時間：2022-02-20 22:12:59
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合函數的定義域、值域及單調性。
③注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高
解題能力。
教學重點與難點：對數函數的性質的應用。
教學過程設計：
⒈復習提問：對數函數的概念及性質。
⒉開始正課
1比較數的大小
例1比較下列各組數的大小。
⑴loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)
⑵log0.50.6,logЛ0.5,lnЛ
師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？
生：這兩個對數底相等。
師：那么對于兩個底相等的對數如何比大?。?/p>
生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。
師：對，請敘述一下這道題的解題過程。
生：對數函數的單調性取決于底的大?。寒?<a<1時，函數y=logax單
調遞減，所以loga5.1>loga5.9；當a>1時，函數y=logax單調遞
增，所以loga5.1<loga5.9。
板書：
解：Ⅰ）當0<a<1時，函數y=logax在（0，+∞）上是減函數，
5.1<5.9loga5.1>loga5.9
Ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，
5.1<5.9loga5.1<loga5.9
師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？
生：這三個對數底、真數都不相等。
師：那么對于這三個對數如何比大??？
生：找“中間量”，log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，
log0.50.6<1，所以logЛ0.5<log0.50.6<lnЛ。
板書：略。
師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函
數的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數
函數圖象的位置關系來比大小。
2函數的定義域,值域及單調性。
例2⑴求函數y=的定義域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)
師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要
使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，
被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于
零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求
它們共同作用的結果。）
生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。
板書：
解：2x-1≠0x≠0.5
log0.8x-1≥0，x≤0.8
x>0x>0
x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕
師：接下來我們一起來解這個不等式。
分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，
再根據對數函數的單調性求解。
師：請你寫一下這道題的解題過程。
生：<板書>
解：x2+2x-3>0x<-3或x>1
(3x+3)>0,x>-1
x2+2x-3<(3x+3)-2<x<3
不等式的解為：1<x<3
例3求下列函數的值域和單調區間。
⑴y=log0.5(x-x2)
⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)
師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。
下面請同學們來解⑴。
生：此函數可看作是由y=log0.5u,u=x-x2復合而成。
板書：
解：⑴u=x-x2>0,0<x<1
u=x-x2=-(x-0.5)2+0.25,0<u≤0.25
y=log0.5u≥log0.50.25=2
y≥2
xx(0,0.5]x[0.5,1)
u=x-x2
y=log0.5u
y=log0.5(x-x2)
函數y=log0.5(x-x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞增區間[0.5,1)
注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則
函數都不存在，性質就無從談起。
師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什
么區別？
生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。
師：那么⑵如何來解？
生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。
板書：略。
⒊小結
這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能
通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。
⒋作業
⑴解不等式
①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)
⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)
①求它的單調區間；②當0<a<1時，分別在各單調區間上求它的反函數。
⑶已知函數y=loga(a>0,b>0,且a≠1)
①求它的定義域；②討論它的奇偶性;③討論它的單調性。
⑷已知函數y=loga(ax-1)(a>0,a≠1),
①求它的定義域；②當x為何值時，函數值大于1；③討論它的
單調性。
3.函數定義：函數就是定義在非空數集A，B上的映射，此時稱數集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法則，值域構成了函數的三要素
4.相同函數的判斷方法：①定義域、值域;②對應法則(兩點必須同時具備)
5.求函數的定義域常涉及到的依據為①分母不為0;②偶次根式中被開方數不小于0;③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1;④零指數冪的底數不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響
6.函數解析式的求法：
①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數法④賦值法7.函數值域的求法：
①換元配方法。如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域。②判別式法。一個二次分式函數在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程，方程有實數解則判別式大于等于零，得到一個關于y的不等式，解出y的范圍就是函數的值域。
③單調性法。如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域
8.函數單調性的證明方法:
第一步：設x1、x2是給定區間內的兩個任意的值，且x1
第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;
第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負號，從而證得其增減性
9、函數圖像變換知識
①平移變換：
形如：y=f(x+a)：把函數y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移
|a|個單位，就得到y=f(x+a)的圖象。
形如：y=f(x)+a：把函數y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個單位，就得到y=f(x)+a的圖象
②.對稱變換y=f(x)y=f(-x),關于y軸對稱
y=f(x)y=-f(x),關于x軸對稱
③.翻折變換
y=f(x)y=f|x|,(左折變換)
把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱
y=f(x)y=|f(x)|(上折變換)
把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱
10.互為反函數的定義域與值域的關系：原函數的定義域和值域分別是反函數的值域及定義域;
11.求反函數的步驟：①求反函數的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。
12.互為反函數的圖象間的關系：關于直線y=x對稱;
13.原函數與反函數的圖象交點可在直線y=x上，也可是關于直線y=x對稱的兩點
14.原函數與反函數具有相同的單調性
15、在定義域上單調的函數才具有反函數;反之，并不成立(如y=1/x)
16.復合函數的定義域求法：
①已知y=f(x)的定義域為A，求y=f[g(x)]的定義域時，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。
②已知y=f[g(x)]的定義域為A，求y=f(x)的定義域時，可令xÎA，求得g(x)的函數值范圍即可。
17.復合函數y=f[g(x)]的值域求法：
首先根據定義域求出u=g(x)的取值范圍A，
在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。
18.復合函數內層函數與外層函數在定義域內單調性相同，則函數是增函數;單調性不同則函數是減函數。增增、減減為增;增減、減增才減
①f(x)與f(x)+c(c為常數)具有相同的單調性
②f(x)與c·f(x)當c>0是單調性相同，當c<0時具有相反的單調性
③當f(x)恒不為0時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調性
④當f(x)恒為非負時，f(x)與具有相同的單調性
⑤當f(x)、g(x)都是增(減)函數時，f(x)+g(x)也是增(減)函數
設f(x)，g(x)都是增(減)函數，則f(x)·g(x)當f(x)，g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數，當兩者都恒小于0時是減(增)函數
19.二次函數求最值問題：根據拋物線的對稱軸與區間關系進行分析，
Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區間上，則
a>0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
a<0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區間上，則
a>0時：最小值在離對稱軸近的端點處取得，最大值在離對稱軸遠的端點處取得;
a<0時：最大值在離對稱軸近的端點處取得，最小值在離對稱軸遠的端點處取得
20.一元二次方程實根分布問題解法：
①將方程的根視為開口向上的二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標
②從判別式、對稱軸、區間端點函數值三方面分析限制條件
21.分式函數y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：
①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據y軸上的交點坐標確定曲線所在象限位置。
22.指數式運算法則23.對數式運算法則：
24.指數函數的圖像與底數關系：
在第一象限內，底數越大，圖像(逆時針方向)越靠近y軸。
25.對數函數的圖像與底數關系：
在第一象限內，底數越大，圖像(順時針方向)越靠近x軸。
26.比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較
27.抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：
①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數f(x)=kx(k¹0)
②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;
③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax
28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關于x=(a+b)/2對稱;
特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關于y軸對稱
29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值
2.過程與方法目標。通過“探究——感悟——練習”，采用探究、討論等方法進行。
3.情感態度與價值觀。通過對幾個特殊的二次函數的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育。
二、教學重、難點
1.重點。理解二次例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式。
2.難點：理解二次例函數的概念。
三、教具準備
從網上及相關資料搜集與本節課有關的材料，遠程資源。
四、教學過程
1.新課導入。（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）回憶一下什么是正比例函數、一次函數？它們的一般形式是怎樣的？
2.新課。問題1，正方體的六個面是全等的正方形，如果正方形的棱長為x，表面積為y，那么y與x的關系可表示為?[y=6x2
問題2，某工廠一種產品現在的年產量是20件，計劃今后兩年增加產量。如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的數量y將隨計劃所定的x的值而定，y與x之間的關系怎樣表示? y=20x2+40x+20
觀察以上三個問題所寫出來的三個函數關系式有什么特點?
經化簡后都具有y=ax2+bx+c的形式，(a，b，c是常數， a≠0 )。
我們把形如y=ax2+bx+c(其中a，b， c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數。
稱，a為二次項系數，ax2叫做二次項；b為一次項系數，bx叫做一次項；c為常數項。
又例：y=x2+ 2x–3
3.鞏固練習。
1.下列函數中，哪些是二次函數?
(1)y=3x-1 (2)y=3x2+2 (3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1
（5）y=x2-x(1+x)（6）y=x-2+x（7）y=1/2
（8）y=x(1-x)（9）(1)y=x2
2.做一做。（1）正方形邊長為x（cm），它的面積y（cm2）是多少？
（2）矩形的長是4厘米，寬是3厘米，如果將其長增加x厘米，寬增加2x厘米，則面積增加到y平方厘米，試寫出y與x的關系式。
3.分別說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：
（1） y=x2+1 （2）y=3x2+7x-12（3）y=2x(1-x)
4.若y=（m2-1）xm2-m函數為二次函數，則m的值為
。
4.例題講解。
例1：關于x的函數y=（m+1）xm2-m是二次函數， 求m的值。
解： 由題意可得
m2-m=2m+1≠0解得m=2
當m=2時，函數為二次函數。
注意：二次函數的二次項系數不能為零。
例2：已知二次函數y=x2+px+q，當x=1時，函數值為4，當x=2時，函數值為- 5， 求這個二次函數的解析式
5.隨堂練習。已知二次函數y=ax2+bx+c，當x=2時，函數值是3；當x=-2時，函數值是2。求這個二次函數的解析式。
（拓展題）已知關于x的二次函數，當x=－1時，函數值為10，當x=1時，函數值為4，當x=2時，函數值為7，求這個二次函數的解析式.(待定系數法)
解：設所求的二次函數為y=ax2+bx+c，由題意得：
a-b+c=10
a+b+c=14
4a+2b+c=7
解得：a=2，b=-3，c=5
所求的二次函數是y=2x2-3x+5
6.課堂小結。（1）使學生理解并掌握二次例函數的概念。（2）能判斷一個給定的函數是否為二次例函數，并會用待定系數法求函數解析式。（3）能根據實際問題中的條件確定二次例函數的解析式。
二、學情分析：
在初中學生已經學習過三步作圖法(列表，描點、連線)——“描點作圖”法，對于函數y=sinx，當x取值時，y的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難認識新函數y=sinx的圖象的真實面貌。因為在前面已經學習過三角函數線，這就為用幾何法作圖提供了基礎。動手作出函數y=sinx和y=cosx的圖象，學生不會感到困難。
三、教學目標：
依據教學大綱的要求，制訂如下三維教學目標：
知識目標是：1.理解幾何法作圖原理(難點);
2.掌握五點法作圖(重點);
3.了解三角函數圖象的變換作圖.
能力目標是：通過識記正、余弦曲線的形狀特征，培養學生分析問題、
解決問題的能力;強化學生"數形結合"的數學思想.
發展目標是：教給學生靈活的思維方法，培養學生的學習興趣和勇于
探索、勇于創新的精神，提高綜合素質.
四、設計理念：
教無定法，貴在得法.誘思探究學科教學論認為：在教學思想上是啟發式，在教學過程上是探究式，在教學價值上是發展式。德國教育學家第斯多惠也曾說過：教學的藝術不在于傳授的本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞.為了充分調動學生學習的積極性和激發學生的參與、探究和體驗的欲望，讓他們既動腦又動手，充分讓學生參與教學活動。同時利用多媒體電教手段提高學生的學習興趣.采用啟發、引導和學生探究、實踐、體驗相結合的教學方法;教給學生“多動手、勤動腦、敢猜想、善發現、重體驗、促發展”的學習方法.體現“教師是主導，學生是主體”的教學原則.使學生不但“學會”而且“會學”，并逐步感受到數學的美，產生成就感，從而極大地提高對數學的學習興趣.也只有這樣做，才能適應素質教育下培養“創新型”人才的需要.
五、教學程序：
本節課的教學過程設計，主要是從“三性”即“課堂流程的可操作性，知識目標的可接受性，學生主動學習的積極性”考慮的，對整個教學過程作如下安排：
教學程序圖如下：
第一部分：導入.先復習以前學過的函數圖象的作法——描點法，再讓學生觀察波動圖象演示儀，激起學生的興趣.指出這種形狀的曲線就是今天要研究的正、余弦函數的圖象.如何作出該曲線呢?
以設問和探索的方式導入新課，創設情境，激發思維，讓學生帶著問題，有目的地參與下列教學活動.
第二部分：幾何法作圖.引導學生在單位圓中作出特殊角的三角函數線，并進行平移，描點作圖.先作出y=sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的圖象，再依據誘導公式一平移圖象得出y=sinx，x∈R的圖象.同法得出y=cosx，x∈R的圖象.
第三部分：多媒體展示.教師利用多媒體展示用Flas制作的課件，規范作圖過程和步驟,統一認識y=sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的圖象，在此提醒學生在直角坐標系中，橫、縱坐標軸的長度單位必須一致。否則畫出的圖象不是正弦函數的真實面貌。
第四部分：“五點法”作圖.曲線形成后，讓學生觀察圖象的形狀特征，分析討論，提煉出五個關鍵點，歸納出“五點法”作圖步驟.
第五部分：總結.讓學生自己總結本節課的重點、難點和學習目標，教師再補充.這樣做，會檢測出學生聽課、分析、思考和掌握知識的情況，對本節課的教學起到畫龍點睛的作用.
如此設計，聯系了新舊知識，體現了從特殊到一般，再由一般到特殊的認知規律.在這種螺旋式上升的過程中，學生將通過自己的親自動手實踐,不僅學到本節課的知識，而且還將提高思維水平和認知能力.同時也體現了"教師為引導,學生為主體,體驗為紅線,探索得材料,研究獲本質,思維促發展"的教學思想.同時在教學過程中配以多媒體課件的展示，圖文并茂，簡潔明快，充分調動學生的各個感官，使學生學的生動，學的有趣，增大課堂容量，提高課堂效率.
為了突破幾何法作圖這個難點，制作了多媒體課件，將y=sinx，x∈R
和y=cosx，x∈R圖象的作法分解為三個問題來解決，降低了難度.通過展示課件，生動形象地再現三角函數線的平移和曲線形成過程.使原本枯燥地知識變得生動有趣，激發學生的興趣，調動學生的積極性(通過教學也的確是這樣的).及時讓學生跟著演示作圖，提高學生的動手能力、模仿能力、創造能力.直觀的動畫，不僅使學生愉快地接受新知識，而且將激發學生的創造性思維和想象力，使學生充分發揮其思維潛能，拓展思維空間.
用“三步曲”來突出“五點法”作圖這個重點.第一步設疑：“幾何法作圖.由于取點個越多，畫出的圖象也就比較精確，但也較為麻煩.在精確度要求不高的前提下，能否少定一些點，作出其簡圖呢?”問題的提出可以立刻抓住學生的好奇心，激起學生強烈的求知欲.第二步引導：讓學生觀察正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]和余弦函數y=cosx，x∈[0，2π]的圖象，啟發哪些點對決定圖象的形狀起著關鍵的作用呢?引導學生尋找出五個關鍵點.體現教師的主導作用;第三步小結：讓學生分組討論，互相補充，歸納出五點法作圖步驟.教師對學生討論的情況作出評價并指出作圖應注意的問題，然后小結：“五點法”可以比較簡捷地作出正弦、余弦函數的草圖，對于以后研究正弦、余弦函數的性質將起到重要的作用.這樣設計體現了“多動手、勤動腦、敢猜想、善發現”的學習方法，使學生真正成為教學的主體.
應用：畫出下列函數的簡圖：
(1)y=1+sinxx∈[0,2π];
(2)y=-cosxx∈[0,2π].
解:(1)按五個關鍵點列表:
利用正弦函數的性質描點畫圖(如下圖).
(2)按五個關鍵點列表:利用余弦函數的性質描點作圖(如下圖).
反饋練習:
1.在同一坐標系中用五點法分別畫出函數y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[-,]的簡圖.通過觀察兩條曲線,后者經過怎樣平行移動就可以得到前者?
2.觀察正弦函數和余弦函數,寫出滿足下列條件的x的區間:
(1)sinx>0(2)sinx<0(3)cosx>0(4)cosx<0
(例題、練習都用課件展示)
本節例題仍選用教材上的例題，但解答除“五點法”之外，又引導學生利用函數圖象的平移對稱變換來作圖.通過一題多解，可幫助學生加深對知識的認知程度，培養靈活的思維方式.學會遇到新問題時，善于調動所學過的舊知識，運用新舊知識間的聯系，增強分析問題和解決問題的能力.
反饋練習設計層次分明：練習1為鞏固基礎知識型，對課堂內容知識的再認識(五點作圖及圖象變換);練習2為提高能力型,是對正(余)弦函數圖象的靈活運用，由易到難，體現因材施教重效果,循序漸進促發展的教學理念.
3.函數定義：函數就是定義在非空數集A，B上的映射，此時稱數集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法則，值域構成了函數的三要素
4.相同函數的判斷方法：①定義域、值域;②對應法則(兩點必須同時具備)
5.求函數的定義域常涉及到的依據為①分母不為0;②偶次根式中被開方數不小于0;③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1;④零指數冪的底數不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響
6.函數解析式的求法：
①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數法④賦值法7.函數值域的求法：
①換元配方法。如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域。②判別式法。一個二次分式函數在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程，方程有實數解則判別式大于等于零，得到一個關于y的不等式，解出y的范圍就是函數的值域。
③單調性法。如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域
8.函數單調性的證明方法:
第一步：設x1、x2是給定區間內的兩個任意的值，且x1
第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;
第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負號，從而證得其增減性
9、函數圖像變換知識
①平移變換：
形如：y=f(x+a)：把函數y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移
|a|個單位，就得到y=f(x+a)的圖象。
形如：y=f(x)+a：把函數y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個單位，就得到y=f(x)+a的圖象
②.對稱變換y=f(x)y=f(-x),關于y軸對稱
y=f(x)y=-f(x),關于x軸對稱
③.翻折變換
y=f(x)y=f|x|,(左折變換)
把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱
y=f(x)y=|f(x)|(上折變換)
把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱
10.互為反函數的定義域與值域的關系：原函數的定義域和值域分別是反函數的值域及定義域;
11.求反函數的步驟：①求反函數的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。
12.互為反函數的圖象間的關系：關于直線y=x對稱;
13.原函數與反函數的圖象交點可在直線y=x上，也可是關于直線y=x對稱的兩點
14.原函數與反函數具有相同的單調性
15、在定義域上單調的函數才具有反函數;反之，并不成立(如y=1/x)
16.復合函數的定義域求法：
①已知y=f(x)的定義域為A，求y=f[g(x)]的定義域時，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。
②已知y=f[g(x)]的定義域為A，求y=f(x)的定義域時，可令xÎA，求得g(x)的函數值范圍即可。
17.復合函數y=f[g(x)]的值域求法：
首先根據定義域求出u=g(x)的取值范圍A，
在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。
18.復合函數內層函數與外層函數在定義域內單調性相同，則函數是增函數;單調性不同則函數是減函數。增增、減減為增;增減、減增才減
①f(x)與f(x)+c(c為常數)具有相同的單調性
②f(x)與c·f(x)當c>0是單調性相同，當c<0時具有相反的單調性
③當f(x)恒不為0時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調性
④當f(x)恒為非負時，f(x)與具有相同的單調性
⑤當f(x)、g(x)都是增(減)函數時，f(x)+g(x)也是增(減)函數
設f(x)，g(x)都是增(減)函數，則f(x)·g(x)當f(x)，g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數，當兩者都恒小于0時是減(增)函數
19.二次函數求最值問題：根據拋物線的對稱軸與區間關系進行分析，
Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區間上，則
a>0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
a<0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區間上，則
a>0時：最小值在離對稱軸近的端點處取得，最大值在離對稱軸遠的端點處取得;
a<0時：最大值在離對稱軸近的端點處取得，最小值在離對稱軸遠的端點處取得
20.一元二次方程實根分布問題解法：
①將方程的根視為開口向上的二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標
②從判別式、對稱軸、區間端點函數值三方面分析限制條件
21.分式函數y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：
①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據y軸上的交點坐標確定曲線所在象限位置。
22.指數式運算法則23.對數式運算法則：
24.指數函數的圖像與底數關系：
在第一象限內，底數越大，圖像(逆時針方向)越靠近y軸。
25.對數函數的圖像與底數關系：
在第一象限內，底數越大，圖像(順時針方向)越靠近x軸。
26.比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較
27.抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：
①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數f(x)=kx(k¹0)
②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;
③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax
28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關于x=(a+b)/2對稱;
特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關于y軸對稱
29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值
二．學情分析
學生通過對指數函數和對數函數的學習，已經初步掌握了如何去研究一類函數的方法，即由幾個特殊的函數的圖象，歸納出此類函數的一般的性質這一方法，為學習本節課打下了基礎。
三．教學目標
1．知識目標
（1）通過實例，了解冪函數的概念；
（2）會畫簡單冪函數的圖象，并能根據圖象得出這些函數的性質；
（3）了解冪函數隨冪指數改變的性質變化情況。
2．能力目標
在探究冪函數性質的活動中，培養學生觀察和歸納能力，培養學生數形結合的意識和思想。
3．情感目標
通過師生、生生彼此之間的討論、互動，培養學生合作、交流、探究的意識品質，同時讓學生在探索、解決問題過程中，獲得學習的成就感。
四．教學重點常見的冪函數的圖象和性質。
五．教學難點畫冪函數的圖象引導學生概括出冪函數性質。
六．教學用具多媒體
七．教學過程
（一）創設情境（多媒體投影）
問題一：下列問題中的函數各有什么特征？
（1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她應支付p＝w元．這里p是w的函數．（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積為S＝a2．這里S是a的函數．（3）如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積為V＝a3．這里V是a的函數．（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長為a＝．這里a是S的函數．（5）如果某人t（s）內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度為v＝t-1（km／s）．這里v是t的函數．由學生討論、總結，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自變量的若干次冪的形式．
問題二：這五個函數關系式從結構上看有什么共同的特點嗎？
這時，學生觀察可能有些困難，老師提示，可以用x表示自變量，用y表示函數值，上述函數式變成：y＝xa的函數，其中x是自變量，a是實常數．由此揭示課題：今天這節課，我們就來研究：§2.3冪函數
（二）、建立模型
定義：一般地，函數y＝xa叫作冪函數，其中x是自變量，a是實常數。（投影冪函問題二：數的定義。）
深化認知（1）下列函數是冪函數的是：
A．y=2x+1B．y=3x2C．y=x-3D．y=1
（2）冪函數與指數函數有什么聯系和區別？
學生回答，老師點評。
引導：有了冪函數的概念后，我們接下來做什么？―――研究冪函數的性質。
通過什么方式來研究？――――――畫函數的圖象。
為使作圖高效，我們可先做點什么―――分析函數的定義域、奇偶性。
（三）問題探究1.對于冪函數y＝xa，討論當a＝1，2，3，，－1時的函數性質．填表
以上問題給學生留出充分時間去探究，教師引導學生從函數解析式出發來研究函數性質．2.在同一坐標系中，畫出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像，并歸納出它們具有的共同性質．
學生回答，老師點評：冪函數的性質．
（1）函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像都過點（1，1）；（2）函數y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函數，函數y＝x2是偶函數;（3在（0，＋∞）上,函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝是增函數，函數y＝x-1是減函數；（4）在第一象限內，函數y＝x-1圖像向上與y軸無限接近；向右與x軸無限接近。
（四）解釋應用
例1．寫出下列函數的定義域，并指出奇偶性：（投影）
①y=x②y=x③y=x④y=x
學生解答，并歸納解決辦法。引導學生與指數函數、對數函數對照比較。（演示）
例2．比較下列各組中兩個值的大小，并說明理由：
①0.75，0.76；②(-0.95)，(-0.96)；
③0.23，0.24；④0.31，0.31
學生思考、作答，教師引導學生敘述語言的邏輯性。注意：由于學生對冪函數還不是很熟悉，所以在講評中要刻意體現出冪函數圖像的畫法，即再一次讓學生體會根據解析式來畫圖像例題這一基本思路．
（五）拓展延伸
探究：①已知(a+1)<(3-2a),試求a的取值范圍。
②觀察冪函數的定義域對其奇偶性有什么影響？
（六）歸納小結
今天的學習內容和方法有哪些？你有哪些收獲和經驗？
（七）布置作業：
課本第87頁2、3題
思考：冪函數y=(m-3m-3)x在區間上是減函數，求m的值。
附：板書設計
課題…………
問題一
（1）……………….
（2）………………
（3）……………….
（4）………………
（5）……………….
問題二：
………………………
……………………….
定義：…………
…………………
填表
冪函數的性質．
（1）………………
（2）………………
（3）………………
（4）………………
例1……………
①y=x②y=x③y=x④y=x
例2．
（1）………………
（2）………………
（3）………………
（4）………………
拓展延伸……………
布置作業…………….
教學后記
（1）本節課開始時要注意用相關熟悉例子引入新課。
1.使學生了解反函數的概念；
2.使學生會求一些簡單函數的反函數；
3.培養學生用辯證的觀點觀察、分析解決問題的能力。
教學重點
1.反函數的概念；
2.反函數的求法。
教學難點
反函數的概念。
教學方法
師生共同討論
教具裝備
幻燈片2張
第一張：反函數的定義、記法、習慣記法。（記作A）；
第二張：本課時作業中的預習內容及提綱。
教學過程
（I）講授新課
（檢查預習情況）
師：這節課我們來學習反函數（板書課題）§2.4.1反函數的概念。
同學們已經進行了預習，對反函數的概念有了初步的了解，誰來復述一下反函數的定義、記法、習慣記法？
生：（略）
（學生回答之后，打出幻燈片A）。
師：反函數的定義著重強調兩點：
（1）根據y=f(x)中x與y的關系，用y把x表示出來，得到x=φ（y）；
（2）對于y在c中的任一個值，通過x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它對應。
師：應該注意習慣記法是由記法改寫過來的。
師：由反函數的定義，同學們考慮一下，怎樣的映射確定的函數才有反函數呢？
生：一一映射確定的函數才有反函數。
（學生作答后，教師板書，若學生答不來，教師再予以必要的啟示）。
師：在y=f(x)中與y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x與后者中的x都屬于同一個集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自變量，y是函數值；后者y是自變量，x是函數值。）
在y=f(x)中與y=f–1(x)中的x都是自變量，y都是函數值，即x、y在兩式中所處的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）
由此，請同學們談一下，函數y=f(x)與它的反函數y=f–1(x)兩者之間，定義域、值域存在什么關系呢？
生：（學生作答，教師板書）函數的定義域，值域分別是它的反函數的值域、定義域。
師：從反函數的概念可知：函數y=f(x)與y=f–1(x)互為反函數。
從反函數的概念我們還可以知道，求函數的反函數的方法步驟為：
（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；
（2）將x=f–1(y)改寫成y=f–1(x)，即對調x=f–1(y)中的x、y。
（3）指出反函數的定義域。
下面請同學自看例1
（II）課堂練習課本P68練習1、2、3、4。
（III）課時小結
本節課我們學習了反函數的概念，從中知道了怎樣的映射確定的函數才有反函數并求函數的反函數的方法步驟，大家要熟練掌握。
（IV）課后作業
一、課本P69習題2.41、2。
二、預習：互為反函數的函數圖象間的關系，親自動手作題中要求作的圖象。
板書設計
課題：求反函數的方法步驟：
定義：（幻燈片）
注意：小結
一一映射確定的
過程：一、提出課題：“三角函數”
回憶初中學過的“銳角三角函數”——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現在，我們研究的三角函數是“任意角的三角函數”，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術中都有廣泛應用。
二、角的概念的推廣
1．回憶：初中是任何定義角的？（從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”
2．講解：“旋轉”形成角（P4）
突出“旋轉”注意：“頂點”“始邊”“終邊”
“始邊”往往合于軸正半軸
3．“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。
記法：角或可以簡記成
4．由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。
1°角有正負之分如：a=210°b=-150°g=-660°
2°角可以任意大
實例：體操動作：旋轉2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）
3°還有零角一條射線，沒有旋轉
三、關于“象限角”
為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角
角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）
例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角
585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等
四、關于終邊相同的角
1．觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同
2．終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與個周角的和
390°=30°+360°
-330°=30°-360°30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
3．所有與a終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合
即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和
4．例一（P5略）
五、小結：1°角的概念的推廣
用“旋轉”定義角角的范圍的擴大
(1)能通過閱讀理解讀懂題目中文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本，弄清題中出現的量及其數學含義．
(2)能根據實際問題的具體背景，進行數學化設計，將實際問題轉化為數學問題，并調動函數的相關性質解決問題．
(3)能處理有關幾何問題，增長率的問題，和物理方面的實際問題．
2.通過聯系實際的引入問題和解決帶有實際意義的某些問題，培養學生分析問題，解決問題的能力和運用數學的意識，也體現了函數知識的應用價值，也滲透了訓練的價值．
3.通過對實際問題的研究解決，滲透了數學建模的思想．提高了學生學習數學的興趣，使學生對函數思想等有了進一步的了解．
教學建議
教材分析
（1）本小節內容是全章知識的綜合應用．這一節的出現體現了強化應用意識的要求，讓學生能把數學知識應用到生產，生活的實際中去，形成應用數學的意識．所以培養學生分析解決問題的能力和運用數學的意識是本小節的重點，根據實際問題建立數學模型是本小節的難點．
（2）在解決實際問題過程中常用到函數的知識有：函數的概念，函數解析式的確定，指數函數的概念及其性質，對數概念及其性質，和二次函數的概念和性質．在方法上涉及到換元法，配方法，方程的思想，數形結合等重要的思方法．．事業本節的學習，既是對知識的復習，也是對方法和思想的再認識．
教法建議
（1）本節中處理的均為應用問題，在題目的敘述表達上均較長，其中要分析把握的信息量較多．事業處理這種大信息量的閱讀題首先要在閱讀上下功夫，找出關鍵語言，關鍵數據，特別是對實際問題中數學變量的隱含限制條件的提取尤為重要．
（2）對于應用問題的處理，第二步應根據各個量的關系，進行數學化設計建立目標函數，將實際問題通過分析概括，抽象為數學問題，最后是用數學方法將其化為常規的函數問題(或其它數學問題)解決．此類題目一般都是分為這樣三步進行．
（3）在現階段能處理的應用問題一般多為幾何問題，利潤最大，費用最省問題，增長率的問題及物理方面的問題．在選題時應以以上幾方面問題為主．
教學設計示例
函數初步應用
教學目標
1.能夠運用常見函數的性質及平面幾何有關知識解決某些簡單的實際問題．
2.通過對實際問題的研究，培養學生分析問題，解決問題的能力
3.通過把實際問題向數學問題的轉化，滲透數學建模的思想，提高學生用數學的意識，及學習數學的興趣．
教學重點，難點
重點是應用問題的閱讀分析和解決．
難點是根據實際問題建立相應的數學模型
教學方法
師生互動式
教學用具
投影儀
教學過程
一.提出問題
數學來自生活，又應用于生活和生產實踐．而實際問題中又蘊涵著豐富的數學知識，數學思想與方法．如剛剛學過的函數內容在實際生活中就有著廣泛的應用．今天我們就一起來探討幾個應用問題．
問題一：如圖，是邊長為2的正三角形，這個三角形在直線的左方被截得圖形的面積為，求函數的解析式及定義域．(板書)
(作為應用問題由于學生是初次研究，所以可先選擇以數學知識為背景的應用題，讓學生研究)
首先由學生自己閱讀題目，教師可利用計算機讓直線運動起來，觀察三角形的變化，由學生提出研究方法．由學生說出由于圖形的不同計算方法也不同，應分類討論．分界點應在，再由另一個學生說出面積的計算方法．
當時，，(采用直接計算的方法)
當時，
．(板書)
(計算第二段時，可以再畫一個相應的圖形，如圖)
綜上，有，
此時可以問學生這是什么函數?定義域應怎樣計算?讓學生明確是分段函數的前提條件下，求出定義域為．(板書)
問題解決后可由教師簡單小結一下研究過程中的主要步驟(1)閱讀理解；(2)建立目標函數；(3)按要求解決數學問題．
下面我們一起看第二個問題
問題二：某工廠制定了從1999年底開始到2005年底期間的生產總值持續增長的兩個三年計劃，預計生產總值年平均增長率為，則第二個三年計劃生產總值與第一個三年計劃生產總值相比，增長率為多少?(投影儀打出)
首先讓學生搞清增長率的含義是兩個三年總產值之間的關系問題，所以問題轉化為已知年增長率為，分別求兩個三年計劃的總產值．
設1999年總產值為，第一步讓學生依次說出2000年到2005年的年總產值，它們分別為：
2000年2003年
2001年2004年
2002年2005年(板書)
第二步再讓學生分別算出第一個三年總產值和第二個三年總產值
=++
=．
=++
=．(板書)
第三步計算增長率．
．(板書)
計算后教師可以讓學生總結一下關于增長率問題的研究應注意的問題．最后教師再指出關于增長率的問題經常構建的數學模型為，其中為基數，為增長率，為時間．所以經常會用到指數函數有關知識加以解決．
總結后再提出最后一個問題
問題三：一商場批發某種商品的進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促進銷售，擬采用買一個這種商品贈送一個小禮品的辦法，試驗表明，禮品價格為1元時，銷售量可增加10%，且在一定范圍內禮品價格每增加1元銷售量就可增加10%．設未贈送禮品時的銷售量為件．
(1)寫出禮品價值為元時，所獲利潤(元)關于的函數關系式;
(2)請你設計禮品價值，以使商場獲得最大利潤．(為節省時間，應用題都可以用投影儀打出)
題目出來后要求學生認真讀題，找出關鍵量．再引導學生找出與利潤相關的量．包括銷售量，每件的利潤及禮品價值等．讓學生思考后，列出銷售量的式子．再找學生說出每件商品的利潤的表達式，完成第一問的列式計算．
解：．(板書)
完成第一問后讓學生觀察解析式的特點，提出如何求這個函數的最大值(此出最值問題是學生比較陌生的，方法也是學生不熟悉的)所以學生遇到思維障礙，教師可適當提示，如可以先具體計算幾個值看一看能否發現規律，若看不出規律，能否把具體計算改進一下，再計算中能體現它是最大?也就是讓學生意識到應用最大值的概念來解決問題．最終將問題概括為兩個不等式的求解即
(2)若使利潤最大應滿足
同時成立即解得
當或時，有最大值．
由于這是實際應用問題，在答案的選擇上應考慮價值為9元的禮品贈送，可獲的最大利潤．
三．小結
通過以上三個應用問題的研究，要學生了解解決應用問題的具體步驟及相應的注意事項．
四．作業略
五．板書設計
2．9函數初步應用
問題一：
解：
問題二
分析
函數圖象的性質。
2、利用幾何畫板的動態性，從變化的幾何圖形中，尋找不變的幾
何規律。
3、學會作簡單函數的圖象，并對圖象作初步了解。
4、通過本節課的教學，把幾何畫板作為學生認知的工具，從而激
發學生學習和探索數學的興趣。
活動重點：圖形的性質和規律的探索
活動難點：幾何畫板的操作（作函數的圖象）
活動設施：微機室（有液晶投影儀和大屏幕或大彩電）；軟件：windows操作平臺、幾何畫板、office2000等、教師準備好的五個畫板文件：hstx1.gsp、hstx2.gsp、hstx3.gsp、ymdl1.gsp、ymdl2.gsp。
活動過程：
一、展示活動主題和目標：
二、活動過程：
操作練習一：
按下列步驟進行操作，并回答相應的問題。
1、打開c:\sketch\hstx1.gsp畫板文件；
2、拖動點E和點F沿坐標軸運動（或雙擊按鈕“動畫1”），同時觀看解析式中的k和b的變化。
①當k>0時，圖象經過哪幾個象限？
②當k<0時，圖象經過哪幾個象限？
3、雙擊顯示按鈕后，在k>0和k<0兩種情況下，拖動點P沿直線移動，觀察y隨x怎樣變化？（或雙擊動畫2按鈕，單擊鼠標左鍵動畫停止，要繼續動畫，再雙擊動畫2按鈕）
4、先在坐標系內作出直線（或直接打開文件：c:\sketch\hstx2.gsp）
附：作圖步驟
①點擊“文件”菜單中的“新繪圖”命令；
②用“直尺工具”中的直線工具，在繪圖板內畫一直線，并用文本工具給直線上的兩個空心點加上標簽A和B；
③用“選擇工具”選中直線后，點擊“度量”菜單中的“方程”命令，得坐標系和直線的方程；然后，再進行以下操作，并回答問題：
（1）用鼠標拖動直線進行平移，k和b中哪個變，哪個不變？
（2）當直線通過原點時，b為多少？此時函數又叫什么函數？
（3）拖動點A，使直線繞點B旋轉，觀察直線的傾斜程度與k之間的關系？
操作練：
1、打開文件：c:\sketch\hstx3.gsp
2、保持a不變，分別上下移動b、c改變b、c的大小時，拋物線的形狀是否變化？上下移動a改變a的大小，注意觀看拋物線的開口方向與什么有關？張口程度與什么有關？
3、上下移動c改變c的大小，看拋物線怎樣變化？
4、分別改變a、b的大小，看拋物線的對稱軸是否發生變化？由3和4可知，拋物線的對稱軸與什么有關？與什么無關？
5、c保持不變，改變a、b時，拋拋線總是經過哪一點？
6、拋物線與x軸交點的個數與b2-4ac的符號有什么關系？
7、雙擊顯示按鈕，再雙擊動畫按鈕，觀察y隨x怎樣變化？
8、當a=0時，函數的圖象是什么？
操作練習三：
打開文件：c:\sketch\ymdl1.gsp
圓的兩弦AB、CD相交于圓內一點P，我們得到，如果把點P拖到圓外，上述結論是否成立？如果點在圓上呢？
操作練習四：作函數y=x2-2的圖象
作圖步驟：
1、擊“文件”菜單中“新繪圖”命令，建立新的繪圖板；
2、點擊“圖表”菜單中的“建立坐標軸”；
3、在橫坐標軸上任找一點，用“文本工具”，加上標簽“C”，選中C點，單擊“度量”菜單中的“坐標”命令，得度量值，C：（-2.80,0.00）,再用“選擇工具”選擇它。（度量值變黑）
4、點擊“度量”菜單中的“計算”命令，出現計算器；
5、點擊“數值”下拉式菜單中的“點C”的“x”值，按“確定”按紐，得Xc=-2.80再用“選擇工具”選擇它。（度量值變黑）
6、點擊“度量”菜單中的“計算”命令，出現計算器，再點擊“數值”下拉式菜單中的“x[c]”，分別按計算器上的“∧”、“2”、“-”、“2”、“確定”按紐。得到代數式的值：xc2-2=14.45.
7、用“選擇工具”，分別選中Xc=-2.80xc2-2=14.45.（選取第二個對象要按鍵盤上的“shift”鍵的同時再選）；
8、點擊“圖表”菜單中的“繪出（x，y）”，得到點“E”。（如果看不到點E，說明它不在當前的視窗內，此時可調整C點，使該點出現在窗口內）；
9、分別選中點E和點C，點擊“作圖”菜單中的“軌跡”，得二次函數的圖象。
操作練習五：
運用練習四的原理，繪制其它函數的圖象（包括學過的和沒有學過的），談談你對所繪函數圖象的認識。
初中數學活動課教案一
函數圖象的性質
活動目標：
1、利用幾何畫板的形象性，通過量的變化，驗證并進一步研究
函數圖象的性質。
2、利用幾何畫板的動態性，從變化的幾何圖形中，尋找不變的幾
何規律。
3、學會作簡單函數的圖象，并對圖象作初步了解。
4、通過本節課的教學，把幾何畫板作為學生認知的工具，從而激
發學生學習和探索數學的興趣。
活動重點：圖形的性質和規律的探索
活動難點：幾何畫板的操作（作函數的圖象）
活動設施：微機室（有液晶投影儀和大屏幕或大彩電）；軟件：windows操作平臺、幾何畫板、office2000等、教師準備好的五個畫板文件：hstx1.gsp、hstx2.gsp、hstx3.gsp、ymdl1.gsp、ymdl2.gsp。
活動過程：
一、展示活動主題和目標：
二、活動過程：
操作練習一：
按下列步驟進行操作，并回答相應的問題。
1、打開c:\sketch\hstx1.gsp畫板文件；
2、拖動點E和點F沿坐標軸運動（或雙擊按鈕“動畫1”），同時觀看解析式中的k和b的變化。
①當k>0時，圖象經過哪幾個象限？
②當k<0時，圖象經過哪幾個象限？
3、雙擊顯示按鈕后，在k>0和k<0兩種情況下，拖動點P沿直線移動，觀察y隨x怎樣變化？（或雙擊動畫2按鈕，單擊鼠標左鍵動畫停止，要繼續動畫，再雙擊動畫2按鈕）
4、先在坐標系內作出直線（或直接打開文件：c:\sketch\hstx2.gsp）
附：作圖步驟
①點擊“文件”菜單中的“新繪圖”命令；
②用“直尺工具”中的直線工具，在繪圖板內畫一直線，并用文本工具給直線上的兩個空心點加上標簽A和B；
③用“選擇工具”選中直線后，點擊“度量”菜單中的“方程”命令，得坐標系和直線的方程；然后，再進行以下操作，并回答問題：
（1）用鼠標拖動直線進行平移，k和b中哪個變，哪個不變？
（2）當直線通過原點時，b為多少？此時函數又叫什么函數？
（3）拖動點A，使直線繞點B旋轉，觀察直線的傾斜程度與k之間的關系？
操作練：
1、打開文件：c:\sketch\hstx3.gsp
2、保持a不變，分別上下移動b、c改變b、c的大小時，拋物線的形狀是否變化？上下移動a改變a的大小，注意觀看拋物線的開口方向與什么有關？張口程度與什么有關？
3、上下移動c改變c的大小，看拋物線怎樣變化？
4、分別改變a、b的大小，看拋物線的對稱軸是否發生變化？由3和4可知，拋物線的對稱軸與什么有關？與什么無關？
5、c保持不變，改變a、b時，拋拋線總是經過哪一點？
6、拋物線與x軸交點的個數與b2-4ac的符號有什么關系？
7、雙擊顯示按鈕，再雙擊動畫按鈕，觀察y隨x怎樣變化？
8、當a=0時，函數的圖象是什么？
操作練習三：
打開文件：c:\sketch\ymdl1.gsp
圓的兩弦AB、CD相交于圓內一點P，我們得到，如果把點P拖到圓外，上述結論是否成立？如果點在圓上呢？
操作練習四：作函數y=x2-2的圖象
作圖步驟：
1、擊“文件”菜單中“新繪圖”命令，建立新的繪圖板；
2、點擊“圖表”菜單中的“建立坐標軸”；
3、在橫坐標軸上任找一點，用“文本工具”，加上標簽“C”，選中C點，單擊“度量”菜單中的“坐標”命令，得度量值，C：（-2.80,0.00）,再用“選擇工具”選擇它。（度量值變黑）
4、點擊“度量”菜單中的“計算”命令，出現計算器；
5、點擊“數值”下拉式菜單中的“點C”的“x”值，按“確定”按紐，得Xc=-2.80再用“選擇工具”選擇它。（度量值變黑）
6、點擊“度量”菜單中的“計算”命令，出現計算器，再點擊“數值”下拉式菜單中的“x[c]”，分別按計算器上的“∧”、“2”、“-”、“2”、“確定”按紐。得到代數式的值：xc2-2=14.45.
7、用“選擇工具”，分別選中Xc=-2.80xc2-2=14.45.（選取第二個對象要按鍵盤上的“shift”鍵的同時再選）；
8、點擊“圖表”菜單中的“繪出（x，y）”，得到點“E”。（如果看不到點E，說明它不在當前的視窗內，此時可調整C點，使該點出現在窗口內）；
(1)能通過閱讀理解讀懂題目中文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本，弄清題中出現的量及其數學含義．
(2)能根據實際問題的具體背景，進行數學化設計，將實際問題轉化為數學問題，并調動函數的相關性質解決問題．
(3)能處理有關幾何問題，增長率的問題，和物理方面的實際問題．
2.通過聯系實際的引入問題和解決帶有實際意義的某些問題，培養學生分析問題，解決問題的能力和運用數學的意識，也體現了函數知識的應用價值，也滲透了訓練的價值．
3.通過對實際問題的研究解決，滲透了數學建模的思想．提高了學生學習數學的興趣，使學生對函數思想等有了進一步的了解．
教學建議
教材分析
（1）本小節內容是全章知識的綜合應用．這一節的出現體現了強化應用意識的要求，讓學生能把數學知識應用到生產，生活的實際中去，形成應用數學的意識．所以培養學生分析解決問題的能力和運用數學的意識是本小節的重點，根據實際問題建立數學模型是本小節的難點．
（2）在解決實際問題過程中常用到函數的知識有：函數的概念，函數解析式的確定，指數函數的概念及其性質，對數概念及其性質，和二次函數的概念和性質．在方法上涉及到換元法，配方法，方程的思想，數形結合等重要的思方法．．事業本節的學習，既是對知識的復習，也是對方法和思想的再認識．
教法建議
（1）本節中處理的均為應用問題，在題目的敘述表達上均較長，其中要分析把握的信息量較多．事業處理這種大信息量的閱讀題首先要在閱讀上下功夫，找出關鍵語言，關鍵數據，特別是對實際問題中數學變量的隱含限制條件的提取尤為重要．
（2）對于應用問題的處理，第二步應根據各個量的關系，進行數學化設計建立目標函數，將實際問題通過分析概括，抽象為數學問題，最后是用數學方法將其化為常規的函數問題(或其它數學問題)解決．此類題目一般都是分為這樣三步進行．
（3）在現階段能處理的應用問題一般多為幾何問題，利潤最大，費用最省問題，增長率的問題及物理方面的問題．在選題時應以以上幾方面問題為主．
教學設計示例
函數初步應用
教學目標
1.能夠運用常見函數的性質及平面幾何有關知識解決某些簡單的實際問題．
2.通過對實際問題的研究，培養學生分析問題，解決問題的能力
3.通過把實際問題向數學問題的轉化，滲透數學建模的思想，提高學生用數學的意識，及學習數學的興趣．
教學重點，難點
重點是應用問題的閱讀分析和解決．
難點是根據實際問題建立相應的數學模型
教學方法
師生互動式
教學用具
投影儀
教學過程
一.提出問題
數學來自生活，又應用于生活和生產實踐．而實際問題中又蘊涵著豐富的數學知識，數學思想與方法．如剛剛學過的函數內容在實際生活中就有著廣泛的應用．今天我們就一起來探討幾個應用問題．
問題一：如圖，是邊長為2的正三角形，這個三角形在直線的左方被截得圖形的面積為，求函數的解析式及定義域．(板書)
(作為應用問題由于學生是初次研究，所以可先選擇以數學知識為背景的應用題，讓學生研究)
首先由學生自己閱讀題目，教師可利用計算機讓直線運動起來，觀察三角形的變化，由學生提出研究方法．由學生說出由于圖形的不同計算方法也不同，應分類討論．分界點應在，再由另一個學生說出面積的計算方法．
當時，，(采用直接計算的方法)
當時，
．(板書)
(計算第二段時，可以再畫一個相應的圖形，如圖)
綜上，有，
此時可以問學生這是什么函數?定義域應怎樣計算?讓學生明確是分段函數的前提條件下，求出定義域為．(板書)
問題解決后可由教師簡單小結一下研究過程中的主要步驟(1)閱讀理解；(2)建立目標函數；(3)按要求解決數學問題．
下面我們一起看第二個問題
問題二：某工廠制定了從1999年底開始到2005年底期間的生產總值持續增長的兩個三年計劃，預計生產總值年平均增長率為，則第二個三年計劃生產總值與第一個三年計劃生產總值相比，增長率為多少?(投影儀打出)
首先讓學生搞清增長率的含義是兩個三年總產值之間的關系問題，所以問題轉化為已知年增長率為，分別求兩個三年計劃的總產值．
設1999年總產值為，第一步讓學生依次說出2000年到2005年的年總產值，它們分別為：
2000年2003年
2001年2004年
2002年2005年(板書)
第二步再讓學生分別算出第一個三年總產值和第二個三年總產值
=++
=．
=++
=．(板書)
第三步計算增長率．
．(板書)
計算后教師可以讓學生總結一下關于增長率問題的研究應注意的問題．最后教師再指出關于增長率的問題經常構建的數學模型為，其中為基數，為增長率，為時間．所以經常會用到指數函數有關知識加以解決．
總結后再提出最后一個問題
問題三：一商場批發某種商品的進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促進銷售，擬采用買一個這種商品贈送一個小禮品的辦法，試驗表明，禮品價格為1元時，銷售量可增加10%，且在一定范圍內禮品價格每增加1元銷售量就可增加10%．設未贈送禮品時的銷售量為件．
(1)寫出禮品價值為元時，所獲利潤(元)關于的函數關系式;
(2)請你設計禮品價值，以使商場獲得最大利潤．(為節省時間，應用題都可以用投影儀打出)
題目出來后要求學生認真讀題，找出關鍵量．再引導學生找出與利潤相關的量．包括銷售量，每件的利潤及禮品價值等．讓學生思考后，列出銷售量的式子．再找學生說出每件商品的利潤的表達式，完成第一問的列式計算．
解：．(板書)
完成第一問后讓學生觀察解析式的特點，提出如何求這個函數的最大值(此出最值問題是學生比較陌生的，方法也是學生不熟悉的)所以學生遇到思維障礙，教師可適當提示，如可以先具體計算幾個值看一看能否發現規律，若看不出規律，能否把具體計算改進一下，再計算中能體現它是最大?也就是讓學生意識到應用最大值的概念來解決問題．最終將問題概括為兩個不等式的求解即
(2)若使利潤最大應滿足
同時成立即解得
當或時，有最大值．
由于這是實際應用問題，在答案的選擇上應考慮價值為9元的禮品贈送，可獲的最大利潤．
三．小結
通過以上三個應用問題的研究，要學生了解解決應用問題的具體步驟及相應的注意事項．
四．作業略
五．板書設計
2．9函數初步應用
問題一：
解：
問題二
分析
