時間：2023-02-20 11:05:24
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【中圖分類號】G40-03 【文獻標識碼】 【文章編號】
[教學內容]蘇教版五年級數學（上冊）第12－13頁例1、例2、例3。
[教材簡析]平行四邊形面積的計算共分兩課時教學。第一課時主要是引導學生探索平行四邊形的面積公式，第二課時主要是應用平行四邊形的面積公式。本設計是第一課時。教材安排了三道例題。例1從比較方格紙上每組中的兩個圖形面積是否相等入手，引導學生把少復雜的圖形轉化成相對簡單的熟悉的圖形，讓學生初步感受轉化方法在圖形面積計算中的作用，并為進一步的探索活動提供基本思路。例2引導學生通過平移把平行四邊形轉化為長方形，教材一方面突出了平移在轉化過程中的應用，另一方面也鼓勵學生用不同的方法實現轉化的目的。例3的重點則放在探索平行四邊形與轉化成的長方形之間的聯系上。
[教學目標]
1、懂得用轉化的方法把平行四邊形轉化成長方形，探索出平行四邊形面積計算公式，并能應用公式計算平行四邊形的面積。
2、理解圖形之間的內在聯系，體驗探究平行四邊形面積公式的過程。
3、培養學生的操作、比較、抽象、概括能力。感受數學與生活的聯系。
[教學重點]掌握平行四邊形面積公式。能正確計算平行四邊形的面積。
[教學難點]平行四邊形面積公式的探究推導過程。
[教學過程]
一、談話導入
同學們，上節課我們進行了《面積是多少》的動手操作實踐活動。你們還記得求不規則圖形面積的方法嗎？（學生回顧并交流了上節課學習的“四種”不規則圖形面積的計算方法）這節課，我們就運用這些方法來探究“平行四邊形面積的計算”這個問題。板書課題：平行四邊形面積的計算。
二、探究新知
1、課件出示例1插圖。判斷每組中的兩個圖形面積是否相等。
（1）觀察每組的兩個圖形說一說自己判斷的方法。
生1：我是通過數方格的方法知道每組的兩個圖形面積相等的。
生2：我是通過平移的方法知道每組的兩個圖形面積相等的。
根據學生的回答師板書：
方法一：數方格法。
方法二：平移法。
（2）師問：比較上面兩種方法你們認為哪種方法比較簡便呢？學生經過比較和交流，一致認為方法二比較簡便。
（3）師小結：把每組左邊的圖形經過分割平移，就轉化成了和右邊一樣的圖形。轉化法是我們以后經常要用到的方法。教師利用課件演示。
2、課件出示例2插圖。你能把平行四邊形轉化成長方形嗎？
（1）師問：怎樣把平行四邊形轉化成長方形呢？（以小組為單位，拿出課前準備的方格紙、直尺和剪刀動手操作）。
（2）組織學生匯報。
①從平行四邊形左邊（或右邊）剪下一個直角三角形，然后向右（或向左）平移，可以拼成一個長方形。
②將平行四邊形沿高剪下，然后向右平移，也可以拼成一個長方形。
設計說明：學生可能想出很多方法，分割平移轉化成長方形，讓學生體驗各種方法的合理性，并對各種方法進行比較，掌握簡單、易于操作的方法，并且在頭腦中形成表象
3、課件出示例3。
（1） 要求學生從教材第127頁上剪下一個平行四邊形。學生動手操作。
（2）組織學生把它轉化成長方形，求出面積。完成例3中的表格（以小組為單位完成填表）。
（3）指導討論：（課件出示討論提綱）
① 轉化成的長方形與平行四邊形面積相等嗎？
②長方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么關系。
③根據長方形的面積公式，怎樣求平行四邊形的面積呢？
（4）、教師啟發性小結：我們用割拼法把平行四邊形轉化成長方形，什么發生了變化？，從什么變成了什么？，什么沒有變？。再想一想，平行四邊形的底等于長方形的什么？，平行四邊形的高等于什么?，長方形的面積＝長×寬，那么平行四邊形的面積呢？板書：（略）。
如果用S.a.b分別表示平行四邊形的面積、底和高。那么平行四邊形的面積公式可以寫成S＝ab
（5）教學“試一試”（先獨立完成，集體反饋時指名說一說所應用的面積公式。）
設計說明：學生經過動手操作、轉化、計算、填表、比較等一系列實驗活動，溝通了新舊知識的內在聯系，探究出了平行四邊形的面積公式。
三、鞏固練習
1、選擇題、（把正確答案前的編號填在括號里）
右圖的面積是（ ）
①15m ②15m2 ③15cm2
2、操作練習：（先畫一個平行四邊形，測量出有關數據，再計算平行四邊形的面積。）
設計說明：練習為了培養學生的動手操作能力和應用公式計算面積的能力。
四、全課總結
通過本節課的學習，你有哪些收獲？還有什么不懂的問題？ 同桌交流自己的體會培養學生的抽象概括能力。
[資料鏈接]《新課標》九年義務教育學段的“空間與圖形”部分，和平行四邊形有關的知識有：
1、平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2、平行四邊形面積＝底×高。
學生對這個問題幾乎一致的回答是:“必須知道這個平行四邊形的底和高。”
小學數學課堂上,這樣的師生問答非常普遍。教師問得好,可以啟發學生思維,使學生形成正確概念;問得不好,就可能禁錮學生的思維,甚至導致學生形成錯誤概念。
前面這一問一答,連起來說,就是:要想求出一個平行四邊形的面積,就必須知道這個平行四邊形的底和高。
這個結論或許會使學生形成這樣一個思維定式:只要遇到求平行四邊形面積的問題,就必須先求平行四邊形的底和高。如果求不出底和高,自然就求不出平行四邊形的面積。這樣一來,學生如果遇到下面的問題,可能就無從下手了。
問題:在下圖中,三角形ABE的面積為24平方厘米,求平行四邊形ABCD的面積。
翻閱一些《小學數學教案選》發現,類似提問還比較普遍,比如:
要求出長方形的周長,就必須知道這個長方形的什么?(答:長和寬)
圓錐和圓柱的體積在什么條件下存在三分之一的倍數關系?(答:等底等高)
要求一個小數的倒數,就必須先把它化為分數。
為了說明這種語言的問題所在,下面我從邏輯和數學兩個方面進行分析。
從邏輯的角度看,一個命題(在邏輯學中稱為“判斷”)與它的逆否命題是等價的,它的逆命題與它的否命題是等價的。但命題與它的逆命題和否命題并不等價。這就是說,一個真命題的逆命題和否命題未必是真的。根據平行四邊形面積公式,可以知道命題——如果已知一個平行四邊形的底和高,則可以求出這個平行四邊形的面積——是真的。其逆命題和否命題分別是:如果可以求出一個平行四邊形的面積,就一定知道這個平行四邊形的底和高;如果不知道平行四邊形的底和高,就無法求出這個平行四邊形的面積。這樣的結論與原來的命題并不等價。老師將求解面積的一條途徑簡單化為唯一途徑,極容易給學生造成錯誤認識。事實上,能用公式求出面積的平面圖形是很少的,更一般的方法是尋求圖形面積之間的關系。比如在前圖中,只要看出平行四邊形ABCD的面積是三角形ABE面積的2倍,問題就可以迎刃而解了。
平行四邊形面積公式“面積=底×高”,在數學中可以看作是一個函數關系。函數通常描述自變量和因變量之間的依賴與制約關系,體現的是當自變量確定的時候,因變量隨之確定。反過來卻不一定成立,就是說當因變量確定的時候,自變量未必隨之確定。
在“面積=底×高”這一函數關系中,底和高是自變量,面積是因變量,當底和高確定的時候,則面積隨之確定;反過來,當面積確定的情況下,底和高未必能夠確定。
教師在課堂上提問,其根本目的在于促進學生思考。因此不妨把提問設計得寬泛一些,讓學生有充分的思考空間。在教學平行四邊形的面積公式之后,如果提出如下問題供學生思考,也許會得到更好的效果。
1.如果兩個平行四邊形等底等高,那么這兩個平行四邊形的面積具有什么樣的關系?
2.如果兩個平行四邊形面積相等,那么這兩個平行四邊形的底和高具有什么樣的關系?
一節課的教學目標，要從知識、能力、思想品德教育三方面進行考慮，以體現學科教學中的素質教育思想。本節課的教學目標是：
（1）使學生理解、掌握三角形面積的計算公式，并能運用它正確計算三角形的面積；
（2）通過指導實際操作，培養學生的抽象概括能力和思維的創造性；
（3）使學生明白事物之間是相互聯系、可以轉化和變換的。
完成這一教學目標，要根據學生的認識規律，在指導學生進行實踐活動的過程中，把動手操作與動腦思考、動口表述結合起來。也就是說，首先把學習知識應有的思維活動“外化”為動手操作，然后通過這個“外化”的活動再“內化”為思維活動。因此在教學過程中，把操作、思維、表述緊密結合起來，才能完成這一教學目標。
本節課的教學重點是理解、掌握三角形面積的計算公式。
教學難點是理解面積公式的算理。
華羅庚說過，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來?！币囵B學生的空間觀念和創造能力，就必須重視推導公式的過程教學，從學生的認知特點出發組織學生去大膽地操作實踐，探求規律，推導出公式。
二
學生掌握新知識的過程是在老師的引導下，充分利用已有知識和學習經驗，積極主動地參與探求的過程。把教材的間接經驗通過自身的活動去重新發現、完善和建立新的認知結構。
1.抓住新知識的基礎，做好學習新知識的準備
學習新知識的基礎是選取復習內容的依據，新舊知識的連接點是復習的重點。三角形面積這個新知識的基礎是長方形、正方形、平行四邊形的面積公式及三角形底和高的認識。新舊知識的連接點是圖形的轉化和變換。在教學新知識之前除了要復習好以上的內容外，還要指導學生回憶平行四邊形面積公式的推導過程，喚起“轉化圖形、建立聯系、推導公式”的學習方法的認識。為新知識的學習做好知識的、能力的以至情感方面的準備。
2.新知識的教學可以分為4個層次進行
第一層，操作學具。啟發學生用學具袋中的兩個三角形拼成一個學過的圖形。學生動手、動腦相互交流，得出“兩個完全一樣的（全等）三角形，可以拼成一個長方形、正方形或平行四邊形。
第二層，觀察與思考。提出問題引導學生觀察拼成的正方形、長方形或平行四邊形與三角形的關系。三角形的底和高與正方形的邊長、長方形的長與寬，以及平行四邊形底和高的關系？
第三層，推導公式。利用圖形之間各部分的對應關系，思考它們面積之間的關系，最終推導出：因為，平行四邊形面積＝底×高（平行四邊形的面積是兩個與它等底等高的三角形面積的2倍），所以，三角形的面積＝底×高÷2
第四層，深化認識。
為了使學生加深對三角形面積計算公式的理解，進一步啟發學生，用一個三角形通過割補的辦法推導出三角形的面積計算公式。學生再次動手，動腦，相互交流，得出（如下圖）如下計算公式：
（附圖{圖}）
三角形面積＝底×（高÷2）
三角形面積＝（底÷2）×高
經過學生兩次動手、動腦、交流，運用轉化和變換多向探索，把求三角形面積這一探索過程充分展示出來。不僅深化了對公式的理解而且滲透了轉化和變換的數學思想，培養了學生操作能力和分析概括的能力，發展了學生的空間觀念。
3.新知識教學后要及時組織練習。
練習可從4個方面進行?？诖痤}（理解算理的練習），（1）已知圖形的底和高，可以求出這個圖形的面積。那么，這個圖形可能是什么形？這些圖形之間有什么共同點？面積有什么關系？（2）三角形面積等于平行四邊形面積的一半。對不對？為什么？看圖口算（運用公式計算的練習）。下圖中哪個三角形的面積可以用6×5÷2求出，為什么（選擇條件的練習）？
（附圖{圖}）
已知三角形的面積是15平方厘米，高是5厘米。求它的底？如下圖，在一個正方形和一個長方形中，有一個三角形（陰影部分），求三角形的面積（靈活運用知識的練習）。
（附圖{圖}）
新課后的練習一定要練在重點上和關鍵處，以加深學生對新知識的認識和提高運用知識的能力。
三
本節教學設計的基本思路是：
（1）發揮教師的主導作用，同時要為學生創造主動的發展空間，引導學生創造性地參與教學的全過程。通過操作，觀察，推導和深化4個教學層次，使學生不僅在理解的基礎上掌握新知識，而且進一步體會運用舊知識去研究新問題的學習方法，從“學會”逐步到“會學”，尋找到解決問題的正確方法。
（2）在教學過程中，有目的的不失時機地培養學生操作能力，觀察能力，分析推理的能力。使課堂教學的過程成為既傳授知識又培養能力的過程。
附三角形面積教案
一、教學內容：三角形的面積
二、教學目標：
1.使學生理解、掌握三角形面積計算公式，并能運用它正確計算三角形的面積；
2.通過指導實際操作，培養學生抽象、概括能力和思維的創造性，發展空間觀念；
3.使學生明白事物之間是相互聯系，可以轉化和變換的。
三、教學過程：
（一）復習引入
1.出示平行四邊形，復習它的計算公式。
2.投影銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，看圖辨識三角形各條邊上的高？
師：我們已經掌握了長方形、正方形、平行四邊形面積的計算方法，那么怎樣計算三角形的面積呢？這節課我們就來解決這個問題。
（二）新授
1.操作學具。
師：你能用學具袋中的兩個三角形拼成一個熟知的平面圖形嗎？
學生拿出學具動手操作拼成一個學過的圖形。
（附圖{圖}）
出示學生拼出的圖形。
2.觀察與思考。
師提出問題引導學生觀察：①用兩個什么樣的三角形才能拼成一個學過的平面圖形？②平行四邊形、長方形、正方形的面積與三角形的面積有什么關系？為什么？③三角形的底和高與平行四邊形的底和高有什么關系？與長方形的長和寬有什么關系？與正方形的邊長有什么關系？
學生觀察、討論、相互交流、弄清楚面積關系以及底、高之間的關系。
師小結板書：
平行四邊形面積＝底×高
長方形面積＝長×寬
正方形面積＝邊長×邊長
2個三角形面積＝底×高
三角形面積＝底×高÷2
3.推導公式。
（1）怎么求平行四邊形的面積？長方形面積？正方形面積？
（2）平行四邊形面積，長方形面積，正方形面積都是由幾個完全一樣的三角形組成的？
（3）怎么求一個三角形的面積？
師隨著完成上面的板書并引導學生小結：怎么求三角形面積？為什么？
4.深化認識。
師啟發回憶
（附圖{圖}）
學習平行四邊形面積時，我們運用割補的辦法把平行四邊形轉化成了長方形，那么運用割補的辦法能不能把一個三角形轉化成一個平行四邊形或長方形呢？
學生動手操作、研究、討論、相互交流，教師輔導提示，得出下圖。
（附圖{圖}）
積＝底×高的一半三角形面積＝底的一半×高
＝底×高÷2＝底×高÷2
（1）說一說你是怎么割補的？
（2）議一議平行四邊形的面積、長方形面積與三角形面積的關系，平行四邊形的底和高，長方形的長和寬與三角形底和高的關系？得出什么結論？
（3）師整理公式（完成上面的板書）
（4）師總結：三角形面積等于底乘以高除以2。（板書字母公式：S＝ah÷2），可以理解為底×高乘積的一半，也可以理解為底×高的一半，還可以理解為底的一半×高。
四、鞏固練習
（一）理解性練習（口答）
1.三角形的底乘以高得到的是什么圖形的面積？再怎么求才能得到三角形面積？
2.三角形面積等于平行四邊形面積的一半；對不對？為什么？
（二）運用公式的練習（口答列式）
（附圖{圖}）
（三）選擇條件的練習
（附圖{圖}）
哪個三角形的面積等于6×5÷2？其它兩個為什么不是？
（四）靈活運用知識的練習
隨著課程改革的不斷深入，“預設”和“生成”這兩個相互對立的概念融入到了我們的教學實踐中?！邦A設”是指緊緊圍繞教學目標、任務，預先對課堂環節，教學過程等一系列展望性的設計，“生成”是指實際教學過程的發生、發展與變化。課堂教學不是一個機械執行教案的過程，而是一個動態的、開放的、不斷生成的過程，當教學預設與生成表現差異，甚至截然不同時，對教師而言將面臨嚴峻的考驗和艱難的抉擇——課堂的尷尬與精彩，虛浮與真實。
如何讓課堂親近真實，用生成打造真實，我們必須要思考如何把握學習“預設”與“生成”。首先，預設既要備教材，又要備學生。教學需要預設，高質量的預設是教師發揮主導作用的重要保證，它有利于教師從宏觀上、整體上把握教學過程，為了能在課堂上游刃有余，教師的課前預設就要盡量具體些，周密些。
那么如何進行高質量的教學預設呢？高質量的教學預設需要精心備教材，更需要備學生。教師課前鉆研教材設計教案，本身就是應該的，特別是個性化地設計某個環節，是非常值得提倡的，問題是不能一味地鉆研教材而忽視了學生這個主體。新課程標準明確指出：數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎上，這就要求教師在研究教材教法的同時要加強對學生的研究，教師要充分了解學生的認知基礎及心理狀態。根據學生的現實狀況研究預設教學過程。那是一次蒼白教學給予的頓悟，前些年上過的一節“平行四邊形面積”的計算，其中的片段至今記憶猶新。
師：今天我一起來學習怎樣計算平行四邊形的面積，請同學們拿出老師發給你們的長方形和平行四邊形（長方形長5厘米，寬3厘米，平行四邊形底5厘米，高3厘米），請同學們想辦法比較一下這兩個圖形的面積哪個大哪個小。
（學生開始以小組為單位比較，然后匯報）
生1：我把平行四邊行沿著它的一條邊剪開然后拼到平行四邊形的右面，就變成了一個長方形，然后把長方形放在拼成的圖形上一比，我發現這兩個圖開的面積一樣大。
生2：我把平行四邊形沿著它的一條高剪開然后平移到平行四邊形的右面就變成了一個長方形，然后把長方形放在拼成的圖形一比，我發現這個長方形和平行四邊形的面積相等。
師：很好，我們今天就來學習平行四邊形的面積計算公式。請同學們拿出老師發給你們的學具——一個平行四邊形紙板。同學們動一下腦筋，看看可以把平行四邊形轉化成什么圖形。
（學生開始以小組為單位操作，師巡視期間，曾多次詢問能把平行四邊形轉化成什么圖形）
接下來學生匯報自己的做法。大致和課的開始相同。我又用課件演示將平行四邊形轉化為長方形的過程，并強調什么叫平移，然后要求學生按課件演示的過程再做一遍。接下來就是討論拼成的長方形和原來平行四邊形之間的關系，總結面積計算公式。
課后我是這樣反思的：我這樣設計是想讓學生通過數方格的方法比較出長方形和平行四邊形的面積是相等的。然后說明，因為數方格求平行四邊形的面積比較慢，也不方便，在此基礎上激發學生學習平行四邊形面積的欲望。誰知，學生并沒有數方格，而是通過剪拼，比較的方法得出結論，還有一個學生居然說出了“平移”，覺得自己做的課件不就沒用了嗎？當時由于自己調控課堂的能力不足，教學機智的欠缺，導致課堂效率事倍功半，如今想想可以就著學生的回答，提出表揚和鼓勵，然后，以學生的方法讓還沒有找到方法的學生試一試，必要時也可用課件，將教學的重點一下子轉移到研究圖形關系上來。讓學生自己分析研究兩種圖形之間的內在關系，推導出平行四邊形面積計算公式。使整個教學過程從有序（預設）到無序（生成），再到有序（采取相應的對策），主要是我們要轉變教育觀念，認識到課堂教學是一個師生互動、資源共生的過程，正確定位教師和學生的關系，樹立以學生為主體的觀念，放下“師道尊嚴”的架子，從講臺上走下來，加強自身的學習，與時俱進，提高自己的業務水平和教學策略，必能應對教學中出現的各種現象。
為了使新課程取得預期的效果，首先要更新觀念，使先進的教育理念轉化為廣大教師的教育行為，落實到課堂教學中去. 在傳統觀念的影響下，教師過于偏重知識傳授、接受學習、機械模仿. 有些課成了執行教案的過程，使課堂成為教案劇場演出的舞臺，教師是主角，學生是配角，大多數學生是劇本的演員或是觀眾和聽眾. 這既忽視了作為獨立生命個體的師生在課堂教學中的各種需要與有待開發的潛能，又忽視了師生在課堂教學中的雙邊多向及多種形式的師生互動、生生互動和創新能力. 這一切使我們越來越深切地感到要用動態生成的觀念重新認識和評價課堂教學. 目前九年義務教育教材，在內容上的要求是基本的，絕大多數學生通過努力是可以達到的，但綜合性、彈性不夠，這在一個班級中不一定適合每一名學生. 因此，就要求老師必須根據課堂教學的需要，對舊教材進行適當的加工處理，將課本中的例題、文字說明和結論等書面的東西，轉化為學生易于接受的信息. 為此，在教學設計時，應對下列問題引起注意：（1）舊教材內容是不是達成教學目標所必需的？應刪去或從略哪些學生已學過或已經認識的內容？哪些數學知識的素材不夠充分需要補充？（2）在校內外和網站上可利用哪些與舊教材內容密切的課程資源？（3）本節課的教學重點、難點是什么？從學生的實際情況看怎么定位比較恰當？（4）結合哪些內容進行數學思想和教學方法的教育？結合哪些內容培養學生的情感和態度？（5）在練習中如何處理好基本和提高的關系，為水平不同的學生得出不同的數量和質量要求？這樣，教師以舊教材為基石，改變舊教材為新教材，不僅可以將更新的課程理念具體地落實到舊教材的處理中，而且也使自己成為新教材的積極實踐者和創建者.
二、內容枯燥向富有情趣轉變
由于舊教材具體一定的封閉性，有的教師又不能創造性地使用教材，仍是以書教書，勢必讓學生感到數學內容枯燥無味，產生厭學心理. 因此，教師應努力創設良好的學習情境，變抽象為形象，變無趣為有趣，使課堂永遠對學生都有一定的魅力. 一些教師教學觀念陳舊，仍把教材當成學生學習的唯一對象，照本宣科滿堂灌，學生聽得很乏味，“悶課”仍是較為普遍的現象. 現在，課程設計將“給予知識”轉向“引起活動”，學生不再是被動地接受現成的知識，而是通過活動獲取知識，獲得體驗. 如“年月日”一課讓學生先看日歷表再填寫表格，從中找到一年中有多少個大月或多少個小月. 然后提出問題：拿出自己的拳頭怎樣幫助記憶大月或小月？學生自己數一數，然后討論結論，學習效果都出乎意料的好. 這完全得益于課堂教學內容有情趣化的設計，使學生在良好的教學氛圍中愉快地學習.
三、操作工向探索者轉變
《數學課程標準》就如何實現學生動手實踐、自主探索、合作交流的學習方式指出：學生是數學學習的主人，教師只是學生數學學習的組織者、引導者和合作者. 例如：小學數學五年級上冊“平行四邊形面積的計算”，首先給出長方形和平行四邊形的圖形，提問：這兩個圖形的面積是否相等？在小組里說說你準備怎樣比較這兩個圖形的面積. 并讓學生數一數它們各占幾個小格子，分組交流. 老師幫他們驗證一下. 然后動手數，自己找出長方形和平行四邊形面積的關系. 接著提問：你能想辦法把圖中的平行四邊形轉化成長方形嗎？讓學生演示剪和拼的過程. 繼續請學生演示，啟發學生沿平行四邊形的高剪開. 平行四邊形拼成長方形后，讓學生找出平行四邊形和長方形的關系，即：第一，它的面積大小有沒有變化？第二，長方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么關系？第三，根據長方形的面積公式，怎樣求平行四邊形的面積？再從教科書的第127頁上選一個平行四邊形剪下來，先把它轉化成長方形，并求出面積，再填寫表格. 最后，通過反饋，交流推導出其面積公式.
可見，上述整個推導公式的過程全部由學生自主操作、觀察、交流、總結. 學生積極主動地參與學習活動，真正成為了學習的主人――探究者，親身經歷探索知識的全過程，同時掌握了科學探究方法，既培養了科學探究方法的精神，又提高了自主獲得知識解決問題的能力.
重慶市南川區隆化七校
掛 牌 專 家
鮮文玉
重慶市南川區教育科學研究所小學數學教研員，重慶市小學數學骨干教師，重慶市小學數學教學名師，擬推薦為重慶市教育專家資源庫成員。長期從事小學數學教學研究，參編國家義務教育教科書小學數學教案選。執教錄像課《長方體和正方體的復習》獲市一等獎;20余篇論文獲國家、市一二等獎，先后在《小學數學教育》《基礎教育》《新課程實驗研究》等刊物公開發表教學論文50余篇。
王：鮮老師，您好！小學階段，學生學習了長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓的面積。這些內容的教學都要讓學生經歷面積計算公式的推導過程，而這些圖形面積計算公式的推導都運用了轉化的方法。我在教學中，力求讓學生經歷知識的形成過程，感悟數學的思想方法。學習了平面圖形面積后，我感覺學生的空間觀念不太強。
【課堂回放】
1.復習導入新課
（1）口算圖形面積（如下圖）。
（2）回憶推導方法。
想一想：平行四邊形的面積公式是怎樣推導出來的？
師相機板書：轉化
（3）小結揭示課題。
2.合作探究公式
（1）引發認知需要
出示紅領巾問：做這樣一條紅領巾，需要多大的布？
（2）合作推導公式
第一步：引導推導公式。
教師引導：拿出兩個完全一樣的直角三角形拼一拼，可以拼成什么圖形來計算三角形的面積？拼后小組交流。
小組交流：
①口述拼的過程。②拼成的平行四邊形的底與原三角形的底有什么關系？③拼成的平行四邊形的高與原三角形的高有什么關系？④每個直角三角形的面積和拼成的平行四邊形的面積有什么關系？⑤三角形的面積計算公式是怎樣的？
師追問：直角三角形的面積=底 × 高 ÷ 2，是不是所有的三角形的面積都用“底 × 高 ÷ 2”計算？
第二步：自主驗證公式
拿出兩個完全一樣的銳角三角形和鈍角三角形拼一拼，驗證所有三角形的面積都用“底 × 高 ÷ 2”計算。
第三步：抽象概括公式。
三角形的面積=底 × 高 ÷ 2
第四步：字母表示公式。
師：我們用拼一拼的方法把三角形轉化成學過的圖形，推導出了三角形的面積公式。如果用字母a表示三角形的底，h表示三角形的高，S表示三角形的面積，你能用字母表示三角形的面積公式嗎？教師根據學生匯報并板書。
3.實踐應用深化
（1）出示例題：紅領巾的底是100cm，高是33cm ，紅領巾的面積是多少？
（ 學生嘗試完成并板演，再評價。）
（2）根據條件求三角形的面積（只列式不計算）
（3）測量并計算（數學書P86第2題。）
（4）做2個這樣的標志牌需要多少平方分米的鐵皮？（課件展示）
（5）拓展：教材第6題。
4.全課總結提高
通過這節課的學習，你有哪些收獲？
在教學三角形面積中，我讓學生經歷了三角形面積計算公式的推導過程，可學生在計算三角形面積時，還是忘了除以2。我認為是學生空間觀念不強造成的。怎樣才能使學生空間觀念的形成更有效？
【專家解惑】
鮮：這個問題是一線教師在教學圖形與幾何領域內容常常思考的問題。按照新課標的要求，圖形與幾何領域的教學應突出核心概念――空間觀念。為使學生空間觀念的形成更有效，可以從引導學生“善于質疑，勇于實踐，勤于反思”三方面入手。
王：小疑則小進，大疑則大進。我也覺得學生應該帶著問題學習，使得學習目標明確，學習效果更好。怎樣引導學生質疑呢？
鮮：《三角形的面積》一課題中，“面積”二字是題眼，我們就可以引導學生從課題的題眼入手，聯系學生已有的知識經驗質疑。揭示課題后，可以提出這樣一個問題：“看到課題，你想知道些什么？”當問題提出后，學生可能會提出如下問題：（1）三角形的面積怎樣計算？（2）三角形的面積公式是怎樣的？（3）三角形的面積公式是怎樣推導出來的？以上三個問題，恰恰是本節課的重點問題。只要學生能自主解決這些問題，學生的空間觀念的形成就不是一件難事。長期堅持這樣引導學生質疑，學生學習的積極性和主動性增強了，更有利于學生空間觀念的形成。
王：以上三個問題中，第三個問題既是本節課的重點，又是本節課的難點。怎么應對這一重難點，您有什么好的建議嗎？
鮮：為突出重點，突破難點，我們在教學中應加強學生的動手操作，讓學生在動手操作中培養空間觀念。兒童心理學家皮亞杰說：“兒童的思維從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就得不到發展?！痹谕茖切蚊娣e公式時，要給予學生獨立操作的時空，把三角形轉化成平行四邊形，再觀察拼成的平行四邊形與原三角形有什么聯系，從中發現規律，抽象概括三角形的面積公式，建立“s=ah÷2”的數學模型。
王：操作中，我發現學生拼平行四邊形很困難。
鮮：觀課中，我也發現有的學生拼平行四邊形很困難。我們要遵循由易到難、由特殊到一般的原則教學。課前，讓學生準備不同類的三角形各2個，標出每個三角形的底和高。課上，讓學生獨立選三角形，拼平行四邊形，教師巡視。當發現學生不會拼平行四邊形時，教師不要急于告知學生怎么拼，而要耐心等待，可以跟學生這樣說：“再試一試，你能拼出來的？”學生仔細琢磨后，你可以欣喜地發現他們將兩個完全一樣的直角三角形拼成了一個長方形（特殊的平行四邊形）;兩個完全一樣的銳角三角形拼成了一個平行四邊形;兩個完全一樣的鈍角三角形拼成了一個平行四邊形，由此得出：兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。這遵循了由易到難、由特殊到一般的教學原則。
王：展學環節，我們往往是小組匯報，教師草草追問完事。參與匯報的學生和成績好的學生空間觀念比較強，而成績較差的學生空間觀念不強。
那么如何發揮“學為主體”呢？《數學課程標準》提出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！币陨纤U述的學習理念，其核心就是在教學中要使學生積極主動地參與到有效的學習活動中來。
由此可見，教學中教師的主動引導與學生的主動學習，應該形成“兩個為主”的關系。現在的問題是有些教師把主動引導理解為主動提問，沒有創設更好的方式讓學生在活動中自己去發現問題、提出問題，甚至把主動幫助變成了包辦代替，剝奪了學生的思維空間。由于出現了這種情況，所以我們要倡導“以生為本”的課堂，并提出了“以學定教”的教學思想。但在推行這一教學思想的過程中，一些教師又片面地認為學生的“學”要比教師的“教”更重要。對于這一問題，我們只要認真地去解讀新課標就會知道兩者不能隨意偏頗?！稊祵W課程標準》在基本理念中提到：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者?！边@段話也正好說明了教師“教”與學生“學”的關系，說明了“教”與“學”都是很重要的兩個方面。浙江大學盛群力教授在《論有效教學的十大要義》一文中提到的其中一個要義就是“學教統一”。盛教授認為：“學習與教學究竟是一種怎樣的關系呢？是學重要還是教重要，是學在先還是教在先呢？這確實難以簡單、籠統地下結論。一般地說，學與教處于同等重要的地位，絕不能說倡導‘生本教學’就是將學生放在首要位置。學習與教學本來就是一體兩面的事情，雖然我們都同意現代教學是以學習者為中心，是一種‘生本教學’，但是，這并不意味著可以輕視教學的作用，無視教師的存在，學習與教學、學生與教師，只有這兩個方面協調平衡了，才是我們向往的境界，有兩個積極性比只有一個積極性好。只講一個主體，不管是以學生為主體還是以教師為主體，都是單方面甚至是片面的?！笔⒔淌谠谖恼轮羞€提出了另一個要義是教學要做到“扶放有度”：“不要簡單地說先學后教還是先教后學，學需要教的促進，沒有教，也是可以學的，但是為了更高效地學，這就需要教了，問題是教什么、教多少、何時何地教，這就需要有一個‘扶放有度’的問題?！?/p>
現在大部分教師對以上教學理念都是非常贊同的，還努力朝著這一方向去實施。問題在于教師的解讀程度存在著差異，所以部分教師在具體設計時就沒有處理好教與學的關系，在教學的實施過程中沒有把握好學生的參與度，甚至對怎樣的教學才算是學生真正的自主學習，怎樣的教學才算是教師做到了有效引導不是很清晰，因而造成教學效率的低下。這也說明教師要把先進的教學理念轉化為自己的教學行為需要一定的過程，這一過程是不斷學習與反思的過程，是長期實踐與磨煉的過程。基于以上認識，本文想通過對幾個教學案例的分析，揭示教師在設計教學素材和處理教與學的過程中出現的幾個方面的缺失，并提出我們應如何去改進的一些做法，供大家教學時參考。
一、擔心學生無法自主，導致教與學的失衡
教學方式的確定首先要分析學生是否能自主獨立地進入學習活動，這是為了更好地引導學生自主學習必須思考的因素。但部分教師在分析“引導”與“自主”的權衡上有時把握不定，甚至對有些教學內容教師認為學生獨立探究有困難，就沒有更多地考慮引導對策，而出現了教師的“教”重于學生的“學”。
如教學《圓的面積計算》時，因為學生在這之前的轉化都是直邊形，所以學生要在沒有預習的前提下能自己想到把圓等分成小扇形，并把它拼成近似的長方形或平行四邊形，一般是不大容易做到的，而且更不會想到等分的份數越多拼出的圖形就越接近長方形。教師在教學這一內容時作這樣的分析是對的?？墒怯行├蠋熣J為學生完全自主有困難，所以干脆就不讓學生去動手探究，只讓學生觀察媒體的動態演示，或觀察教師的教具演示來說明剪拼的推導過程。這樣的教學雖然學生看得很清楚，想得也很明白，但我們總覺得學生是完全處在被動的聽講上，沒有讓學生經歷解決問題的思維過程。出于這樣的思考，我們對此課作了如下改進。
教學片段一：
師：要想知道圓的面積的準確計算方法，我們應該用什么方法來探究呢？（這時學生遲疑了片刻）
師：我們在探究平行四邊形、三角形、梯形的面積時都用了怎樣的方法？
教師呈現預先設計好的投影，幫助學生回憶平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導方法，使學生說出：都是把它剪拼成已學過的圖形，或用兩個完全一樣的圖形拼成已學過的圖形。
師：用兩個完全一樣的圓拼成已學過的圖形，有可能嗎？
學生同桌用兩個圓片拼拼后回答：不可能。
師：那你們能把一個圓剪拼成已學過的圖形嗎？
通過投影的觀察、想象，感知無限等分后化曲為直的思想。
以上教學片段給我們帶來這樣的思考：如果碰到學生完全自主有困難時，應該去研究如何調整活動方案，怎樣放慢活動的速度，而不是簡單地取消學生的活動機會。教師應該是在學生遇到困難時給予適當的幫助，在學生有一定感悟后再去呈現投影，引發進一步的想象。這樣的教學才能達到更佳的學習效果。
二、固守某種教學方法，缺乏教與學的創新
所謂固守某種教法，就是大家在教同一內容時基本選定的一種方法。其原因有兩個，一是這種教法確實有一定的優點，教師也認為這種教法沒有什么可以改進的地方；二是執教者的設計思維惰性，滿足現狀，沒有與時俱進的追求，不愿意對現成的方法作進一步思考。因此，在教與學的處理上比較平庸，缺乏教與學的創意。
如在教學《平行四邊形的面積》一課時，見得最多的方法是讓學生觀察一個平行四邊形和一個長方形，當學生一時難以區別它們的面積大小時，教師給學生提供每格是1平方厘米的格子紙，并把這個平行四邊形和長方形畫在格子紙上，引導學生數出平行四邊形的底和高的長度，數出長方形的長和寬的長度，再數出這兩個圖形的面積，從中發現長方形的面積剛好與平行四邊形的面積相等，平行四邊形的底與長方形的長、平行四邊形的高與長方形的寬也剛好相等，以此得出平行四邊形的面積就是“底×高”，接著再引導學生操作驗證?，F行的一些教材也是按以上方式編寫的，先讓學生數格子也比較符合學生的認知規律，教師也確信這種教法比較成熟，似乎沒有什么好改進的地方。但我們如果進一步深入思考學生數格子的過程，雖然在數面積時有許多方法可以啟發學生下一步如何去探究，可是在數出數量后，只要對照數量就會得出“底×高”的結果?，F在的問題是，當學生沒有學習平行四邊形面積的計算方法之前，面對一個平行四邊形要計算它的面積，學生會怎樣思考呢？它的面積與什么有關呢？它的面積應該怎樣計算呢？我們的學生也許會誤認為是鄰邊相乘，不能感受到它的面積與它的底和高有關。今天提供給學生的是數格子的素材，學生只要按要求數就可以了，這樣教學，學生的好奇心、自主性會油然而生嗎？出于這樣的思考，我們對本課的開始環節作了以下改進。
教學片段二：
讓學生拿出四根塑料棒搭成一個平行四邊形（如圖6），并向學生提出：你們可以輕輕地拉一拉、玩一玩這個平行四邊形。
接著提出：你們在玩這個平行四邊形時感受到什么數學問題了嗎？（學生先分組交流后，再反饋）
生1：平行四邊形容易變形。
生2：平行四邊形的形狀變了，面積也變了，但周長沒有變。
師：這個平行四邊形變成怎樣的圖形時，它的面積最大？
生：變成長方形時它的面積最大。
師：是嗎？大家再慢慢地拉一拉，看一看是這樣的嗎？
讓每位學生都感受到平行四邊形變到長方形時它的面積最大。
師：假如這個平行四邊形的兩條鄰邊分別是7厘米、5厘米，那這個長方形的面積是多少平方厘米？
教師隨手在黑板上畫出一個長方形，借此復習“長方形的面積=長×寬”。
師又提出：這些圖形的面積的大小變化與什么有關呢？
教師繼續讓學生拉一拉平行四邊形的框架，先分小組說一說自己的發現，再集體交流。
生1：與角度有關。（指的是兩條鄰邊的夾角，教師肯定他的想法有道理）
生2：平行四邊形越扁，它的面積越小。
師：平行四邊形越來越扁，你能想到與平行四邊形的什么有關呢？
生：與平行四邊形的高有關。
師：通過這個特殊的平行四邊形的面積觀察和計算，我們可以猜想到一般平行四邊形的面積應該怎樣計算呢？
生：平行四邊形的面積=底×高。
接著引導操作探究，讓學生任意拿出一張平行四邊形紙片剪拼，探究如何把平行四邊形轉化成已學過的長方形，并注意不同方法的剪拼與說理。（過程略）
以上教學過程是學生在玩平行四邊形塑料框架的過程中，圍繞著教師引領的幾個問題自主領悟到平行四邊形的面積大小與底和對應的高有關。這樣的教學是順著學生原生態的感知過程組織學習的，打破了以往的一般教法，收到了較好的教學效果。
三、自主方式不夠匹配影響教與學的本真
在平常的教學中我們經常發現，一些教師雖然具有引導學生自主學習的意識，可是沒有較好地分析教學內容的特點與學生的認知規律，組織的自主學習活動與教學內容不夠匹配，因此影響了教與學的本真。
比如，在教學《有余數的除法》一課中要求學生學法的筆算。教師在教學時可以從沒有余數的除法開始，并設計活動素材提出活動要求：用12根一樣長的小棒，每4根搭一個正方形，可以搭幾個正方形？讓學生動手搭一搭后，寫出算式“12÷4=3”。接著往往教師就會提出：今天還要學法豎式，你們覺得除法豎式應該怎么寫？請同學們試一試好嗎？由于有加法、減法、乘法豎式的基礎，所以學生都會想到把被除數寫在上面，除數寫在下面，再在最下面寫出商。當學生都寫成這種形式后，教師無奈地提出：你們的想法有一定的道理，其實除法豎式不能這樣寫，接著教師介紹除法的豎式書寫方式。由此可見，在這里要學生自主嘗試寫除法豎式，學生只能遷移之前的豎式形式。教師也知道學生遷移以前的豎式形式對除法豎式沒有什么好處，所以馬上給予否定。我覺得既然這樣就不要讓學生去嘗試寫豎式了，把學生自主學習的時機放在自己讀懂除法豎式上，這樣效果就會更好一些。具體教學可作如下改進。
教學片段三：
呈現問題：用12根一樣長的小棒，每4根搭一個正方形，可以搭幾個正方形？
生：可以搭3個正方形。
師：你能寫出除法算式嗎？
生：12÷4=3。
再呈現問題：用13根一樣長的小棒，每4根搭一個正方形，結果會怎樣？
生：可以搭3個正方形，還剩下1根小棒。
師：請同學們拿出13根小棒在桌上搭一搭。
學生操作后教師把它用草圖畫在黑板上： 。
師：把它寫成除法算式怎樣寫呢？
這時學生獨立嘗試寫算式：
13÷4=3（個）還剩1根
13÷4=3（個）……1（根）
師：這里的除法與以前學習的除法有點不一樣，它是有余數的除法。以上兩種算式寫法都對，但覺得第二種更簡潔一些。我們以后寫有余數的除法算式時就要按照第二種方法寫，請大家選擇第二種再寫一寫。
繼續呈現問題：用14根一樣長的小棒，每4根搭一個正方形，結果會怎樣？
師：請你繼續拿出小棒擺一擺，再用除法算式表示結果。
等學生操作和表示之后，教師繼續畫出草圖寫出學生的算式：
師：有余數的除法也可以用豎式計算。請大家觀察下面的豎式，并對照以上的除法算式和圖，你能看懂什么？
此類試題首先提供一定的材料，或介紹一個概念，或給出一種解法等，讓學生在理解材料的基礎上，獲得探索解決問題的方法，從而加以運用去解決實際問題。在教學中通過這類問題的訓練，可以強化學生認識新知，讓學生通過類比、聯想，去分析轉化、探索歸納等。
例1 （2013年山東菏澤中考題）我們規定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”?！懊婢€”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）。已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是__________（寫出1個即可）。
本題側重于考查學生的閱讀理解能力和對知識的遷移能力。通過對新概念的理解，知道問題的關鍵點是“等分面積”。從分析圖形，我們會發現符合條件的“面徑”不止一條。為了解題方便，聯系等邊三角形的性質，不難發現以下兩種比較簡單的解題思路：一是利用等邊三角形的軸對稱性將其面積二等分；二是利用平行線構造相似三角形，利用相似三角形面積之比等于相似比的平方，可以將面積問題轉化為邊長之間的關系。
二、重視圖形變換操作，開拓學生的空間想象能力
教師教學時應精心設計教案，要從簡單的操作情形出發，認真比較、發現規律。通過聯想、類比進行的簡單應用，這樣有利于提高學生的辨證觀點，彰顯了在數學問題解決的教學過程中，既要注重發揮學生的主體作用，又要重視教師主導作用的發揮，二者相輔相成。
例2 （2013年青海西寧中考題）在折紙這種傳統手工藝術中，蘊含著許多數學思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形。把一張正方形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開。（1）猜想四邊形ABCD是什么四邊形；（2）請證明你所得到的數學猜想。
本題是一道操作探究題，主要考查了軸對稱、平行四邊形、菱形的判定。教學時教師應引導學生觀察圖形，學生易猜想四邊形ABCD是平行四邊形或菱形，再啟發先怎樣去判斷你們的猜想，學生會利用平行四邊形的定義證出該四邊形是平行四邊形，然后根據一組鄰邊相等證出該平行四邊形是菱形。解決與圖形的折疊有關的問題時，一般需要關注折疊中的對應角或對應邊之間的相等關系，并利用這種關系解決問題。
三、注重知識的生成過程，提高學生的辨證能力
教師應當改變那種害怕浪費課堂時間，片面追求提高學生方法運用能力的做法，應當結合教學內容，設計出有利于學生參與動態知識生成過程認知的教學環節，把知識的形成過程、方法的探索過程、結論的推導過程、公式定理的歸納過程等充分暴露在學生面前，讓學生的動態知識生成過程成為自己探索和發現的過程，從而提高辨證唯物主義的觀點。
一、在兒童“個性化理解”處介入
筆者以為，很多時候，教師在課堂上往往不注意傾聽兒童的回答，壓根就是“假傾聽”。在傳統課堂中，教師逐字逐句地記教案，雖說有一定的優勢，但也不排除它的弊端，因為教師往往會去想下一句教案是什么，而無法專注傾聽學生的發言！
不妨先看一位年輕教師執教的“認識小數”教學片段。
師：這個分數是幾分之一？（生議論二分之一、四分之一）
師：為什么不是二分之一？
生：因為它里面還藏著3個三角形。
師（沒有搭理）另外喊人回答，終于聽到“因為沒有平均分成2份”的預設答案……
筆者以為，教師只顧著想聽到預設的答案，而不注意傾聽學生發言！其實，“藏”字，便是“奇音”，亦是兒童個性化的理解。這個字，無疑是學生對本題的深入理解，顯然，這個學生已經意識到，下面的這個梯形里，還“藏”著3個三角形。如果教師能意識到這點，對學生給予必要的引導：“咦，孩子們，剛才他說里面還藏著3個三角形，你們明白他的意思嗎？”“真好，你能畫出藏著的3個三角形嗎？就請你上來畫”……
主張生本教育的郭思樂教授曾經說：“孩子的天性是活潑的、創造的，孩子是天生的學習者?！碑斦n堂上學生呈現個性化的理解時，如果我們不及時地調整教學行為，而是“變了臉色”，硬是把學生拉往自己預設的方向，于是，課堂上便看不到“人”，只看到“走教案”；看不到過程，只看到結論。
具有兒童印記的、個性化的理解，教師一定要傾聽與關注。有些時候，教師很難聽懂學生的話語，因為成人與兒童之間，由于年齡經歷上的差異，彼此的認識差異，總免不了一條鴻溝橫亙其中。
陳鶴琴老先生說：“兒童了解兒童的程度，比成人所能理解的更為深刻。”教師聽不懂的，不妨先讓聽懂的兒童去解釋，教師再順勢引導進行辯論，學生就容易啟動思維，即興表述。
二、在“核心問題”處介入
教師備課離不開研讀教參，筆者以為，每節課一定會有“核心問題”，如“平行四邊形的面積”一課，平行四邊形轉化成長方形以后，“平行四邊形的底和高與長方形的長和寬有什么關系”這個問題，便是本節課的核心問題之一。而教師應該利用學生動態生成中的相關資源，圍繞“核心問題”，適時調控，展開教學。
不妨看筆者執教的“比較小數的大小”教學片段：
生1：我來畫個圖（如下圖）。0.6根據小數性質，就是0.60，也就是，所以我涂了60份。0.48就是，所以我涂了48份。
生2：我還有一種方法。0.6元就是6角，0.48元就是4角8分，當然是6角大。也就是0.6>0.48。
生3：0.6就是0.60，60比48大（孩子讀成了六十比四十），所以0.60比0.48大。
此處，筆者剛想“否定”學生的想法，但是轉眼想到本節課的“核心問題”就是“比較兩個數的大小，其實質就是比較兩個數里包含了多少個相同的計數單位”。結合這點，筆者忽然發現，學生口中的“六十”，不就是“六十個0.01嘛”，如此，教學還可以更進一步：
師：大家覺得對嗎？你知道他說的60是什么意思嗎？48是什么意思？（生沒反應，沉默）
師：請看生1的圖（如上圖），看著圖你知道60表示什么意思嗎？
生：60個小方塊。
師：那也就是60個？
生：百分之一。
師：那48呢？
生：48個百分之一。
師：明白你們的想法了。你有60個這樣的單位，而這里只有48個這樣的單位，所以0.6>0.48……
核心知識是每個教學單元中必須要讓學生掌握、理解、探明的主要知識技能，是一個學期教學、一個單元教學、一節課教學的主體內容與知識主干，是整個教學活動鏈條中的關鍵鏈環，是聯系全部教學活動的主心骨，是教學活動之魂的棲息地。當學生沉默時，教師及時結合核心問題介入，“請看生1的圖（如上圖），看著圖你知道60表示什么意思嗎”，如此，學生的目光又重新聚焦到數學本質上了。
課堂中，會出現難以預料的動態生成，而這已不是在備課中能完全了然于胸、把握在手的。一個充滿生命力的、動態生成的課堂，需要教師牢牢把握“核心問題”，依循學生認知的曲線、思維的張馳以及情感的波瀾，以靈動的教育機智隨時處理動態生成的信息，即時調整教學進程，真正實現充滿生命力的、動態生成的課堂。
三、在“數學知識網”處介入
數學課堂不是一個一個的“孤島”，而是前后緊密銜接的系統。我們都知道：一節節的課是前后呼應的整體，每一節課之間都應該是環環相扣的。課堂教學如果只是將眼光局限于某一節課的知識點，學生獲得的，無疑就是一個個孤立的片段，而難以形成普遍聯系的知識網絡。這種被遺棄的“網絡”，在如今的課堂中更加顯得彌足珍貴。
教師應該在“數學知識網”處進行介入，適時調控，逐步引導學生將所學的知識形成連續的環節，延續學生的思維過程，并在對知識內在聯系分析、比較的基礎上，將所學的知識進行串聯，形成系統的知識網，達到“學一點懂一片，學一片會一面”的目的。
不妨看筆者執教的“整百數乘一位數”教學片段：
2×3= 6×8= 4×7= 5×9=
200×3= 6×800= 400×7= 500×9=
5×900=
師：做這2道題（方框內）時，你們都是怎么想的？（生答略）
師：在400×7的上面還有一道題，我忘記給大家看了，猜猜看可能是怎樣的算式呢？為什么？
師：5×9 =（ ），你們想在下面會是怎樣的乘法算式呢？（生答略）
師：這么說來，整百數與一位數相乘時，我們一般都是怎樣算的呢？可以舉例說明。（生答略）
師：孩子們，仔細觀察這一組題，你有什么發現？可以在小組內說說你的想法。
生1：第一橫排都是我們之前學過的一位數乘一位數。（受到生1的啟發，舉手的人一下子多了）
生2：第二排都是今天學習的整百數乘一位數。
師：說得好！孩子們，我們今天學的知識難嗎？ 回顧過去，我們以前學過的哪些知識和今天所學的內容有聯系或相類似？
生3：整十數乘一位數。
師：放眼未來，猜一猜我們還會學習什么樣子的口算？
生4：整千數乘一位數。
生5：整萬數乘一位數。
師：如果是遇到整千數乘一位數，這樣的內容我們還需要再從頭開始學嗎？
筆者把本課教學的知識（整百數乘一位數）置于整體知識（乘法）的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。 “回顧過去”“放眼未來”的兩次介入，筆者覺得必須得有。唯有如此，才能夠幫助學生打通“一位數乘一位數”“整十數乘一位數”“整百數乘一位數”“整千數乘一位數”等知識的聯系。我們教師在對學生進行知識技能訓練的同時，是否也該多一些這樣的納入與發展的介入呢？
教師的介入策略，唯有靠經驗不斷積累，同時需要教師且行且思且改進。但對于教師的介入，有一點必須要考慮，就是教師在上課時要面向全班同學，而不是一個同學，簡言之，你的引導、調控，應該要適合全班同學。正如數學課程標準所說，數學課程應致力于實現義務教育階段的培養目標，要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。
例如，“平行四邊形的面積”教學片段：三角形的面積公式是在學完平行四邊形面積之后要學的內容，但是有個學生已經知道了三角形的面積公式。
他是這樣來推導平行四邊形的面積公式的：
“老師，三角形的面積=底乘高除以2，平行四邊形的面積是三角形面積的兩倍，所以也就是底乘高除以2再乘2，所以也就是底乘高。大家同意嗎？”（其他學生大部分沒反應）
雖然內容不適合展開講，但是他的發言也有閃光的地方。
師：三角形的面積我們后面會學，不過，他的發言告訴大家，看圖（教師順勢把平行四邊形分成兩個三角形），這三角形的面積和平行四邊形的面積有關系嗎？（生答略）
師：如果這個平行四邊形的面積是10，那三角形面積是多少？
學生看著圖，很容易發現兩者的2倍數量關系。
師：看來，還真有聯系！三角形的面積還沒有學，這兩者的聯系，咱們就研究到這里。好嗎？
中圖分類號：G623．5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）07-088-001
我們常?？吹竭@樣的現象：老師從容不迫地走進課堂，按照預設的教案開始授課，教學環節銜接得天衣無縫。聽課老師全神貫注地欣賞著。然后在一片掌聲中，師生完美地完成了課前預設的教學情境。
俗話說“臺上三分鐘，臺下十年功”，三尺講臺上四十分鐘的表演，雖不能花我們十年，卻至少也得三四個小時外加課前的五分鐘吧。在這幾百分鐘里，我們絞盡腦汁，預想在那四十分鐘內可能突然發生的意外。然而，即使這樣，還是有難以避免的意外發生：“老師，我還有更好的方法。”“老師，我有補充?！薄袄蠋?，我發現書上錯了?！薄n堂，面臨著前所未有的挑戰。課上，學生開始有自己的主見，不愿跟著老師設定的思路走。是將教案進行到底，還是大大方方地順著學生提出的有價值的問題進行？
一、試著追問孩子
數學是理性的，教師是理性的引導者，不斷追問著；學生是理性的學習者，不斷追尋著！追問有兩種目的：第一種目的是基本的，使學生獲得更多的學習信息；第二種目的是引導學生充分展現自己的思維過程。在教學中，有很多學生似懂非懂，甚至有部分學生是不懂的，這時教師就要充分發揮引導者、組織者的作用，利用追問把那些似懂非懂的學生完全問明白，讓那些不懂的學生聽明白。
如盛潔在教學五年級的《小數與整數相乘》一課時，
案例：
出示：夏天買3個西瓜多少元？
師：怎么列式？
生：0.8×3=2.4
師：這個2.4怎么來的？（引導學生說3×8=24）8哪來的？這個8表示什么？
師：還會用以前的知識來計算嗎？
生：列豎式。
師：3和誰對齊？
生：和0對齊。
師：列豎式時，末尾對齊，這個請在后面的研究中尋找答案。
師：看單位名稱是什么？除了元，還有角、分。
生：0.8元是8角，8×3=24角，24角=2.4元
師：還有其他方法嗎？引導學生0.8×3表示3個0.8相加，能不能從小數加法的角度思考。
生：0.8+0.8+0.8=2.4
分析：在課堂上當一個學生的回答不合教師的心意時，我們不能馬上換個學生來回答（直到某個學生回答到點子上為止），或者簡單的敷衍學生的回答，甚至采取冷處理。教師的迫問是引導學生進一步探索的“鑰匙”，是將學生的思維條理化的“紐帶”，是深化學生思維的“鐵鍬”，也是提升學生思維高度的“云梯”。
二、靜水投石，打破數學課堂沉悶的空氣
一般說來，總有部分學生對學數學不感興趣，這里不是危言聳聽，他們認為數學抽象、難懂、在學習過程中感到學起來乏味。同時我們的數學課堂也存在應有的激情和活力，教材理性多于情感。據統計，小學生在課堂中無任何互動的時間占整個課堂教學時間的9.2%。那么，怎樣才能使這部分學生從對數學的厭煩情緒中解脫出來，怎樣提高學生的數學學習水平，提高應用數學的能力呢？
教師要創造一個愉快的學習環境，讓每個學生都積極主動地加入到學習行列中來。作為一名數學教師，在研究數學教學時，教師除了注意運用生動形象的語言和使用各式各樣的教具課件來提高學生的學習興趣外，我認為更應積極開展各種數學活動，讓學生在愉快的氣氛中認識數學知識，從而使學生在精神滿足的基礎上發展個性。
如秦老師在執教《方程》一課時，教師出示①5Y=40②Y-28=35③X+470這些式子，讓學生根據教師給的指令做動作。（1）含有未知數的跳一跳，（2）是等式但不是方程的往前一步。接著讓其他同學發口令，讓上面拿著式子的同學回位置。
學生在這個游戲環節把等式和方程的關系掌握的非常清楚。由于教師努力創設了愉悅的教學情境，這樣的數學活動不僅激發了學生學習數學的積極性，還提高了他們的思維能力和創造能力，使學生在心理上對學習數學充滿了欲望。
三、構筑對話平臺，讓情趣和智慧在課堂上閃光
肖伯納說過：“你有一個蘋果，我有一個蘋果，互相交換，各自得到一個蘋果；你有一種思想，我有一種思想，互相交換，各自都得到兩種思想。”數學課要善于為學生創設與教材、與同學、與老師交流對話的情境，讓情趣和智慧在對話交流的過程中閃光。
如在教學三角形的面積計算公式時：
1.回憶了平行四邊形的面積計算公式以及公式推導過程。
2.思考2個三角形拼成一個平行四邊形，要滿足什么條件?
生：面積。周長，底和高相等。
師：老師這里有2個三角形（等邊的），能拼成平行四邊形嗎？
3.出示準備好的6個三角形，分成幾類？同桌兩人合作研究一下：拿出2個一樣的三角形，看能否拼成一個平行四邊形？
4.同桌合作研究。
5.交流匯報，并指出拼成后圖形的底和高。
2個直角三角形能拼成一個平行四邊形；2個銳角三角形能拼成一個平行四邊形；2個鈍角三角形能拼成一個平行四邊形。
教師要善于聆聽學生在課堂上的發言，學生的信息反饋是教學的關鍵環節。可以說，教師的教學能力高低在這個細節上表現得最為明顯。筆者曾指導一名青年教師執教“圓的認識”一課，他在備課中充分地貫徹以學生為主體的理念，讓學生從比較圓與其他平面圖形開始，到畫圓、剪圓、畫同樣大小的圓等。在這些環節里，學生還主動地說出了“半徑”的概念，教師在課堂上也及時地做了板書，我們聽課的同行們此時也對該教師課堂角色的把握作了充分的肯定?？僧敽竺娼處熥寣W生自己動手，利用手里的圓規、直尺、圓形紙片等學具，對圓進行更廣泛的自我探究時，該教師卻沒有能夠及時抓住學生的反饋細節。
生1：我發現圓有無數條半徑。
師：你是怎么發現的呢？
生1：我用直尺畫了幾條半徑后，我發現不可能畫完所有的半徑。
師：很好。在有關圓的半徑方面，還有誰有新的發現？
生2：我是把圓對折的，也折出了許多條半徑，發現折不完圓的所有半徑，所以圓有無數條半徑。
師：很好。在有關圓的半徑方面，還有誰有新的發現？
生3：老師，我把圓對折兩次后，我猜測這兩條折痕的交點肯定是這個圓的圓心。
師：你們沒有聽清我的問題，我是問在半徑方面，還有誰有探究的發現？
……
正當我們聽課教師都在為學生的發現叫好時，該教師的處理方法頓時讓我們有些目瞪口呆了。課后該教師與我交流時說，他可能受時間的影響，想有條理地把圓的半徑與直徑的關系也在此時能教學出來。一節課的教學目標我們能充分地做好預設，可實現目標的教學流程未必就完全按教師的預設來呈現了。
二、關注課堂動態生成，調控教學環節
教學流程由許多環節組成，教師備課預設時，要有一定的先后次序。若教師在課堂教學組織時按部就班，一味地按預設環節進行，不及時地根據課堂的動態生成合理地調控，就難求教學高效。究其原因，其實是教師根本沒有把學生當成課堂學習的主人。例如，一位教師教學“平行四邊形的面積”時，這樣預設教學：先復習長方形面積計算，然后出示一幅平行四邊形的圖形。教師提問：“你們知道平行四邊形的面積怎么計算嗎？下面我們來動手探究一下?！苯處煹脑拕傉f完，一生沒舉手就站起來說：“我知道，平行四邊形的面積是底乘高?！?/p>
師：你是怎么知道的？
生1：我看書知道的。
師：你知道平行四邊形的面積計算方法是怎么得出來的嗎？
生1：把平行四邊形沿高剪開，就可以拼成一個長方形了。
師：這個拼成的長方形與原來的平行四邊形有什么關系？我們不沿平行四邊形的高剪開，能否拼成長方形呢？
生1：這個就不知道了。
師：好吧，下面我們就動手來剪拼嘗試一下。
……
教師本來是想組織學生去探究計算平行四邊形面積的結論的，結果馬上因為部分學生的預習，因勢利導變成了讓學生直接去驗證結論，及時調控了教學環節，這才是提高課堂有效性的重要環節。
三、因時因勢，調控課堂練習
