師生互相交流，大家對勾股定理的證明和應用全面認識和深刻的理解。總結各小組的證法如下：
證法一：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖1）如大正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，則有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
證法二：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖2），則：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
證法三：將并排的兩個正方形進行割補（如圖3）將剪掉的標有1、2、3的三角形填補，在大正方形的1、2、3處。由面積等式，則：a2+b2=c2
證法四：利用射影定理證明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD?AB，BC2=DB?AB
AC2+BC2=AD?AB+DB?AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面給出比較著名的兩個證法――證法五（如圖4）和證法六（如圖5）
在圖4中，因為分割長直角邊上的正方形，使其形如風車，所以這一方法稱為“風車證法”。“風車證法”的剪拼步驟如下（如圖6）：
作正方形的中心O；
過O做直線垂直AB交正方形的兩邊與M、N；
過O做直線垂直MN交正方形的另外兩邊與P、Q；
沿線段MN、PQ剪開即可。
至于為什么MN要垂直AB，我可以從平移變換的角度來考慮。簡單的說，那是因為四邊形BMOP經平移變為GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在眾多剪拼方法和證明方法中，有的人還提出了一些不夠直觀甚至是錯誤的方法，對于這些方法也不要輕易放棄，教師要珍重每位同學構思出來的方法。即使做法和結論是錯誤的，我們也要找出錯誤的原因，從中吸取經驗和受到啟發。要通過觀察、思考、動手試驗等過程引導學生不斷探究新的數學內容和數學方法。
三、勾股數組
我們把滿足x2+y2=z2的三個正整數x、y、z叫勾股數。（x、y、z）叫做勾股數組。如果（x，y，z）=1，則這樣的勾股數組叫做基本勾股數組。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股數組，而（6，8，10）不是基本勾股數組.容易看出，若（x，y，z）是一個基本勾股數組，則（kx、ky，kz）都是勾股數組。
我們把邊長為勾股數的三角形叫做勾股三角形。這里我們又得到另一個應用。
定理：勾股三角形的內切圓的半徑一定是整數.
證明：設RtABC的內切圓半徑為r，則r=■
由于勾股數a、b、c不能同時為奇數，所以a+b-c為偶數，從而r為整數。
許多數學問題規律性很強，我們總希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股數組，這里將我們師生探究勾股數得到的結論給出來。設Rt的直角邊長為x，y，斜邊長為z，且n，s，t都是正整數，則勾股數組有兩類：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
從表中我們發現，第一類勾股數滿足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二類勾股數組不是基本的，但它對第一類給以補充。我們還發現許多有趣的結論，如：x，y，z不可能都是奇數，它們中可以有一個偶數或全部是偶數。再如：（x，y，z）是基本勾股數組，則x，y中必有一個能被3整除，等等。
在勾股定理的學習過程中，給我們帶來的啟示很多，首先是這個古老問題有探究不盡的課題。它的不同證法，廣泛的應用以及勾股數的趣味性給我們拓寬了眼界，打通了思路，不僅是對知識的傳承，更多的是激發了我們師生對數學產生了濃厚的興趣，獲得更多更好的數學知識和數學方法，提高了空間想象能力和創造性思維。
勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、數學史上的勾股定理
1．1勾股定理的來源
勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。
1．2最早的勾股定理應用
中國最早的一部數學著作――《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊“勾”等于3，另一條直角邊“股”等于4的時候，那么它的斜邊“弦”就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵?！睆纳厦嫠倪@段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和。
1．3在代數研究上取得的成就
例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。公元1世紀，我國數學著作《九章算術》中記載了一種求整勾股數組的法則，用代數方法很容易證明這一結論。由此可見，你是否想到過，我們的祖先發現勾股定理，不是一蹴而就，而是經歷了漫長的歲月，走過了一個由特殊到一般的過程。
2、勾股定理的一些運用
2．1在數學中的運用
勾股定理是極為重要的定理，其應用十分廣泛.同學們在運用這個定理解題時，常出現這樣或那樣的錯誤。為幫助同學們掌握好勾股定理，現將平時容易出現的錯誤加以歸類剖析，供參考。
2．1．1錯在思維定勢
例1一個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，求第三條邊的長。
錯解：設第三條邊的長為a，則由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三條邊的長是13。
剖析：由于受勾股定理數組5、12、13的影響，看到題設數據，一些同學便斷定第三條邊是斜邊.實際上，題目并沒有說明第三邊是斜邊還是直角邊，故需分類求解。
正解：設第三條邊的長為，（1）若第三邊是斜邊，同上可求得=13；（2）若第三邊是直角邊，則12必為斜邊，由勾股定理，故第三條邊的長是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等
農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。木匠先是量出一個對邊相等的四邊形，這樣就保證這個四邊形是平行四邊形，為了再使它是矩形，木匠就在臨邊上分別量出30公分、40公分的兩段線段，然后再調整的另外兩個斷點間的距離使他們的距離成50公分即可。在這個過程中，木匠實際上即用到了平行四邊形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
幾十年前，有些科學家從天文望遠鏡中看到火星上有些地區的顏色有些季節性的變化，又看到火星上有運河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。當時還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區，但是他們都很早并且獨立的發現了勾股定理?？茖W家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許最早知道勾股定理?；鹦鞘欠裼懈叨戎腔凵?？現在已被基本否定，可是人類并沒有打消與地球以外生物取得聯系的努力，怎樣跟他們聯系呢？用文字和語言他們都不一定能懂。因此，我國已故著名數學家華羅庚曾建議：讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3：4：5的直角三角形。兩千年前發現的勾股定理，現在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發揮作用。
看來，勾股定理不僅僅是數學問題，不僅僅是反映直角三角形三邊關系，她已成為人類文明的象征，她已成為人類智慧的標志！她是人們文化素養中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是現代文明人！
3、對勾股定理的一些建議
3．1掌握勾股定理，利用拼圖法驗證勾股定理；
經歷用拼圖的方法驗證勾股定理，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力。拼圖的過導學生自主探索，合作交流。這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，有效地激發學生的思維積極性。鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識。
3．2發展合情推理的能力，體會數形結合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想．教師在進行數學教學活動時，如果只以教材的內容為素材對學生的合情推理能力進行培養，毫無疑問，這樣的教學活動能促進學生的合情推理能力的發展，但是，除院校的教育教學活動（以教材內容為素材)以外，還有很多活動也能有效地發展學生的合情推理能力，例如，人們日常生活中經常需要作出判斷和推理，許多游戲很多中也隱含著推理的要求，所以，要進一步拓寬發展學生合情推理能力的渠道，使學生感受到生活、活動中有“數學”，有“合情推理”，養成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習慣。
在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究體會數形結合思想，激發探索熱情。回顧、反思、交流．布置課后作業，鞏固、發展提高。
3．3能運用勾股定理及其逆定理解決實際問題，提高數學應用能力；
勾股定理及其逆定理是中學數學中幾個重要的定理之一，在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。所謂逆定理，就是通過定理的結論來推出條件，也就是如果三角形的三邊滿足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.這個定理很重要，常常用來判斷三角形的形狀.它體現了由“形”到“數”和由“數”到“形”的數形結合思想.勾股定理在解決三角形的計算、證明和解決實際問題中得到廣泛應用，勾股定理的逆定理常與三角形的內角和、三角形的面積等知識綜合在一起進行考查.對于初學勾股定理及其逆定理的學生來說，由于知識、方法不熟練，常常出現一些不必要的錯誤，失分率較高.下面針對具體失誤的原因，配合相關習題進行分析、說明其易錯點，希望幫助同學們避免錯誤，走出誤區。
4、小結
總體來說，勾股定理的應用非常廣泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的內容，初步學會用它進行有關的計算、作圖和證明。應用主要包括：
1、勾股定理在幾何計算和證明的應用：（1）已知直角三角形任兩邊求第三邊。（2）利用勾股定理作圖。（3）利用勾股定理證明。（4）供選用例題。
2、在代數中的應用：勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的應用：工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理 物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車、農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90°）轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2.。利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段長；利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理。
參考文獻：
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[2]周髀算經[M]．文物出版社．1980年3月，據宋代嘉定六年本影?。?/p>
[3]楊通剛．勾股定理源與流[J]．中學生理科月刊，1997年Z1期．
[4]張維忠．多元文化下的勾股定理[J]．數學教育學報，2004年04期．
一、創設情景，引入新課
師：（結合動畫講故事）同學們，我們國家有著幾千年的悠久文化，西周開國時期，周公非常愛才，他和喜歡鉆研數學的商高是好朋友。有一天，商高對周公說，最近我又有一個新的發現，把一根長為7的直尺折成直角，使一邊長（勾）為3，另一邊長（股）為4，連接兩端（弦）得一個直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長等于多少？周公搖頭不知道。同學們，你們猜猜是多少？
生：5（不知道）
師：不知道也沒關系，我們來量一量斜邊的長就知道了。（動畫演示）
師：后來又發現，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長是10。這兩組數據是否具有某種共同點呢？帶著這個問題人們對直角三角形做了進一步的研究，通過計算三條邊長的平方發現，直角三角形中的三條邊長之間還真有一種特殊的關系。它們之間到底有什么樣的關系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
師：這是兩組特殊數字。想一想，是不是一個任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關系呢？
我們用幾何畫板再做一個實驗，請注意觀察。（任意改變直角三角形三邊的長度，度量、計算顯示相等關系依然不變。）
師：通過實驗，可以得到什么結論？
生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2+b2=c2
師：同學們概括得非常好！這個結論盡管是通過多次實驗得到的，但要說明它對任意的直角三角形都成立，還有待進行證明。我們先來觀察這個要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三條邊長。
師：a2、b2、c2是邊長的平方，由邊長的平方可聯想到什么？
生：正方形、正方形的面積。
師：對整個等式你們怎樣理解？
生：等式可以理解為兩個正方形的面積和等于一個正方形的面積。
師：那好，下面我們就來做一個拼正方形的游戲，看能不能對我們證明結論有些幫助。
二、動手拼圖，合作探索定理證明方法
師：現在，前后4人為一個小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個沒有空隙且不重疊的正方形。拼好后請上臺展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務最快。
師：同學們對比自己拼成的兩個圖形，看看它們有什么共同點和不同點？
生：都是邊長相等的正方形，但拼圖的模型不同。
生：這兩個正方形的面積相等。
師：這兩個正方形的面積怎樣計算呢？通過你的計算能否證明a2+b2=c2？請試一試。
師：看哪兩位同學愿意上來寫出證明過程。
師：兩位同學剛才用兩種不同的方法證明了實驗得出的結論，這就是我們今天要學習的勾股定理。請兩位同學再談談你們的證明思路好嗎？
生甲：圖（A）的面積用四個全等的直角三角形的面積加兩個正方形的面積，圖（B）的面積用四個全等的直角三角形的面積加一個正方形的面積，利用面積相等就證得結論。
生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計算它的面積也能證得結論。
師：說得好！甲同學的證明思路正好符合我們前面對等式的理解；乙同學的證明思路啟發我們還可以通過拼各種不同的圖形來證明勾股定理。
三、課堂練習
李明上學經過的路旁有一小湖，隔湖相對有兩棵樹A、B， 但無法直接測量出A、B之間的距離。請你幫他設計一個解決問題的方案好嗎？
四、小結
師：同學們可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問題。
在“理解數學、理解學生、理解教學”的基礎上備好一節課本是最好的備課方式，但由于教師理解能力的差異，以及對“三個理解”的認識程度不同，備課效果自然不可同日而語.那么，怎樣才能備出一節好課呢？筆者認為，通過比對同一課時的文獻資料，分析不同教案的優缺點，博采眾長，巧妙融合，自然會備出一節好課.下面以“勾股定理”起始課為例，談談如何利用文獻資料進行備課.供參考.
1常見教學設計
查閱近幾年的文獻資料，發現勾股定理起始課教學設計大致分為三類：以證明定理為主的教學設計、以探究發現定理為主的教學設計、以實驗操作來發現定理的教學設計.現對這三種教學設計做客觀分析.
1.1以證明定理為主的教學設計
章建躍博士在談到勾股定理教數學時指出：“其一，勾股定理的發現具備偶然性；其二，畢達哥拉斯是大數學家，對數極其敏感，對“形”非常自動化地想到“數”，這是一般人做不到的……我覺得，不應該讓學生去發現，重點應該放在讓學生去證明這個定理.”[1]在這一觀點的支撐下，一線教師中的許多實踐者也取得了良好的教學效果.
課例1劉東升[2]先從一段BBC紀錄片《數學的故事》展示古埃及人結繩繃成直角三角形導入新課，隨即導入勾股定理的特例“如果作一個直角三角形，使得兩直角邊分別為3和4，你能否求出斜邊的長？”在學生嘗試無果后，教師指出有人曾經用拼圖的方法求出該三角形的斜邊長為5，接下來用拼圖的方法予以計算.最后從特殊到一般用面積法（割補法）證明勾股定理.
分析教師設計以證明為主的教學思路，大致是基于以下幾點思考：一是恰當安排講授法，節約時間，采用教師講授證明思路，學生跟進理解，是基于對學情的理解；二是勾股定理的發現具有偶然性，只有畢達哥拉斯這樣的大數學家，才能從“形”非常自動地想到“數”，這是一般人做不到的，在課堂上有限的時間里讓學生去發現該定理是不現實的，也是無法完成的任務.所以，該設計把時間重點分配在證明勾股定理和欣賞勾股定理文化上.從學習的角度看，這樣的安排是有效的，是基于學情來考慮的，有利于學生學習數學知識，培養學生演繹推理的能力.
《義務教育階段數學課程標準（2011版）》[3]（以下簡稱標準）在課程基本理念中指出：學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.顯然，上述過程少了學生觀察、實驗、猜想的過程，而這卻是數學教學的重要功能所在.事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理，從這個角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究發現定理為主的教學設計
特級教師卜以樓認為：研究一個定理，一般要從猜想――驗證――證明這三個方面去把握，如果離開了猜想、發現定理這兩個環節，那么培養學生的創新意R和實踐能力就會在教學中打折.事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理.卜老師同時給出了基于上述思考的教學設計.
課例2卜以樓首先通過畫兩個直角三角形，引導學生發現直角三角形三邊間有關系，然后順勢提出問題：既然直角三角形三邊數量之間有一個等量關系，這個等量關系是什么呢[4]？接著，引導基礎薄弱的學生在單位長度為1 cm的坐標紙上，理性地選擇幾個直角三角形去畫一畫、量一量，觀察量出的數值，估計、猜想三邊間的關系；引導基礎較好的學生理性分析三邊間的關系：a、b、c三邊間關系可以是一次等量關系、二次等量關系，甚至是高次等量關系，根據三角形兩邊之和大于第三邊否定三邊間存在一次關系，然后探討三邊間的二次等量關系，先從特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，經過驗證發現猜想成立，再用“證偽”否定其它的二次關系，最后引導學生從a2、b2、c2這些“式結構”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結構”，然后利用圖形面積（割補法）來分析和解決問題.
分析首先，本課例關注學生四能培養，教學過程就是基于發現和提出問題，分析和解決問題的思路來設計的，教學過程就是引導學生思維的過程；其次，符合“猜想――驗證――證明”的數學學習規律，過程嚴謹，絲絲入扣，數學味濃，注重學生思維能力和創新能力的培養.
但仔細分析其教學設計后發現，其課堂教學過于理想化，既要啟發基礎較差的學生畫一畫、量一量，觀察量出的數值，估計、猜想三邊間的關系，又要引導基礎較好的學生理性分析三邊間的關系，直至發現直角三角形三邊的平方關系，還要引導學生證明勾股定理，復雜的教學過程可能會導致教學時間不夠，文章展示的探究過程很難在現實的課堂中得以實現.另外，在引導基礎較好的學生理性分析三邊間關系的過程中，作者根據三角形兩邊之和大于第三邊就可以否定三邊間存在一次關系，這句話是有問題的，比如，邊長分別為a=3、b=4、c=5的關系可以表述為a+b=75c這樣的等量關系.對于a、b、c之間二次關系的三種形式的分類是可行的，但直接從特殊情況a2+b2=c2入手，是執果索因的結果，這和直接告知結論是一樣的效果.
1.3以實驗操作來發現定理的教學設計
蘇科版數學教材主編董林偉先生指出：數學實驗不是學生被動地接受課本上的或老師敘述的現成結論，而是學生從自己的數學現實出發，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗，逐步建構并發展自己的數學認知結構的活動過程[5].數學實驗已成為數學教學中的一個重要方式.關于勾股定理的教學，數學實驗大致有兩種方法：測量法和計算法.
課例3測量法[6]：任黨華引導學生從“直角三角形的角度特殊，會不會它的邊在數量上也有特殊的關系呢？”開始思考，然后讓學生動手畫一個任意直角三角形，測量其三邊長度，計算交流，接著學生展示所得數據及本組猜想，師生用幾何畫板演示，發現a2+b2=c2這一結論成立，再用拼圖法證明結論，最后介紹有關勾股定理的數學史.
課例4計算法[7]：萬廣磊從展示2002年的數學大會的弦圖開始，然后直接給出直角三角形和以該三角形三邊向形外作三個正方形，通過填空的方式來計算三個正方形的面積，學生通過畫一畫、想一想、試一試、辨一辨來發現a2+b2=c2，再用實驗的方法驗證鈍角三角形和銳角三角形不具備兩短邊的平方和等于最長邊的平方，然后用拼圖法證明勾股定理，最后介紹有關勾股定理的數學史.
分析這兩個課例都是通過畫一畫、想一想、算一算來發現勾股定理的，動手實驗的過程有利于培養學生的動手能力，獲得研究問題的方法，積累活動經驗.但課例3存在兩點不足，一是學生畫圖、測量過程中無法保證圖形的準確和數據的精確，不能為發現規律提供保證；二是學生從測量出的三邊數據中，怎么會輕易發現三邊的平方關系？課例4教師通過填空計算面積的方式已經把解題思路和盤托出，難點化為烏有，就像幾何題中老師提前告知輔助線一樣，是避開難點，而不是突破難點.羅增儒教授稱以上教學為“虛假性情境發現”和“淺層次的情境發現”.
2勾股定理教學中需要突破的難點
通過上述課例的分析，我們不難發現在勾股定理的教學中回避不了幾個難點：一是如何創設合適的情境，引導學生發現直角三角形三邊間的平方關系？二是怎樣引導學生從a2、b2、c2這些“式結構”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結構”？三是選擇探究教學，探究的時間較長，有時甚至不可控，需要時間成本；四是數學定理的呈現雖是美麗的，但發現的過程確是漫長和痛苦的，所以，課堂上定理的發現不能過于理想化，所謂還原數學家火熱的思考，實在過于理想化，在短短的一節課內要完成一個定理的發現，必然要降低發現坡度，縮短發現時間，中間教師的引導甚至干預就必不可少.3吸收精華，改進教學設計
上述四個課例均有可取之處，在認真學習比對優劣的基礎上，多方吸收各種教法中的精華，充分考慮勾股定理教學中需要突破的四大難點，經過認真整合，確定“從特殊到一般，經歷猜想――驗證――證明”這樣的探究教學設計，在實際教學中取得了較好的效果.
3.1情境入
在一個確定的三角形中，有確定的角的關系：①三角形內角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三邊間有確定的關系嗎？
3.2探究發現
（1）從最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三邊間關系
直角邊長為1的等腰直角三角形的面積是多少？如果斜邊用字母c表示，請用c表示三角形的面積.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同樣的方法研究直角邊長為2的等腰直角三角形，有什么發現？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角邊長分別為3、4的等腰直角三角形，會發現下面結論.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（這里是需要教師干預和引導的）
（2）在網格中研究直角邊不等的特殊直角三角形圖1
如果兩直角邊不等，上述猜想還成立嗎？老師在黑板空白處畫圖分析，指出上面的方法行不通，能否借助格點正方形來發現呢？分析“式結構”，在上圖（圖1）中22=4，用四個正方形表示，12=1，用一個正方形表示，那么以斜邊為邊的正方形的面積是等于5嗎？引導利用割補法研究（小學已經學過）.
（3）幾何畫板驗證猜想的結論
（4）不完全歸納法得出勾股定理
3.3定理證明與介紹
證明過程略.（圖形割補見圖2，證明思路見上面分析）
本設計在研究最簡單的三角形時，學生是不可能想到運用面積來發現等腰直角三角形的三邊關系的，這時教師直接引導先用兩直角邊求面積，再啟發用斜邊求面積，這個過程不自然，但確實沒有更好的辦法.所以，發現式教學不能不加干預，任由學生自由思考，正如佛賴登塔爾所說：“強調用發生的方法來教各種思想，并不意味著應該從它們產生的順序來呈現它們，甚至不關閉所有的僵局，刪除所有的彎路.”顯然，這就是教師主導作用的意義所在.
綜上所述，通過文獻資料的研究，我們可以對相關內容的教學有清楚的認識，并在比較中去粗存精，獲得比較合理的教學方法，這不失為一種行之有效的備課方式.
參考文獻
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對于勾股定理新授課教學，我做過多角度探討．緊扣課本，設計最佳環節是我的目標．上好這一課不一定要拓展面積計算的專門理論知識，也不需要高難度構圖設計技巧．如果做好課前預備，課堂上的難點突破，重點把握，都可以放手讓學生完成．也就是說，在勾股定理新授課堂上，學生并不是也發現了畢達哥拉斯的奇妙圖案，就被載上一輛馬車奔馳著去藏寶地發掘到一個奇思妙想，最后，趙爽告訴他，想法很好也很對，并送了一個小風箏玩具，往回走時又看了伽菲爾德一個小魔術．我認為，好課堂不一定要做得像是帶領學生逛一次迪斯尼樂園一樣熱鬧！
勾股定理是數學的幾個重要定理之一．它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系．它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據，在生產生活實際中應用很大．由于勾股定理反映了一個直角三角形三邊之間的關系，它也是直角三角形的一條重要性質．同時由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉化成數量關系，它把形與數密切的聯系起來，因此在理論上也有重要的地位．
勾股定理這節內容，在教材設計中，它貫穿著發現規律、拓展思路、猜想命題、證明定理四個環節．
（1）故事化導入很是耐人尋味，畢達哥拉斯朋友家的地面磚鋪圖案非常漂亮．無論是幾何形狀還是色塊搭配，它們都已經傳承了幾千年，可謂厚重的文化底蘊．地板基本上可以看出由兩種等腰直角三角形和正方形鋪設而成，而且大小多樣．所謂：看似平淡無奇的現象有時卻隱藏著深刻的道理．可以猜想，畢達哥拉斯正好站在中間的那個重要的等腰直角三角形上看四周的色塊與圖案．再換個位置站著看一下，與它有著同樣展示效果的圖案原來很多！如果引導教學設計得當，學生也會對踏在腳底下那平常不起眼的地磚圖案感興趣！
（2）接著學生看到網格邊看格點正方形，要求計算其中那些斜放著的正方形面積并借此探究那個類似的結論．它所呈現出的新穎大方定會讓學生眼前一亮，進而躍躍欲試、興趣盎然．在知識層面上它與七年級教學內容中的鑲嵌的探索與應用是接軌的．除了圖形結構認識上的難度略大一點．只要專注于部分與整體的思想就能解決問題（不需要求證斜放的是正方形，更不必刻意要求找出類同趙爽弦圖的面積算法，只要能感知它們得正確性和實用就行）．
（3）接著就是猜想命題．它要求學生能用簡明扼要的文字概括描述課堂上得到的結論，能分析命題的題設與結論，再畫圖、寫出已知、求證．它在幾何的理論學習中是重點，在幾何初步知識中是教學難點．
（4）趙爽這位老人，它帶來的不只是用來證明定理的弦圖．他那獨特的構圖方法能吸引學生、教師，還有所有喜歡它的人深思．他不僅指導我們做了一個漂亮的紙風箏，而且他所采用的原材料，那套矩形組合模板中的各部件，連同他老人家精湛的手藝深深地引著我們．
若把這些比作一幕舞臺劇，則它就是融合古今中外東西方文明的一次大合奏！
在課堂教學實際過程中，本節課教學任務的實施環節部分教學中存在4大難點：
第一，讓學生發現直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
第二，讓學生發現圖形結構并計算以斜邊為邊長的正方形面積的方法．
第三，得到猜想命題，賞析趙爽的動態構圖和他對于定理的證法思想．
第四，拓廣美國總統伽菲爾德以及幾何原本中對于此定理的證明方法．
對此，課本的編排意圖是：
先讓學生發現以直角三兩直角邊為邊長的正方形面積與以斜邊為邊長的正方形之間的面積關系，走實踐出真知的路線并能夠作為技術性的緩沖．然后迅速抓住他所帶來的存在與特殊直角三角形中的結論──三邊關系．
在計算網格中以斜邊為邊長的正方形面積時把它作為格點正方形，探究它與周邊材料構圖的方法．以此突破算法技巧并迅速掌握它所帶來的存在于邊長為任意的直角三角形中的圖形結構與數據結構．再以其簡潔明快型動態效果圖證明勾股定理，借以激發學生的興趣．
可見，這些難點的突破關系到課堂教學的實質性效果．不僅要使學生自主探索發現事物、認識事物的方法還要培養學生的觀察能力和局部與整體的認知能力．
教材編排給讀者留下了廣闊的思考空間．每個環節獨立成段，整個過程又渾然一體．學生在定理的產生、發展、成型的過程中又有了些許的困惑．究其原因在教師用書相關章節中已經提及：勾股定理證明方法很多，這里介紹的是一種面積法，學生以前沒見過這種方法，會感到陌生，尤其是覺得不像證明．這主要是因為教科書沒有專門將面積的理論，推理的根據造成的．
不難發現：勾股定理的新授課本著從發現到發展并形成猜想命題及證明的嚴謹治學思想，貫穿著從特殊到一般的捕捉信息、認識事物、從現象到本質的常規治學方法．筆者認為這堂課有必要追根溯源，緊扣直角三角形自身存在的問題：面積算法與斜邊長的關系，再從圖形結構和數據結構入手，進而歸納猜想，并完成對命題的證明．
